垂径定理 全市一等奖

2.3垂径定理合作探究课后作业课堂小结情景引入

问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？

首页情景引入由此你能得到圆的什么特性？

可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

问题1：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？首页探究点一垂径定理合作探究问题2：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒首页垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE首页下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化：首页垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD首页例1：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=AED.BD=BC⌒⌒·OABECDC首页例题学习例2：如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。·OABE解：连接OA，∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm首页问题：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?探究点二垂径定理的实际应用首页37.4m7.2mABOCD首页ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵∴解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒首页关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。知识要点首页例4:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗首页例题学习

∴CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE探究点三垂径定理的推论命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例.首页（1）如何证明？·OABCDE已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.证明：连接OA，OB，则OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求证：CD⊥AB，且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC首页（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。·OABCD首页①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？

一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.●OABCD└M首页根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.知识要点首页例3:如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点P与A、B不重合），连结AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长.解：在⊙O中,∵OE⊥AP，OF⊥PB,∴AE=PE,BF=PF,∴EF是△ABP的中位线,∴EF=AB=×10=5cm.首页例题学习圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。根据垂径定理与推论可知对于一个圆