安徽省六校教育研究会2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省六校教育研究会2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知i为虚数单位，则复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．3．的展开式中的系数为（

）A．240 B． C．120 D．4．已知，，，则这三个数的大小关系是（

）A． B． C． D．5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（

）A．4 B．12 C．16 D．206．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象C，如下结论中不正确的是（

）A．图象C的对称轴方程为B．图象C的对称中心为C．函数的单调递增区间D．函数的图象C向右平移个单位长度可以得到函数的图象7．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市成功举行，举世瞩目.中国奥运健儿取得了多项历史性的突破，比赛期间要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每人去一个场馆，每个场馆都要有人去，则不同的方案种数为（

）A．120 B．150 C．240 D．3008．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为3的等边三角形，若三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．9．化简（

）A． B． C．2 D．10．在中，，，O是的外心，则的值为（

）A．8 B．6 C．4 D．311．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（

）A．23 B．26 C．36 D．6212．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．函数的图象在点处的切线的斜率为______.14．已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为，若，，则______.15．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有8%，6%，4%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，O为坐标原点，则双曲线C的离心率为______.评卷人得分三、解答题17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.18．某校教职工围棋比赛的决赛在田老师和李老师之间进行.比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜，比赛结束），若在每局比赛中，田老师获胜的概率为，李老师获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1)求李老师夺冠的概率；(2)已知前2局中，田老师、李老师各胜1局.设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及方差.19．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知，是与的等比中项.(1)求的通项公式；(2)若，求.20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点.（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.21．已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.22．已知函数，其中.(1)求函数的极值点；(2)设，当时，若对，，使，求k的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行求解即可.【详解】∵，，∴.故选：B.2．C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数；【详解】解：∵，∴；故选：C.3．A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可【详解】展开式的通项，由，可得.∴含项的系数为.故选：A.4．A【解析】【分析】根据指数和对数的性质，分别判断三个数的所在范围，可得大小关系．【详解】，，，又，∴.故选：A.5．C【解析】【分析】利用给定条件，构造等比数列并借助等比数列前n项和求解作答.【详解】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：，得，显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，所以需要的天数至少为16.故选：C6．D【解析】【分析】根据函数图象平移的性质可得，再分别代入对称轴、对称中心和点掉递增区间求解ABC，结合三角函数图象平移的方法判断D即可【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可以得，对A，令得，即的对称轴方程，对B，令得，即的对称中心为，对C，令得的递增区间为，故A，B，C均正确；对D，向右平移个单位可以得到，∴D错误.故选：D.7．B【解析】【分析】将5人分为3组有两种情况：1人1人3人；1人2人2人，再分好组派去三个不同的场馆求解即可【详解】将5人分为3组：1人1人3人；1人2人2人；再将分好的3组分配到三个不同的场馆共有种分法；故选：B.8．D【解析】【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选：D.9．D【解析】【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可【详解】，故选：D.10．C【解析】【分析】根据圆的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质进行求解即可.【详解】过点O分别作于点D，于点E，根据圆的性质可得D，E分别为，的中点，.故选：C.11．B【解析】【分析】解法一：设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，联立抛物线方程可得韦达定理，进而根据焦点弦长公式结合基本不等式求解即可；解法二：根据抛物线的性质，结合基本不等式求解即可【详解】解法一：设抛物线的方程，则，得，所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，由联立，得，∴，，∴，，，当且仅当，即，时取等号.解法二：，又，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.12．D【解析】【分析】构造判断奇偶性，并利用导数研究单调性，再应用奇偶性、单调性求不等式解集.【详解】由题设，，令，则，即为偶函数.所以，当时，则在为减函数，故在上为增函数，由，即，∴，解得.故选：D.13．【解析】【分析】先求得解析式，将x=1代入，即可得答案.【详解】由题意得，所以在点处的切线的斜率.故答案为：14．3【解析】【分析】由已知条件求得样本中心点，然后根据回归直线经过样本点中心得出.【详解】由题意知，，因为回归直线过点，所以，解得故答案为：15．##0.066【解析】【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.【详解】设事件B为此人患流感，，，分别代表此人来自甲，乙，丙三个地区，根据题意可知：，，，，，，.故答案为：16．【解析】【分析】解法一：根据，结合余弦定理列式化简求解即可；解法二：直线的方程为，再联立渐近线方程求解M的坐标，再根据勾股定理表达化简求解即可【详解】解法一：由题得，不妨设过点作双曲线渐近线的垂线，则由点到直线的距离得，又，所以，所以，在中，，又在中，，所以，所以，又，所以，所以.解法二：由题得，，不妨设过点作双曲线渐近线的垂线，则直线的方程为，联立方程组得，所以，，所以，化简得，所以.故答案为：17．(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可.(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，进而有，即可得，又因为，可得；(2)由题意得，解得，所以，所以，.故的取值范围为18．(1)(2)X23P【解析】【分析】（1）由相互独立事件与互斥事件的概率公式求解即可；（2）写出X的可能取值，并求出每个值对应的概率，即可求解(1)记C表示“李老师夺冠”，∵各局比赛结果相互独立，∴李老师要夺冠可分三种情况：①以夺冠，记为事件，则；②以夺冠，记为事件，则；③以夺冠，记为事件，则；∴(2)“第i局田老师获胜”记为事件，“第j局李老师获胜”记为事件.∵前2局中，田老师、李老师各胜1局，∴X的可能取值是2，3.又各局比赛结果相互独立，所以，，故X的分布列为X23P∴，∴.19．(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用和等比中项性质可得答案；（2）求出利用裂项相消求和可得答案.(1)由题意，当时，，当时，，∵当时，也满足上式，∴，∵是与的等比中项，∴，∴，解得，∴，.(2)由（1）知，，，所以由得，，所以.20．（1）存在，理由见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取的中点，连结、，可以证明得四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点；（2）先证明，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角的余弦值为，求出的长度，进而利用点面距的坐标公式求解即可．【详解】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点.证明：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.四边形为平行四边形.，又平面，平面，平面；（2）取中点，因为底面为菱形，所以，又，且，所以平面，即.又，即，而所以平面.又，所以为正三角形，即，也即所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）.以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.所以，.设平面的一个法向量为.由，取，得；取平面的一个法向量为.由题意，，解得..设点到平面的距离为，则.即点到平面的距离为21．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据椭圆过点的坐标，求出椭圆方程，即可求出椭圆的离心率；（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到的中点的坐标，从而求出直线的方程，即可得到的坐标，表示出、，即可得到，再根据函数的性质求出最大值；(1)解：将，代入椭圆方程，解得，所以椭圆的方程为，又，所以(2)解：设直线方程为，，，联立可得；则，且，，设的中点，则，，∴坐标为，，因此直线的方程为，从而点为，又，，所以，令，则，因此当，即时，最大值为3.所以的最大值为，此时，直线l的方程为.22．(1)答案见解析(2)3【解析】【分析】（1）求导得，分别讨论、、、几种情况下的正负，可得的单调性极值点，综合即可得答案.（2）当时，可得的单调性和最值，则，其中，根据解析式，分别求得、和时，的最值，分析即可得答案.(1)由题意得，所以①当时，当，，则为单调递减函数，当，，则为单调递增函数；所以函数有唯一极小值点为1，无极大值点.②当时，由，即，解得，.1°.当时，恒成立，函数为减函数，无极值点；2°.当时，，则，当，，则为单调递减函数，当，，则为单调递增函数，所以函数有唯一极小值点为1和唯一极大值点为.3°.当时，，当，，则为单调递