第四节 条件概率

第四节条件概率一、条件概率的定义

直观上，用来表示在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小的数，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。记为P(A|B).例设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而5件产品中又有了3件是次品，2件是废品。现任意在100件产品中抽取一件，求

1）抽得的是废品的概率；

2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。解：令A表示“抽得的是废品”这一事件，B表示“抽得的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得：由此看到P（A）≠P（A|B）本例中条件概率P（A|B）是根据条件概率的直观意义计算出来的，但一般地，条件概率如何定义呢？

通过简单的运算得：

上述关系具有普遍意义：(1)从古典概率看：(2)从频率的稳定性上看：设实验E做了n次，令：nA,nB,nAB分别表示事件A,B及A

B在n次试验中发生的次数，那么nAB/nB表示在B发生的那些结果中，A又出现的频率，即：已知B发生的条件下，A发生的条件频率fn(A|B)。

如果n足够大，

fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),则nAB/nB接近P(A|B),因此，在统计概率中上式亦成立。1．定义:

设A，B是两事件，且P(B)>0，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.注

（1）若P(A)>0，同样可定义（2）条件概率P（•|B）满足概率定义的三条公理，即

1.对于每一事件A，有P（A/B）≥0;

2.P（

|B）=1

3.设A1，A2……两两不相容，则有

P（Φ|B）=0P（A|B）=1−P（A|B）

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)等等概率所证明的重要结果都适用于条件概率，例如：(3)P（A）与条件概率P（A|B）的关系：P(A)>P(A|B)，P(A)<P(A|B),P(A)=P(A|B)这三种关系都有可能成立。后一种情况就是以后讨论的独立性。2．计算

一般有两种方法：

(1)由条件概率定义：P(A|B)=P(AB)/P(B)

（在原样本空间中求P(AB)、P(A)）

(2)按古典概型公式：P(A|B)=NAB/NB

（在压缩后的样本空间中考虑）

例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。

求（1）抽得是废品B的概率;

（2）已知抽得的是不合格品A，它是废品

的概率P(B|A)。例2一次掷10颗色子，已知至少出现了一个1点，求至少出现两个1点的概率。由古典概型：又P(B)=P(A)-P(C),于是所求概率为()()()().565366516510651)|(1010101010101091010-´-=-´--===APBPAPABPBAP解设A:掷10颗色子，至少出现一个1点，B:掷10颗色子，至少出现两个1点，C:掷10颗色子，恰出现一个1点。则：B=A-C,且AB,AC.1.乘法公式

由条件概率定义，若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B)

若P(A)>0,则P(AB)=P(B|A)P(A)上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)>0，则

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，则有:P(A1A2…An)=

P(A1)•P(A2|A1)…•P(An-1|A1A2…An-2)•P(An|A1A2…An-1)二、关于条件概率的三个定理例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。解：设Ai表示第i次取到黑球在利用条件概率求无条件P时，条件P往往用古典概型计算。例2.设某同学眼镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。

解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。

因为B=Ā1Ā2Ā3，故有P(B)=P(Ā1Ā2Ā3)=P(Ā1)P(Ā2|Ā1)P(Ā3|Ā1Ā2)

=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200

法二，按题意B=A1∪Ā1A2∪Ā1Ā2A3

而A1，Ā1A2，Ā1Ā2A3是两两互不相容的事件，故有P(B)=P(A1)+P(Ā1A2)+P(Ā1Ā2A3)例3:设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。解:以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则Ā3，Ā4分别表示事件第三、四次取到白球。则所求概率为：

P(A1A2Ā3Ā4)=P(Ā4|A1A2Ā3)P(Ā3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)

将复杂问题适当的分解为若干简单问题，从而逐一解决，是常用的工作方法。全概率公式就是这种方法在概率论上的体现。先介绍样本空间的划分的定义。定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件，若

（1）BiBj=Φ,i

j,i,j=1,2,…,n;

（2）B1∪B2∪…∪Bn=S，

则称B1，B2，…,Bn为样本空间S的一个划分。

例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为

={1，2，3，4，5，6}。E的一组事件B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}是

的一个划分，而事件组C1={1，2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是S的划分。任意试验的基本事件组构成样本空间的一个划分。

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)则

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

称为全概率公式。

证：因为A=AS=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn由假设P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且

(ABi)∩(ABj)=

，i≠j，于是P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)2.全概率公式例一箱同类型的产品,由三家工厂生产,其中1/2由甲厂生产,乙丙厂各生产1/4,又甲乙厂生产的产品均有2%的次品率,丙厂有4%的次品率,求任取一产品是次品的概率;任取一产品是次品且恰是由甲厂生产的概率;任取一产品发现是次品,问它是由甲厂生产的概率.

甲B1乙B2丙B3解:S={箱中的全部产品}A:任取一产品是次品,Bi:取到的产品分别是由甲,乙,丙厂生产的.由题意:P(B1)=1/2,P(B2)=P(B3)=1/4,P(A|B1)=P(A|B2)=2/100;P(A|B3)=4/100且BiBj=Φ,i

j,i,j=1,