多面体的外接球问题（论文）

--多面体的外接球问题摘 旋转得圆台这类多面体复杂难操作，因此还需另辟蹊径。其方法还是回归基础，先找球心，成一般性公式。关键词：正弦定理，外接圆，外接球，旋转，二面角引角型、非直二面角型、共斜边的两个RtΔ二面角型，针对这七种题型笔者下一一给出求解公式及范例分析。h22h22r2外情形一：直棱柱（h是侧棱长，r是底面多边形的外接圆半径，其求法可借助正弦定理：2ra）sinA情形二：直棱锥（h是直侧棱长，r是底面多边形的外接圆半径，其求法可借助正弦定理：2ra）sinA注：直棱锥是指有一条侧棱垂直于底面的的棱锥，且该侧棱即称为直侧棱.3例1.在三棱锥PABC中，ABC120，AC3

，PA面ABC，PA4棱锥PABC的外接球的表面积为（ ）

B.16

C.12【解析】记ABC外接圆半径为r，则2r 3 2，所以r1，且h4，5sin120542242212

，所以S表.题型二：圆锥型（2R外

l2 ）hl2r2情形一l2r2正多边形的外接圆半径）情形二：等腰棱锥（l是侧棱长，h

，r是底面l2l2r2面多边形的外接圆半径，其求法可借助正弦定理：2ra）sinA注：等腰棱锥是指所有侧棱都相等的棱锥.【证明】圆锥的轴截面（等腰三角形）的外接圆半径即为其外接球半径.所以2R

lll2 .外 sin h hl例2.在三棱锥PABC中，PAPBPC9

2,AB6,AC8，顶点P在锐角ABC内的射影为H，且AHxABy2yPABC的外接球的半径为 【解析】由题意可知H是ABC的外心，取AC中点为D，则HDAC，且B,D,HBDAC.所以BABC6.以PH2 2 2.PH，记底面圆的半径为r，则2rAB 6 618，所以r9 .BD 6242 25 5 5记三棱锥的外接球半径为，则l22

922 992

65，所以 . h 9 2

93 352592 525 例3.已知半径为4的球面上有两点B，AB4

2OC满足二面角CABO的大小为60，则四面体OABC的外接球的半径为 6OAOBOC4,因此四面体OABC6面角CABO的大小为60，可计算h2

260 .l2记四面体的外接球半径为，则2R外h

42 86 3

46，所以 6.43题型三：圆台型（R

r rh r rh 2222）22222外

12 h

12 ,2ra；sinA2.h是的长（即上、下底面的距离）.【证明】圆台的轴截面（等腰梯形）的外接圆半径即为其外接球半径，又ABC的外接圆半径即为等腰梯形ABCD的外接圆半径.所以2R外

ACsin

12hh22l22

l12h22 22h

12h 2 .2121rh22 2例形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCDEFGH有外接球，且AB4

3,AD4,EH2

6,EF6

2E到面ABCD的距离为为 【解析】记上、下底面外接圆圆心分别为,O2，以为旋转轴，转一周后得圆台h44,2

6.记该刍童外接球的半径为，则1 2rr2h1 2

rr2h24264262424262421 2h 4

10所以5，则刍童外接球的表面积S表100.例5.正方体ABCD的棱长为

6的圆在平面圆心为正方形的中心，P为圆上的一个动点，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为（ ）

B.

C.88223

D.16053ABCD的外接圆圆心为O2O2是3

2.以后得圆台棱锥外接球的半径为，则

6h6.记四1 2rr2h1 2

rr2h2 3263262623262621 2h 6

22222所以22

，其表面积为S表.例6.在三棱锥ABCD中，ACAD

5,ABCD2,BCBD

，则此三棱锥2的外接球的半径为（ ）2A.2105

B.2103

C.253

D.25ABCD的底面BCD的外接圆的圆心是CD的中点，半径1.过点A作底面BCD的垂线，垂足记为E，易知E是的中点.以O1E,AE为邻边作矩形1一周后得圆台，则上底圆面半径为 ，12hAE

15，记三棱锥的外接球半径为R，则2221222

2 21 1

2 4101410

15

15rr2h2

rr2h2

2

2

2 22R 1 2 1 2

外所以

h210.5

15 52最常见的一类直棱柱，我们单独讨论.a2b2a2b2c22情形一：“墙角”型（三条侧棱两两垂直）情形二：“三组对棱两两相等”型（对应长方体的三组面对角线）例7.已知四棱锥PABCD中，PA面ABCD，其底面ABCD是菱形，若该四棱锥的外接球体积为4，则四棱锥PABCD的体积的最大值为 ABCDPABCD2 2 2 高分别记为a,a,c，则aac2

3，即2a2c212，则VPABCD

1a2c3

112c26

c，当c2时，四棱锥PABCD的体积的取最大值为8.3例8.有四根长都为2a点处相连能够焊成一个对棱相等的三棱锥形的铁架（不考虑焊接处的长度损失），则此三棱锥的外接球半径的取值范围为 x,y,zx2y24,y2z24,z2x2a2，2 2 2 2 , , ，所以得x2y2z2a4，得x2ay24az2a 0a2 , , ，所以2 2 2 22 2 2

a4xyz2 2Rxyz2 2外 2 2下根据二面角的大小情况这一维度考虑直二面角型和非直二面角型.2l2题型五：直二面角型（R

2r2r2）外 1 2

2.注：1.,分别是直二面角的两个半平面所在多边形的外接圆半径，其求法可借助正弦定理：2ra .sinA2.l是直二面角的交线.【证明】如图，两半平面的外接圆圆心记为,O2，作,OO2分别垂直于OBC的中点为EO,O1,O2,E四点共面，且四边形是矩形.所以2l2

l

l

l l22OE22

EC

O2E

2

2

2 2

22222

例9.如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，

ABCD

3,BC2AD4，PAD是等边三角形，平面PAD^平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球的表面积为 【解析】易求得等腰梯形ABCD的高为

2，其外接圆半径记为，则所以1212 33所以2r

33易求得等边 的外2 2 2 212 222

PAD接圆半径

2 ，且lAD2.记四棱锥的外接球半径为，则3 2 2 2

107R2

33 2

2

107，所以S .22外 22

3

2 24 表 6例10.在三棱锥PABC中，ABAC4,BC2，BPC时，则此三棱锥的外接球的表面积为 PBC面ABCPBC的外接球半2 4 2径为，则 ，则.记ABC的外接球半径为，则sin60 3 3

42 16 15 ，则154212

8 .又l2，记三棱锥的外接球半径为，则15R2464123.所以S

92.外 3 15 5 表 52 2 2题型六：非直二面角型（R

2lmn2mncos）外 2

sin2注：1.l是二面角的交线，是二面角的大小；2.m,n分别是二面角的两个半平面所在多边形的外接圆圆心到交线的距离（即到交线中点的距离），其求法为r 22lr 22l222mr2

,n

，r,r

可借助正弦定理：2r ；1 2 12

sinA3.当,O2都在二面角的两个半平面内（或补平面内）时，其外接球半径公式为R2l

2 m2n22mncos外 2

sin2当,O2有一个在二面角的半平面内，一个在半平面的补平面内时，其外接球半2 2 2径公式为R2

l mn2mncos .外 2

sin2【证明】①当,O2都在二面角的两个半平面内（或补平面内）时，两半平面的外接圆圆心记为,O2，作,OO2分别垂直于两个半平面，则交点O即为球心，取交线BC的中点为E，则O,O1,O2,E四点共面，且共圆，且直径为OE.2 2 2 2 2所以R2

OE2

EC2lO1O2

l mn2mncos .

外 2

sin

2

sin2②当,O2有一个在二面角的半平面内，一个在半平面的补平面内时，同理可得222l222

2OO l

m2n22mnl

m2n22mncosR2

12

外 2

2

sin2

2

sin2例11.已知三棱锥ABCD所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为23的正三角形，ADB120，且二面角CABD的大小为120，则球O的表面积为【解析】考虑到,O2有一个在二面角的半平面内，一个在半平面的补平面2 2 2R

2lmn2mncosl2

3,120,n1ABD的外22232223

sin2r22l12接圆半径为r2r23r22l121 1 sin120 1

1.2 12211

52表则R22表

3

213，所以S .2外 2

3 3 3222 2 例12.已知三棱锥ABCD所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为2的正三角形，AD2,BD3，且二面角CABD的余弦值为21，则球O的表面积7为 【解析】考虑到,O2都在二面角的两个半平面内，所以32 2 23R2lmn2mncosl2,cos,nABD的外接圆 3外 2

sin222

8

7 3rr22l12

16 3 半径为 m

1.23 7 7 7 722222 2 3 1 31 2 2 则R227 3 7 3 716，所以S . 64外 2

22

3 表 377 2l2

n2特别地，当m0时，公式可优化为R2

2

mn0外时，公式可优化为Rl，可得下列题型：

2外 2题型七：共斜边的两个Rt二面角型（Rl）外 2注：l是共斜边的两个RtABC构成的二面角的交线.例 13.在 三 棱 锥

ASBC中 ，AB

10,ASCBSC,ACAS,BCBS,若该三棱锥的体积为15，则三棱4 3锥ASBC外接球的体积为 【解析】由题意可知SC的中点即为球心O，且SC面OAB，所以VASBC，又OA