单调性与最大（小）值函数的单调性

1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大（小）值

第1课时函数的单调性

我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.探究点函数单调性的定义

这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的___________的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的___________的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？增大而增大增大而减少对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+∞）上随自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间（0，+∞）上任取两个实数x1,x2,得到函数值f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1<x2时，有____________f(x1)<f(x2).一般地，设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有___________，那么就说函数在区间D上是增函数．函数单调性的相关概念f(x1)<f(x2)请同学们用数学语言描述函数f(x)在（-∞，0]上函数值随自变量的增大而减小的情况.

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有___________，那么就说函数在区间D上是减函数．

如果函数y=f(x)在区间D上是_______________，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．f(x1)>f(x2)增函数或减函数第二、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2));对函数单调性的理解第三、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念;第一、对于任意两个自变量的理解例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解：函数的单调区间有其中在区间上是减函数，在区间

上是增函数．

整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是[8,12）,[13,18）;单调减区间是[12,13）,[18,20].【变式练习】例2、根据函数的单调性定义，证明：函数在区间上是减函数。作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设x1,x2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且x1<x2,则①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【提升总结】画出反比例函数f(x)=的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.探究实践函数图象如图思考交流解析：直线y=kx+b在k<0时，单调递减.∴2a-1<0,即a<D2.函数的单调增区间是___________.3.函数f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则a的取值范围为________．[4，+∞)提示：可利用函数图象求解.（1，+∞）4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.5.证明函数在区间上是增函数.证明：任取，且，则因为得所以函数在区间[-2,+∞)上是增函数．1.函数的单调性定义的内涵与外延：内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3.证明函数的单调性的基本步骤是：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；