专题26空间向量解决空间直线平面位置关系（原卷版）

专题26空间向量解决空间直线、平面位置关系№专题26空间向量解决空间直线、平面位置关系№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题26空间向量解决空间直线、平面位置关系命题解读命题预测复习建议空间中直线、平面的位置关系，可以借用空间向量这一工具来解决，空间向量的运用使得空间立体几何问题转化为了计算问题，把几何问题转化为了代数的计算，因此在复习过程中既要要求学生的空间思维能力又要要求学生学会数学转化思想。预计2024年的高考对于空间直线、平面的位置关系的考察还是一个必考题，充分运用空间向量让立体几何问题转化为数学的代数计算问题。集合复习策略：1.掌握空间向量的有关知识点，及空间向量解决空间直线、平面位置关系的有关定理.2.能运用结论解决空间直线、平面的位置关系问题。→➊考点精析←一、空间向量的有关概念a，b，c…表示。2.共线向量(平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.3.共面向量：平行于同一平面的向量4.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb5.共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb6.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc二、空间向量的运算(1)a·b=|a||b|cos<a,b>

(2)a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量).

(3)|a|2=a2;设a=(x,y,z),则|a|=x2a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)（1）a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)（2）a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)（3）a·b=a1b1+a2b2+a3b3（4）a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)

（5）a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0（6）cos<a,b>=a三、空间共线、共面向量定理1.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb2.共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb3.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc四、利用空间向量证明平行与垂直a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)1.a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)

2.a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0→➋真题精讲←1.（2023北京卷16）如图，在三棱锥中，平面，．（1）求证：平面PAB；（2）求二面角的大小．2.（2023全国Ⅰ卷18）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．3.（2023全国Ⅱ卷20）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值．→➌模拟精练←1.（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（

）A．当时,B．当时,的最小值为C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为2．（2023·江苏南京·统考二模）已知四棱柱的底面为正方形，，，则（

）A．点在平面内的射影在上B．平面C．与平面的交点是的重心D．二面角的大小为3．（2023·江苏·统考二模）在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（

）A．异面直线与的距离为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为4．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（

）A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等C．过点M有且仅有一条直线与，都相交D．有且仅有一个点M满足平面平面4．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点；为棱上的动点（含端点），过点A､､作三棱柱的截面，且交于，则（

）A．线段的最小值为 B．棱上的不存在点，使得平面C．棱上的存在点，使得 D．当为棱的中点时，5．（2023·广东汕头·统考一模）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（

）A．B．C．四边形的面积为D．平行六面体的体积为6．（2023·广东湛江·统考一模）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，．(1)证明：点在平面的正投影在直线上；(2)求平面与平面夹角的余弦值．7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.(1)求二面角的余弦值；(2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.→➍专题训练←l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是（）A． B． C． D．l与斜交2.若平面，的法向量分别为，，则()A． B．与相交但不垂直C． D．或与重合3.在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是()A． B．C． D．4.已知，，则，夹角的余弦值______.5.已知空间向量，，，，若，则实数________.5．（2023·广东江门·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面.(1)求的值；(2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.7．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．8．（2023·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．条件①：；条件②：∠PED＝60°；条件③：PM＝3ME：条件④：PE＝3ME．9．（2023·湖南永州·统考三模）已知底面为菱形的平行六面体中，，四边形为正方形，交于点M.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.(1)求证：平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.11．（2023·安徽黄山·统考三模）如图，在直角梯形中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点，平面平面，，，是线段上一动点（不含端点）(1)当点为线段的中点时，证明：//平面；(2)若，，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．