做几何证明题方法归纳初中教育

F＝AE。易知AEO5660，F＝AE。易知AEO5660，160，23120FOCDOC，FCDCAFO，1122。由B60，知/13.CQAP，BPAPBP//CQPBMRCM又BMCM，BMPCMRBPMCRMPMRMQM是成的三角形，证明其中两个锐角互余。〔3〕证明二直线的夹角等于90°。三.证明一线段和的问题〔一〕在较，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM4 做几何证明题方法归纳1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。〔1〕综合法〔由因导果〕，从条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；〔2〕分析法〔执果索因〕从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到事实为止；达证明目的。以到达集中条件、转化问题的目的。两条线段或两个角相等是平面几何证明中最根本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的例1.：如图1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。AAECDFB分析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE图2所示，AB＝CD图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F证明：连结AC在ABC和CDA中，ABBACB90，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF，ADCB，ADCDADECDFDEDF说明：CD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AECFBEDF在BCE和DAF中，BE线平行，可用同位角、错角或同旁角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂 ACBCABACB90，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF，ADCB，ADCDADECDFDEDF线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。EEADBCF在ABC和CDA中，ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AECFBEDF在BCE和DAF中，BEDFBDBCDABCEDAF(SAS)EF01203460DOC(AAS)FCDC即ACAECD〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，那么两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。〔补短法〕例6.01203460DOC(AAS)FCDC即ACAECD〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线段，那么两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。〔补短法〕例6.：如图7所示，正方形ABCDAE＝∠FAEGEEFEFBEDF6/13.中考题：如图8所示，ABC为等边三角形，延长BC到D，延把一个直角三角形沿一条直角边翻折〔轴对称〕而成一个等腰三角形。例4.：如图4所示，AB＝AC，∠A9 可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一〞来证。AAPHBMNCQK证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M∵BH平分∠ABC∠ABH∠NBH又BH⊥AH∠AHB∠NHB90BH＝BHABHNBH(ASA)BABN，AHHNKH是AMN的中位线KH//MN即KH//BC我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折〔轴对称〕而成一个等腰三角形。 . 在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用图2所示，在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F证明：连结AC在ABC和CDA中，AB，那么CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。证明：延长AH交BC于N，延长上逆求，直到事实为止；〔3〕两头凑法：将分析与综合法合并使用，比拟起来，分析法利于思考，综合法易于表AAF1BDECABAC，BDDC∠1∠290，∠DAE∠DAB∠BAC90，BDDCBDAD∠B∠DAB∠DAE在ADE和BDF中，AEBF，∠B∠DAE，ADBDADEBDFFDEDAAFBDMECC【试题答案】1.证明：取CD的中点C【试题答案】1.证明：取CD的中点F，连结AFACADAFCDAFC又14CDE9090，1390AD3.：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP9/13.和C拟：1.：如图11所示，ABC中，且有ACADCE。求证：DEC90，D是AB上一点，DE⊥CD于D长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝ED证明：作DF//AC交BE于FABC是 .BDDCBDMBDMCDE，DMDECDECEBM，CCBMBM//ACA90ABM90AABAC，BFAEAFCEBMAEFBFMFEFMDMDEFDED〔1〕首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见此题证二。〔2〕找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。BBDO5A6CEF分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOFOCDOC，FCDCAFO，112等三角形，这时应注意：〔1〕制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2/13.〔等三角形，这时应注意：〔1〕制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2/13.〔2〕添辅助线能够直接得EBCDECDCDCDCBDCEDBCCEACEADAEAEACAD3.证明：延长PM交CQ于R11设BP、CQ是ABC的角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC分析：由，BHC2AEABAC2B .BADCAD，AOAOAEOAFOSAS4又B5121632FOCDOC(AAS)FCDC即ACAECD明该线段等于较长线段。〔补短法〕GGA312BEDFCBG＝DF。在正方形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)AGAF，13又EAF45即∠GAE＝∠FAEGEEFEFBEDF直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一〞来证。例3.如图直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一〞来证。例3.如图3所示，01203460DOC(AAS)FCDC即ACAECD〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝ED证明：作DF//AC交BE于FABC是的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题 .如图8所示，ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。EEFABCDABC是正三角形BFD是正三角形又AE＝BDAEFDBAAF即EF＝ACAC//FDEACEACECEDBFEFEFDDFE(SAS)例题：：如图9所示，12，ABAC。、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1.：如图1所示，ABC、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1.：如图1所示，ABC中，C90，ACBC线段之长，证明其和等于长的线段。证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED在CBD和CED中，CBC01203460DOC(AAS)FCDC即ACAECD〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线到的两个全等三角形。二.证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直 ，，.AACDEB在ADE和ADB中，AEAB21ADADADEADBBDDE，EBDCEDCEBEDEDC，BDDCAFBDC那么易证ADFADCEADBBDDE，EBDCEDCEBEDEDC，BDDCEADBBDDE，EBDCEDCEBEDEDC，BDDC证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一〞来证。例3.如图3所示，BDDFBDDC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。实战模 .34，DFDCBFD3，4BBFDBBDDFBDDC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。且有ACADCE。求证：DEC90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，1CD2AACDEBAADCB3.：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP段，那么两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。〔补短法〕例6.：如图7所示，正方形ABCD段，那么两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。〔补短法〕例6.：如图7所示，正方形ABCD截长〞即将长的线段截成两局部，证明这两局部分别和两条短线段相等；“补短〞即将一条短线段延长出另一条短01203460DOC(AAS)FCDC即ACAECD〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线AE＝∠FAEGEEFEFBEDF6/13.中考题：如图8所示，ABC为等边三角形，延长BC到D，延4 .和CQ。设M为BC的中点。AAQBCPM14.ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：ADABACBC【试题答案】CC4A1F3DEBACADAFCDAFCCDE90简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短〞的手法。“，B60，∠BAC简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短〞的手法。“，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。求证：AC＝AE＋CD分析：在AC上截取A线段之长，证明其和等于长的线段。证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED在CBD和CED中，CBC01203460DOC(AAS)FCDC即ACAECD〔二〕延长一较短线段，使延长局部等于另一较短线 .ACCEACFCED(ASA)CFED1DECD2之长，证明其和等于长的线段。EEADCB在CBD和CED中，CBCEBCDECDCDCDCBDCEDBBACBAC又BACADEEEE2B2EADE，BCCEACEADAEAEACAD，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM4设BP、CQ是ABC的角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求