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文档简介

习题2.12.长为L，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出方程的定解条件。解：边界条件：u(x,t)|=0自由端x=L，u|=0初始条件：u(x,t)|=u|=0习题2.2一根半径为r，密度为，比热为c，热传导系数为的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为的介质发生热交换，且热交换的系数为。试导出杆上温度满足的方程。解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+侧面热交换的热量即为：所以温度u满足的方程为习题2.34.由静电场Gauss定理,求证：，并由此导出静电势所满足的Poisson方程。证明：=所以又因为习题2.42.（2）解：特征方程：，则有即为令则由：推得则解得（5）解：由特征方程：解得则可令所以因此即所以习题2.61.（3）.证明证明：当时所以当时所以综上：习题3.13.（4）求解边值问题的固有值和固有函数解：当时，代入边值条件得：所以当时当时当时，代入边值条件得：解得：的正根所以当时，无解。5.一根均匀弦两端分别在处固定，设初速度为零，初始时刻弦的形状为抛物线，抛物线的顶点为。求弦振动的位移。解：由题意有：分离变量代入方程整理得：得常微分方程：当时，解的方程（1）的通解为代入边值条件得当时方程无解同理解得：代入边值条件得：则即得所以习题3.23.求定解问题解：（1）.分离变量将上式代入原方程得：即得常微分方程根据边值条件解得：代入边值条件得：即得：所以为的正根因此：其中4.求定解问题解：（1）分离变量代入原方程有：得常微分方程：解常微分方程：当时代入边值条件得，所以无解当时，代入边值条件得，再由得当时，代入边值条件得：由得所以得：习题3.33.一个圆环平板，内半径为 ，外半径为，侧面绝缘，如内圆温度保持为，外圆温度保持为。是求稳定状态下，温度的分布规律。解：由题意得：分离变量：代入原方程得因此得常微分方程：当时，常微分方程无解当时，因此，由边值条件得：有以上两式解得：因此，当时，由得因为，即温度分布与角无关。因此得出综上，所以温度分布习题3.44.设为长方体的边界，求长方体内有初始扰动的波的传播，即求解如下定界问题：解：时空分离变量：代入原方程得：即得微分方程：空间分离变量：（4）式代入（2）式得：即得微分方程：再令代入（5）式得：得

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