第二章-物体的弹性

医学物理学物体的弹性第二章掌握描述物体弹性的基本概念：形变、应变、应力、模量。理解应力与应变的关系。了解骨骼的力学特性和生物材料的黏弹性。教学基本要求物体形变形变定义：物体在外力作用下发生形状和大小的改变。形变类型：从弹性体的恢复情况划分有弹性形变、范性（塑性）形变。从形状变化情况划分有伸长、缩短、切变、扭转、弯曲等形变。伸长和缩短合称线变。线变和切变是弹性形变的两种基本类型，其他形变实际上是这两种形变的复合。第一节线应变与正应力一、线应变对一细长物体施加拉力F使之拉伸,其伸长变化率称为线应变：

若物体被拉伸＞0,ε＞0；若物体被压缩＜0,ε＜0。（2-1）1.内力物体内部任一横截面两边材料之间存在的一种相互作用力。

2.张力垂直于任一截面的拉伸内力。3.压力垂直于任一截面的相互挤压的内力。二、正应力4.正应力如果是均匀物体，则张力F与横截面面积S之比，称为该横截面上的正应力，用σ表示:

（2-2）

如果是物体受力不均匀或者内部材料不均匀的一般情况，可以取一个微小的面元，其面积为

dS，设这个面元上的张力为dF

，则该面元上的正应力表示为（2-3）正应力分为张应力(σ＞0)与压应力(σ

＜0).1.低碳钢正应力与线应变的关系从图上可将拉伸分为弹性、屈服、硬化和颈缩四个阶段：三、正应力与线应变的关系（低碳钢、骨骼、主动脉）①弹性阶段曲线中OA段，A点称为正比极限。B点的正应力叫做弹性极限。②屈服阶段过了C点是屈服阶段，这一阶段的最大正应力为屈服强度。③硬化阶段从D点开始是硬化阶段，只有加大正应力，才能使物体进一步伸长，此即材料的硬化；E点的正应力叫做强度极限；④颈缩阶段过了E点是颈缩阶段；F点称为断裂点。拉伸时，断裂点的正应力称为材料的抗张强度。压缩时，断裂点的正应力称为材料的抗压强度。BF是材料的范性（塑性）范围。如果F点距B点较远，则这种材料能产生较大的范性形变，表示它具有展性。如果F点距B点较近，则这种材料能产生较小的范性形变，材料表现为脆性。实验表明：在正比极限内，正应力与线应变成正比，即（2-4）Y称为杨氏模量。结合（2-1）和（2-2）式（2-5）即为胡克定律

其中杨氏模量Y只与材料的性质有关，它反映材料抵抗线变的能力，其值越大物体越不容易变形。几种材料的杨氏模量见表材料低碳钢铸铁花岗岩铅骨/拉伸骨/压缩木材腱橡胶血管杨氏模量Y109N·m-2196785017169100.020.0010.00022.骨作为一种弹性材料，在正比极限范围之内，它的正应力和线应变成正比关系。骨骼在被拉伸时会伸长、变细（如人进行悬垂动作）。骨骼在被压缩时（如举重）能够刺激骨的生长，促进骨折愈合；但压缩作用较大时能使骨缩短、变粗。拉伸与压缩的极限应力分别为134MN·m-2与170MN·m-2湿润而致密的成人四肢骨的正应力-线应变曲线3.主动脉弹性组织的正应力与线应变关系并不服从胡克定律，曲线没有直线部分。主动脉弹性组织的弹性极限十分接近断裂点，这说明只要它没有被拉断，在外力消失后都能恢复原状。弹性组织应变可达到1.0，这说明它可以伸长到原有长度的两倍，这一点和橡胶皮比较类似。主动脉弹性组织的正应力-线应变曲线[例2-1]如图所示，一根结构均匀的弹性杆，密度为

，杨氏模量为Y

。将此杆竖直悬挂，使上端固定，下端自由。求杆中的应力和应变。解：设杆在悬挂时的长为

l，横截面积为S。以悬挂点为原点向下作Ox轴，如图所示，计算坐标为x（0<x<l

）的横截面处的应力和应变。由

得这个截面处的应力为：又因为，所以这个截面处的应变为：[例2-2]股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨的最小截面积是

610-4m2，问受压负荷为多大时将发生碎裂？又假定直至碎裂前，应力-应变关系还是线性，试求发生碎裂时的应变。

（抗压强度

=17107

N·m-2）解：导致骨碎裂的作用力

根据骨的杨氏模量

Y=0.91010N·m-2，可求碎裂时的应变

平面弯曲是指物体具有一个纵向的对称面，所有外力的合力都集中在这个对称面里。在两个支架上放置一横梁。当横梁受到一个垂直于轴线的横向压力

P时，如图（b）所示，横梁发生弯曲。显然，凸出的一侧被拉伸，凹进的一侧被压缩。四、弯曲第二节切应变与切应力一、切应变当物体两端同时受到反向平行的拉力

F

作用时会发生形变，如图所示，其内部与该截面平行的平面发生错位，使原来与这些截面正交的线段变得不再正交，这样的形变叫做切应变。发生错位的这些平面叫做剪切面，平行于这个平面的外力叫做剪切力。剪切的程度以Δx/d比值来衡量，这一比值称为切应变(γ)：（2-6）二、切应力弹性体发生切变时，任一剪切面两边材料之间存在相互作用并且大小相等的切向内力。通过弹性体内某一个面元的切应力为（2-8）当切向内力在上下底面上分布均匀时，剪切力F

与截面积S之比称为切应力,又称为剪切应力。用τ

表示。（2-7）三、切应力与切应变的关系实验证明，在一定的限度内，切应力与切应变成正比，这种正比关系叫做切变的胡克定律。即：上式中比例系数G

称为切变模量，也叫刚性模量。结合（2-6）和（2-8）式（2-10）（2-9）与杨氏模量类似，切变模量也只与材料的性质有关，几种材料的切变模量见表：剪切作用时，人骨骼所能承受的剪切载荷比拉伸和压缩载荷都低。骨骼的剪切破坏应力约等于54MN·m-2。材料钨低碳钢铜铸铁玻璃熔石英铝骨木材铅切变模量G109Nm-2140784035302510106若使圆柱体两端分别受到对中心轴的力矩，且方向相反，则圆柱体便会发生扭转现象。如图所示，将结构均匀的圆杆下端固定，力矩作用其上端，圆杆一端相对于另一端的角位移称为扭转角，用δ表示。扭转角与母线的倾斜角φ之间的关系为：四、扭转（2-11）l为杆的半径，

a为杆的长度。实验证明，当圆杆发生微弱的扭转时，扭转角δ与扭转力矩M有如下的关系：其中G为材料的切变模量。由上式可见，在扭转角δ相同的条件下，扭转力矩M与杆的半径a

的四次方成正比。显然，杆的半径越大扭转越困难。由式（2-9）和（2-11）可知，外缘的切应力为（2-12）结合（2-12）式，最大切应力为：（2-14）（2-13）由于承担最大的切应力的是圆杆的外缘材料，并且从抗扭转性能来看，靠近中心轴的各层作用不大，因此常用空心管来代替实心柱，这样既可以节省材料，又可以减轻重量。第三节体应变与体应力一、体应变物体各部分在各个方向上受到同等压强时体积发生变化而形状不变，则体积变化ΔV

与原体积

之比称为体应变，以θ

表示即（2-15）二、体应力物体在外力作用下发生体积变化时，如果物体是各向同性的，则其内部各个方向的截面积上都有同样大小的压应力，或者说具有同样的压强。因此，体应力可以用压强来表示。三、体应