命题及其关系

1.1

命题及其关系高二数学选修1-1

第一章常用逻辑用语常用逻辑用语“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.

逻辑用语是我们必不可少的工具.

通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.1.1.1命题思考?特点：①都是陈述句;②都可以判断真假.下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若x2=1,则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等;(6)3能被2整除.（√）（√）（√）（×）（×）（×）命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题判断为真的语句叫真命题。判断为假的语句叫假命题。结论：命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．看看下列语句是不是命题？（1）今天天气如何？（2）你是不是作业没交？（3）这里景色多美啊！（4）-2不是整数。（5）4>3。（6）

x>4。不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句）

是

是不是例1.下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x>15.真命题真命题假命题假命题上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形式.“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.记做:（不是命题）（不是命题）命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。qp通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q”，“只要p,就有q”等形式。“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活.“若p则q”形式的命题例2．指出下列命题的条件p和结论q：

（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．

解：(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a是偶数。

(2)写成若p，则q

的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。

数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：

若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．

“若p则q”形式的命题的书写例3.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；若两条直线垂直于同一直线，则这两条直线平行。假（2）负数的立方是负数;（3）对顶角相等.若一个数是负数，则这个数的立方是负数。若两个角是对顶角，则这两个角相等。真真例3.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:（4）垂直于同一条直线的两个平面平行；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除；若两个平面垂直于同一直线，则这两个平面平行。若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。若一个数是3，则这个数能被2整除。真假真习题：课本P４2.判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于450

的三角形是等腰三角形．（真命题）（真命题）（真命题）（假命题）3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假：（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于y轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行．解：（1）若一个三角形是等腰三角形，则该三角形的两腰上的中线相等,它是真命题;（2）若一个函数是偶函数，则它的图象关于y轴对称,它是真命题;（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行,它是假命题.1.1.2四种命题思考：

下列四个命题中，命题（１）与命题（２）（３）（４）的条件和结论之间分别有什么关系？（１）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（２）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；（３）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；（４）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；思考下列四个命题中，命题（１）与命题（２）的条件和结论之间分别有什么关系？（１）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（２）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；特点：条件和结论互换了

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．即若将原命题表示为：若p，则q．则它的逆命题为：若q，则p．

即交换原命题的条件和结论即得其逆命题．例：给出命题“同位角相等，两直线平行”写出其逆命题．

分析:

条件:同位角相等;

结论：两直线平行．(原命题)条件:两直线平行;结论:同位角相等．(逆命题)其逆命题：两条直线平行，同位角相等．探究：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？

例1．等边三角形的三个内角相等．例2．若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形．逆命题：若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（真命题）（真命题）（假命题）（真命题）原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．思考下列四个命题中，命题（１）与命题（3）的条件和结论之间分别有什么关系？

（１）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；特点：将条件和结论同时否定了

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的的否命题．即若将原命题表示为：若p，则q．则它的否命题为：若┐p，则┐q.即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的否命题.

条件:同位角不相等;

结论:两直线不平行．(否命题)分析:条件:同位角相等;结论：两直线平行．(原命题)否命题：同位角不相等，两直线不平行.分析:条件：整数a不能被２整除;结论：a是奇数．(原命题)例：写出命题“若整数a不能被２整除，则a是奇数”的否命题.

条件：整数a能被２整除;结论：a不是奇数．(否命题)否命题：若整数a能被２整除，则a是偶数.探究：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？

否命题：同位角不相等，两直线不平行.例1.原命题：同位角相等，两直线平行.例2.原命题：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数.否命题：若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.（真命题）（真命题）（真命题）（假命题）原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.思考:下列四个命题中，命题（１）与命题（4）的条件和结论之间分别有什么关系？

（１）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（４）

若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；特点：交换原命题的条件和结论，并且同时否定了一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题．即若将原命题表示为：若p，则q,则它的逆否命题为：若┐q，则┐p.即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.例：写出命题“同位角相等，两直线平行”

的逆否命题.

分析:

条件:同位角相等;

结论：两直线平行．(原命题)条件:两直线不平行;结论:同位角不相等．(逆否命题)其逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.探究：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定是真命题吗？

例1.原命题：同位角相等，两直线平行.

逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.例2.原命题：f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若逆否命题：f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；（真命题）（真命题）（真命题）（真命题）原命题是真命题，它的逆否命题一定是真命题.四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p，则q，则它的：逆命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.

否命题为：若┐p，则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.

逆否命题为：若┐q，则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.总结练习：Ｐ6写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图象关于原点对称.补充题：写出命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题、否命题、逆否命题.解：逆命题：若x=0或y=0,则xy=0;

否命题：若xy

0,则x

0且y

0;

逆否命题：若x

0且y

0,则xy

0.1.命题的概念，如何判断命题？2.四种命题的概念及其形式，怎样写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题．小结：1.1.3四种命题间的相互关系（１）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（２）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；（３）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；（４）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；pqqp┐p┐q┐p┐q我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系．你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？原命题逆命题否命题逆否命题思考?四种命题之间的关系总结原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆命题真假无关互逆命题真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关例1．“若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0”

是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、

逆否命题并判断它们的真假。解：命题A:若x2+y2=0，则x，y全都为0；逆命题：若x，y全都为0，则x2+y2=0；

逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y2≠0．否命题逆命题互为逆否思考：四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？真真真知识探究例2.原命题：“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2；逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.（假）（假）（真）（真）知识探究例3.已知原命题：“若x＞0，y＜0，则x＋y＞0”，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0；逆命题：若x＋y＞0，则x＞0，y＜0；否命题：若x≤0，y≥0，则x＋y≤0；逆否命题：若x＋y≤0，则x≤0，y≥0.（假）（假）（假）（假）知识探究原命题逆命题否命题逆否命题

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:思考?通过我们做过的例题和练习题，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？真真真真真假假假假假假假假真真真

四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.例4.证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2＞0，也就是说x2+y2≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.分析:因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题:若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0.为真命题，来间接证明原命题为真命题。证明：若a-b=1，则

a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2a-4b-3=a+b+2a-4b-3=3a-3b-3=3(a-b)-3=3×1-3=0

所以原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题。P8练习证明命题的方法方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q）为真，则原命题也为真；方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个