吉林省部分名校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题

数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章，第二章2.3止。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l经过两点，，则l的斜率为（）A． B． C． D．2．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．， B．， C．， D．，3．若，，三点共线，则（）A．4 B． C．1 D．04．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．5．若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（）A．0 B． C． D．6．直线l过点，且方向向量为，则（）A．直线l的点斜式方程为 B．直线l的斜截式方程为C．直线l的截距式方程为 D．直线l的一般式方程为7．如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点D到平面的距离为（）A． B． C． D．8．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，若点M在矩形ABCD内，且平面DEF，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l：与n：，下列选项正确的是（）A．若，则或B．若，则C．直线l恒过点D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为10．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（）A． B． C． D．11．已知点，，直线l：，则下列说法中正确的有（）A．直线l恒过点B．若直线l与线段PQ有交点，则C．点P到直线l的距离的最大值为D．若，M为直线l上一点，则的最小值为12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2，在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为4C．二面角的余弦值为D．若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平行线与间的距离为______．14．若向量，，且，则______．15．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为______．第15题图16．在正四棱台中，，，，，，若平面，则______．第16题图四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线的斜率为2，直线过点，．（1）若直线的倾斜角为，求m的值；（2）若，求m的值．18．（12分）已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求BC边上的高所在直线的方程．19．（12分）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．（1）求的值；（2）证明：C，E，F，G四点共面．20．（12分）如图，在正方体中，E，F，G分别是，BC，AD的中点．（1）证明：．（2）求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知的顶点，边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为．（1）求顶点B，C的坐标；（2）求的面积．22．（12分）如图，在四面体ABCD中，，，，，，E，F，G分别为棱BC，AD，CD的中点，点H在线段AB上．（1）若平面AEG，试确定点H的位置，并说明理由；（2）求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围．数学试卷参考答案1．A由，得l的斜率为．2．B令，解得，故；令，解得，故．3．A因为，，所以，解得．故．4．B当斜率k存在时，，，因为，结合正切函数的图象，所以倾斜角．5．B不妨作草图，如图所示，因为直线OA的倾斜角为，，所以直线OB的倾斜角为，直线AB的倾斜角为．6．D因为直线l的方向向量为，所以直线l的斜率为2．因为直线l过点，所以直线l的点斜式方程为，其一般式为．7．D以C为坐标原点，CD，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．点D到平面的距离为．8．D如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，．设平面DEF的法向量为，则，令，得．设，则．因为平面DEF，所以，则，解得，．故．9．AC若，则，解得或，经检验，均符合，故A正确；若，则，解得或，故B不正确；由得所以l恒过点，故C正确；若直线n在x轴上的截距为6，则，得，所以直线n的方程为，斜截式为，故D不正确．10．BCD当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则解得或若则直线l的方程为，即，若则直线l的方程为，即．11．BCD因为直线l的方程可化为，所以直线l过定点，故A错误．因为直线l过定点，且，，所以，故B正确．当直线时，点P到直线l的距离最大，且最大值为，所以C正确．当时，直线l的方程为．设P关于直线l的对称点为，则解得，，所以，所以，故D正确．12．BCD因为，所以．该几何体的表面积为，A错误．该几何体的体积为，B正确．设EF的中点为O，连接OB，OH（图略），则即二面角的平面角．，，C正确．建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，当且仅当，时，等号成立．故PQ的最小值为，D正确．13．将方程两边乘以2，得，所以该两平行线间的距离为．14．3，．因为，所以，解得．15．以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．16．连接，设，平面平面．因为平面，所以．，，，，因为，所以．17．解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得．（2）因为，直线的斜率为2，所以直线的斜率为，所以，解得．18．解：（1），直线BC的方程为，即．点A到直线BC的距离为．（2）结合（1）可得，BC边上的高所在直线的斜率为．BC边上的高所在直线的方程为，即．19．解：以点A为坐标原点，AD，，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．，．（1）．（2）证明：．令，即解得所以．故C，E，F，G四点共面．20．解：设正方体的棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．，，，．（1）证明：因为，所以，即．（2）因为，所以，即．因为，所以平面，即为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．注：第（1）问若不建系，证法如下：连接（图略）．在正方体中，平面，所以．因为，所以．在正方形中，E，G分别是边，AD的中点，可得，所以，，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．21．解：（1）设，因为边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为，所以解得即B的坐标为．设，因为边AB上的中线所在直线方程为，边AC上的高所在直线方程为，所以解得即C的坐标为．（2）因为，，所以．因为边AB所在直线的方程为，即，所以点到边AB的距离为，即边AB上的高为，故的面积为．22．解：（1）若平面AEG，则H为AB的中点，理由如下：因为E，G分别为BC，CD的中点，所以．因为平面AEG，所以平面AEG．若平面AEG，只需即可．因为F为AD的中点，所以H为AB的中点．（2）过点D作平面ABC，垂足为O，连接OE，