【研究生应用数学基础】2.线性空间

第一章集合上的数学结构2.线性空间一、线性空间的概念二、线性空间的基、坐标和维数（一）线性表示与向量组的线性相关性（二）线性空间的基、坐标、维数（三）基变换与坐标变换三、子空间1整理ppt四、维数定理五、子空间的直和六、线性空间的线性同构2整理ppt一、线性空间的概念线性空间的定义线性空间的例：

R,Rn,Rn×n,Rn[x]都是R上的线性空间.C,Cn,Cn×n,Cn[x]都是C上向量空间.C[a,b],Cn[x]线性空间的简单性质3整理ppt在线性代数中，大家已熟悉了具体的线性空间Rn和Cn。这里要在一般集合上建立线性结构，即加法运算和数乘运算，使集合上有了代数结构。线性空间上首先有了向量组的线性相关性的概念，接着建立线性空间上基、坐标、维数的概念。这样，可以象在Rn上那样研究一般的线性空间。

4整理ppt

一、线性空间的概念设C是复数集合，K是C的一个非空集合，它含有0和1，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称K是一个数域。显然，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域。分别称为有理数域，实数域和复数域。今后用F代表数域（实数域R或复数域C）。5整理ppt定义2.1

设V是一个非空集合,F是一个数域(实数域R或复数域C),在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x与y，在V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称为x与y的和，记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么称V为数域F上的线性空间。

6整理ppt

(1)加法满足下面四条规则：

x,y,zV,有

①x+y=y+x;②x+(y+z)=(x+y)+z;③零元素V,使x+=x=+x;④x的唯一负元素-xV,使x+(-x)=.(2)

数乘满足下面两条规则：

x,yV,,F,有⑤(

x)=()x;⑥1x=x.7整理ppt

(3)数乘相对于V上加法和F上的加法相对于数乘有分配律:

⑦(+)x=

x+

x;⑧

(x+y)=

x+

y.则称V为数域F上的线性空间,其中元素称为向量,所以线性空间也叫向量空间.R,Rn,Rn×n,Rn[x]都是R上的线性空间.C,Cn,Cn×n,Cn[x]都是C上向量空间.8整理ppt例2.1Rn={x=(x1,x2,‥‥,xn)T|xi∈R,1≤i≤n}是R上的线性空间。证明：只要定义：

x=(x1,x2,‥‥,xn)T

，

y=(y1,y2,‥‥,yn)TRn,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2,‥‥,xn+yn)T∈Rnk·x=(kx1,kx2,‥‥,kxn)T∈Rn满足：x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,z=(z1,z2,…,zn)TRn,k,lR（1）x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)T=(y1+x1,y2+x2,…,yn+xn)T=y+x9整理ppt(2)(x+y)+z=((x1+y1)+z1,(x2+y2)+z2,…,(xn+yn)+zn)T=(x1+(y1+z1),x2+(y2+z2),…,xn+(yn+zn))T=x+(y+z)(3)存在零向量

=（0，0，…，0）T，使

x+=+x=x(4)-x=(-x1,-x2,‥‥,-xn)T,使

x+(-x)=(-x)+x=(5)k·(l·x)=k(lx1,lx2,‥‥,lxn)T

=(kl)((x1,x2,‥‥,xn)T

=(kl)·x10整理ppt(6)1·x=1·(x1,x2,‥‥,xn)T

=(1x1,1x2,‥‥,1xn)T

=(x1,x2,‥‥,xn)T

=x(7)(k+l)x=((k+l)x1,(k+l)x2,‥‥,(k+l)xn)T

=k(x1,x2,‥‥,xn)T+l(x1,x2,‥‥,xn)T

=k·x+l·x(8)k·(x+y)=k·(x1+y1,x2+y2,‥‥,xn+yn)T

=k·x+k·y

11整理ppt例2.2考虑C[a,b],x,yC[a,b],kR,定义加法和数乘:(x+y)(t)=x(t)+y(t)(kx)(t)=kx(t)由于两个连续函数之和仍为连续函数,连续函数与常数相乘仍是连续函数,由此易知,C[a,b]是R上的线性空间.例2.3

次数不超过n的复系数多项式集合

Cn[x]={p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an|ai∈C,0≤i≤n}按通常多项式加法和数与多项的乘法，构成复数域C上的向量空间。12整理ppt例2.4

元素属于复数域C的m×n矩阵集合

Cm×n={A=(aij)mn|aij∈C}按矩阵的加法和数乘构成C上向量空间。例2.5

给定A∈Cm×n,记

R（A）={y∈Cm|y=Ax,x∈Cn}N(A)={x∈Cn|Ax=0}按向量的加法和数乘，是C上线性空间。证明：设y1,y2∈R(A),则存在x1,x2∈Cn,使

y1=Ax1,y2=Ax2,y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2)∈R(A)

kC,ky1=kAx1=A(kx1)∈R(A)x1,x2N(A),则Ax1=0,Ax2=0,13整理pptA(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0∴x1+x2∈N(A),kC,A(kx1)=kAx1=k0=0,所以，kx1∈N(A).例2.6

设A∈Cm×n,V={x∈Cn|Ax=b,b≠0}按向量的加法和数乘不是线性空间。这是因为，x,y∈V,Ax=b,Ay=b,A(x+y)=Ax+Ay=b+b≠b即x+yV14整理ppt线性空间有以下简单性质：（1）线性空间V（F）有唯一的零元;xV(F),有唯一的负元-x.

实际上，若有两个零向量和′，则

+′==′xV(F),若有两个负向量y1和y2,满足

x+y1=x+y2=于是，y1-y2=,即y1=y2(2)设x∈V(F),k∈F,则有

0x=,k=,(-1)x=-x15整理ppt二、线性空间的基、坐标与维数线性表示与向量组的线性相关性线性空间的基与维数、向量的坐标基变换与坐标变换公式16整理ppt

二、线性空间的基、坐标和维数（一）线性表示与向量组的线性相关性定义2.2

设V是数域F上的线性空间,x,x1,x2,…,xmV是V中一向量组,如果存在一组数k1,k2,…,kmF,使

x=k1x1+k2x2+…+kmxm则称x是x1,x2,…,xm的线性组合,或称x可由x1,x2,…,xm线性表示.例如，

1=（2,-1,3,1)T,2=(4,-2,5,4)T,

3=(2,-1,4,-1)T

3=31-2即3可由1,2线性表示.17整理ppt又如,由于18整理ppt定义2.3

设x1,x2,…,xmV是一组向量,如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,kmF使

k1x1+k2x2+…+kmxm=,则称向量组x1,x2,…,xm线性相关;否则称x1,x2,…,xm线性无关,即若

k1x1+k2x2+…+kmxm=,则k1=k2=…=km=0.设EV,若E的任一有限向量组都是线性无关的则称E是线性无关的.定义2.4

设V是数域F上的线性空间,EV,令19整理ppt称SpanE为E生成空间,或E张成的空间20整理ppt例2.7

线性空间V（F）中的向量组x1,x2,…,xm(m>1)线性相关的充分必要条件是向量组x1,x2,…,xm中至少有一个向量是其余向量的线性组合。证明：）设x1,x2,…,xm线性相关，则存在不全为零的一组数k1,k2,…,km∈F,使

k1x1+k2x2+…+kmxm=不妨设k1≠0,则

21整理ppt)设x1=k2x2+k3x3+…+kmxm则(-1)x1+k2x2+k3x3+…+kmxm=由于-1，k2,…,km不全为零，所以x1,x2,…,xm线性相关。例2.8n维单位向量组e1=(1,0,0,…,0)T,e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,0,0,…,1)T线性无关。证明：若有数k1,k2,…,kn∈R,使

k1e1+k2e2+…+knen=,则(k1,k2,…,kn)T=,即k1=k2=…=kn=0所以，e1,e2,…,en线性无关。22整理ppt例2.9

试证：R2×2中的一组向量（矩阵）线性无关。证明：若有数k1,k2,k3,k4∈R,使即所以，k1=k2=k3=k4=0,E11,E12,E21,E22线性无关。23整理ppt例2.10

试证R2×2中的向量（矩阵）组线性相关。证明：由于

1-2+3=所以1，

2，

3线性相关。24整理ppt（二）线性空间的基、坐标、维数定义2.5

设x1,x2,…,xnV是一组向量,如果满足:(1)x1,x2,…xn线性无关；（2）

xV,x可由x1,x2,…,xn线性表示，则称x1,x2,…,xn是V的一组基。设E是线性空间V的线性无关无限子集,如果

SpanE=V,则称E是线性空间V的基.例如,{1,x,x2,…,xn}是Rn[x]的一组基.xV,必有唯一的一组数k1,k2,…,knF,使

x=k1e1+k2e2+…+knen则称(k1,k2,…,kn)是x的坐标.25整理ppt证明：设x有两种表示：

x=a1x1+a2x2+…+anxn=b1x1+b2x2+…+bnxn则(a1-b1)x1+(a2–b2)x2+…+(an–bn)xn=

由于x1,x2,…,xn线性无关，所以

a1=b1,a2=b2,…,an=bn例2.11

向量组e1=(1,0,0,…,0)T,e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,0,0,…,1)T是Rn中一组基。称之为自然基。实际上，前面已证它是组性无关的，而且

x=(x1,x2,…,xn)TRn,有

x=x1e1+x2e2+…+xnen26整理ppt例2.12

设Eij∈Rm×n(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m)为第ij元素为1其余元素均为0的矩阵，它是Rm×n的一组基，称之为自然基。实际上，它是线性无关的。若有数kij∈R,使

则得即kij=0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m)其次，

A=（aij)mnRm×n有

27整理ppt例2.13R上次数不超过n的多项式集合Rn[x]是线性空间，1,x,x2,…,xn是一组基。定理2.1设x1,x2,…,xn是线性空间V（F）的一组基，则当m>n时，V（F）中任意m个向量的向量组是线性相关的。证明：设y1,y2,…,ym(m>n)是V（F）中任一向量组，由于x1,x2,…,xn是一组基，则有28整理pptyi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn(i=1,2,…,m)若有数c1,c2,…,cm∈F,使

c1y1+c2y2+…+cmym则由于方程个数n小于未知数个数m，上面的方程组必有非零解(

1,2,…,m)T,29整理ppt

1y1+

2y2+…+

mym=

即y1,y2,…,ym线性相关。定理2.2

线性空间V（F）中任意两组基

所含向量个数相等。证明：设x1,x2,…,xn与y1,y2,…,ym分别为V（F）的两组基，由上面的定理，n≤m.若不然，则m>n,由于y1,y2,…,ym是基，所以，x1,x2,…,xn线性相关，矛盾！同样可证：m≤n,从而，m=n。30整理ppt定义2.7

线性空间V（F）的一组基所含向量的个数称为V（F）的维数，记作dimV(F).n维的线性空间V（F）可记作Vn（F）。例如，dimRn=n,dimRn[x]=n+1dimRm×n=mn定理2.3n维向量空间Vn(F)中任意n个线性无关的向量组是Vn(F)的一组基。证明：

yV(F),由于y,x1,x2,…,xn线性相关，则y可由x1,x2,…,xn线性表示，从而，x1,x2,…,xn是一组基。31整理ppt（三）基变换与坐标变换设x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn是线性空间Vn(F)的两组基，则有或其中32整理ppt称P为基x1,x2,…,xn到基y1,y2,…,yn的过渡矩阵。过渡矩阵是可逆的。实际上，由于y1,y2,…,yn线性无关，则若有数k1,k2,…,kn∈F,使

k1y1+k2y2+…+knyn=必须k1=k2=…=kn=0即

相当于33整理ppt只有零解。相当于34整理ppt设x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn是线性空间Vn(F)的两组基，x∈Vn(F)在基x1,x2,…,xn与y1,y2,…,yn下的坐标分别是即或35整理ppt由于x1,x2,…,xn线性无关，得坐标变换公式36整理ppt例2.14

在R3中求向量x=(1,2,1)T在基x1=(1,1,1)T,x2=(1,1,-1)T,x3=(1,-1,-1)T下的坐标。解：R3中自然基e1,e2,e3,则有37整理ppt设x在基x1,x2,x3下的坐标为(

1,2,3)T,已知x在e1,e2,e3下的坐标为（1，2，1）T，则例2.15

在Rn[x]中，1,x,x2,…,xn与1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n为两组基，求前一组基到后一组基的过渡矩阵。解：38整理ppt1=1·1x-a=-a·1+1·x(x-a)2=a2·1-2a·x+1·x2(x-a)3=-a3·1+3a2·x-3a·x2+1·x3………………

39整理ppt由1,x,x2,…,xn到1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n的过渡矩阵是40整理ppt例2.16

在R4中,求其中并求向量

=(x1,x2,x3,x4)T在1,2,3,4下的坐标。解：已知e1=(1,0,0,0)T,e2=(0,1,0,0)T,e3=(0,0,1,0)T,e4=(0,0,0,1)T是一组基，且41整理ppt42整理ppt43整理ppt44整理ppt45整理ppt46整理ppt三、子空间子空间的定义验证子空间的充分必要条件子空间的基与维数47整理ppt

三、子空间定义2.7

设S是线性空间V（F）的非空子集。若S中向量关于V（F）的加法和数乘也构成F上的线性空间，则称S是V（F）的子空间。例如，{}和V（F）是线性空间V（F）的两个子空间，称之为V（F）的平凡子空间。定理2.1

设S是线性空间V（F）的非空子集。S是V（F）的子空间的充分必要条件是：

(1）

x,yS,有x+y∈S;(2)kF,xV(F),有kx∈S。证明：必要性显然。来证充分性。只要验证满足线性空间的条件。48整理ppt(1)x,yS,则x,y∈V(F),x+y=y+x(2)x,y,zS,则x,y,z∈V(F),(x+y)+z=x+(y+z)(3)取a∈S,=0·a∈S(4)xS,-x=(-1)·xS(5)k∈F,x,yS,则x,y∈V(F),k·(x+y)=k·x+k·y(6)k,l∈F,xS,则x∈V(F),(k+l)·x=k·x+l·x(7)k,l∈F,xS,则x∈V(F)k·(l·x)=(kl)·x(8)xS,则x∈V(F),1·x=x49整理ppt例2.17

设S={x1,x2,…,xr}V(F),S生成的空间SpanS是V（F）的子空间。证明：SpanS显然非空，而且

x,ySpanS,kFx=a1x1+a2x2+…+arxry=b1x1+b2x2+…+brxrx+y=(a1+b1)x1+(a2+b2)

x2+…+(ar+br)

xr∈SpanSkx=(ka1)x1+(ka2)x2+…+(kar)xr∈SpanS定义2.8

设T是线性空间V(F)中的一个向量组,(1)x1,x2,…,xr线性无关；（2）

xT,x,x1,x2,…,xr线性相关，50整理ppt则称x1,x2,…,xr为T的一个极大线性无关组；T的一个极大线性无关组的向量个数定义为T的维数。定理2.2n维线性空间Vn（F）的任一线性无关的向量组x1,x2,…,xr必可扩充为Vn(F)的一组基。证明：已知x1,x2,…,xr线性无关。当r<n时，x1,x2,…,xr不可能是Vn(F)的基。至少存在一个向量xr+1∈Vn(F),使x1,x2,…,xr，xr+1线性无

关。若r+1=n,则x1,x2,…,xr，xr+1是Vn(F)的一组基.否则,继续上述步骤,由于dimVn(F)=n,必有正整数l,使r+l=n,即x1,x2,…,xr，xr+1…，xr+l是Vn(F)的基。51整理ppt例2.18N(A)={x∈Rn|Ax=,A=(aij)mn},A的秩为r,则N（A）是n-r维子空间。证明：kF,x,y∈N(A),Ax=,Ay=,有

A(x+y)=Ax+Ay=+=A(kx)=kAx=k=所以，x+y∈N(A),kx∈N(A),即N（A）是Rn的子空间，由于A的秩为r,因此,齐次线性方程组Ax=有n-r个线性无关的解向量，即N（A）是n-r维的。52整理ppt例2.19

设V1,V2是线性空间V(F)的两个子空间,则W=V1∩V2是V(F)的子空间.证明:首先,V1,V2,V1∩V2,即V1∩V2非空.其次,(1)x,yV1V2,则x,yV1,x+yV1,x,yV2,x+yV2,x+yV1V2;(2)kF,xV1V2,则xV1,xV2,kxV1,kxV2,kxV1V253整理ppt例2.20

设V1,V2是线性空间V(F)的两个子空间,则W=V1+V2={x+y|x∈V1,y∈V2}是V(F)的子空间,称之为V1与V2的和空间.证明:显然W=V1+V2非空.(1)x,y∈V1+V2,则存在x1,x2∈V1,y1,y2∈V2,满足：x=x1+y1,y=x2+y2于是x+y=(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)∈V1+V2(2)k∈F,x∈V1+V2,则存在x1∈V1,y1∈V2,使

x

=x1+y1于是，kx=k(x1+y1)=(kx1)+(ky1)∈V1+V2其中kx1∈V1,ky1∈V254整理ppt例2.21

设

1=(1,2,1,0)T,2=(-1,1,1,1)T,

1=(2,1,0,1)T,2=(1,-1,3,7)T求V1=Span{1,2},V2=Span{1,2}的和与交的维数和它们的基。解：因为

V1+V2=Span{1,2}+Span{1,2}=Span{1,2,1,2}向量组1,2,1,2的秩为3，且1,2,1是一个极大线性无关组，所以

dim(V1+V2)=3,

1,2,1是V1+V2的一组基。55整理ppt下面求V1∩V2的基。设∈V1∩V2，则有k1,k2,l1,l2∈R,使

=k1

1+k2

2=l1

1+l2

2即k1

1+k2

2-l1

1-l2

2=

其基础解系是(1,-4,3,-1)T,即

k1=1,k2=-4,l1=3,l2=-1,=1-42=31-2=(5,-2,-3,-4)T56整理ppt故dim(V1V2)=1,而

=(5,-2,-3,-4)T是V1V2的一个基。定理2.3

向量空间V中两个向量组

1,

2…,s和1,

2,…,t张成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组和等价，即这两个向量组可相互线性表示。证明：）设

Span{1,

2…,s}=Span{1,

2,…,t}57整理ppt则每一个

i(i=1,2,…,s)作为Span{1,

2,…,t}中向量，都可由1,

2,…,t线性表示；同样，每一个

j(j=1,2,…,t)作为Span{1,

2…,s}中向量,都可由1,

2…,s线性表示；所以，这两个向量组等价。）设这两个向量组等价。Span{1,

2…,s}中每个向量都是1,

2…,s的线性组合，从而都可由1,

2,…,t线性表示；即

Span{1,

2…,s}Span{1,

2,…,t}同理Span{1,

2,…,t}Span{1,

2…,s}所以，Span{1,

2…,s}=Span{1,

2,…,t}58整理ppt定理2.4

线性空间V中向量组

1,

2…,s张成的子空间Span{1,

2…,s}的维数等于向量组

1,

2…,s的秩.证明:设1,

2…,s的秩为r,并设为它的一个极大线性无关组，则

1,

2…,s与等价，因此Span{1,

2…,s}中每个向量都可由线性表示，即Span{1,

2…,s}的维数为r。59整理ppt四、维数定理维数定理60整理ppt

四、维数定理定理2.5

设S1和S2是线性空间Vn（F）的两个子空间，则有

dim(S1+S2)=dimS1+dimS2-dim(S1∩S2)证明：设dimS1=n1,dimS2=n2,dim(S1∩S2)=m,要证：dim(S1+S2)=n1+n2-m.取S1∩S2的一组基x1,x2,…,xm,并分别扩充为S1和S2的基：

可以证明61整理ppt现在证明：线性无关，从而证明了本定理。设有数令于是，x∈S1且x∈S2,从而x∈S1∩S2,于是可令62整理ppt所以，由于是基，得到而且，x=,于是由于是基，得到于是线性无关。63整理ppt五、子空间的直和子空间的和空间与直和的定义两个子空间的直和的等价条件64整理ppt

五、子空间的直和定义2.9

设S1和S2是线性空间V（F）的两个子空间，若和空间S1+S2中每一个向量x的分解式x=x1+x2(x1∈S1,x2∈S2)唯一，则称S1+S2为S1与S2的直和，记作S1S2。例2.22

设R4中的三个子空间

V1={(a,b,0,0)T|a,b∈R}V2={(0,0,c,0)T|c∈R}V3={(0,d,e,0)T|d,e∈R}则T=V1+V3不是直和，因为

65整理ppt(1,1,1,0)T=(1,2,0,0)T+(0,-1,1,0)T=(1,0,0,0)T+(0,1,1,0)T但S=V1+V2是直和.这是因为uS,u=(a,b,0,0)