甘肃省河西五市部分普通高中数学一模试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A=｛x｜｜x｜＜2｝,B={﹣1，0，1,2，3｝，则A∩B=（）A．{0,1｝ B．{0，1,2} C．{﹣1,0，1｝ D．{﹣1，0，1，2｝2．已知向量=（，）,=（，），则∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120°3．已知,,，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位,则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix45．已知随机变量Z～N（1,1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P(μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0。6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0。9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0。9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1)2+（y﹣1）2≤2，q:实数x，y满足，则p是q的（)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点,且｜PM|=2｜MF｜,则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C． D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在［0,+∞）上递减,若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1)对x∈［0，1］恒成立，则实数a的取值范围为（）A．［，1] B．[﹣，1] C．［1,3] D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ)（ω＞0，｜φ｜≤），x=﹣为f(x）的零点，x=为y=f（x)图象的对称轴，且f(x)在（，）上单调，则ω的最大值为()A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3｜BC｜,则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”｛an｝如下：｛an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…ak中0的个数不少于1的个数．若m=4,则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．(12分）记U={1，2，…，100}，对数列｛an｝(n∈N＊）和U的子集T,若T=∅，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk},定义ST=++…+．例如：T={1，3，66}时,ST=a1+a3+a66．现设｛an｝(n∈N＊)是公比为3的等比数列,且当T={2，4｝时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式;（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆｛1，2，…，k｝，求证:ST＜ak+1；（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD,求证：SC+SC∩D≥2SD．18．(12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE,并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图(Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;（Ⅱ）建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据:yi=9。32，tiyi=40.17，=0。55，≈2。646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．(12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点)．21．(12分)已知f(x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g(x)=（x+1）f′（x)（其中f′（x)为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x)=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点,试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．(Ⅰ)将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．［选修4—5：不等式选讲］23．已知函数f（x)=｜2x﹣1｜+｜2x+1｜．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．

2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=｛x｜｜x|＜2}，B=｛﹣1,0，1，2,3｝，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2｝ C．{﹣1，0，1} D．｛﹣1，0，1，2｝【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=｛x｜|x｜＜2｝=｛x|﹣2＜x＜2｝,B=｛﹣1，0，1，2,3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（,），=（，）,则∠ABC=()A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：,;∴；又0°≤∠ABC≤180°;∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，==，进而得出．【解答】解：∵=，==，==，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．4．设i为虚数单位，则(x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为(）附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P(μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0。9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解:由题意P(0＜X≤1)=1﹣×0。6826=1﹣0.3413=0。6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0。6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题．6．函数，则f(x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f(x）的范围；当x≤0时，求出f(x）的导数,单调区间和极大值,也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f(x)=1﹣2x递减,可得f（x）＜1;当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x)=3x2﹣3=3（x﹣1)（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′(x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′(x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选:B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用:求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力,属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°,在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中,∠BCD=120°,CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：(x)2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足(x﹣1）2+(y﹣1）2≤2，q:实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1)2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域(包括边界)；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM｜=2｜MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A． B． C． D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（,0)，设P(，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．要求kOM的最大值，设y0＞0,则=+=+=+(﹣）=+=(+，),可得kOM==≤=,当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用,考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（)A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积．【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2的正方形，AE，DF为底面的垂线，且AE=2，DF=1,∴V=VE﹣ABC+VC﹣ADFE=+=．故选D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在［0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈［0，1］恒成立，则实数a的取值范围为(）A．[，1］ B．［﹣，1] C．［1，3］ D．（﹣∞1］【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x)在[0,+∞）上递减,∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f(1)等价为2f(x3﹣x2+a）≥2f（1)即f（x3﹣x2+a）≥f(1）对x∈［0,1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈［0,1]恒成立，设g(x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2)，则g（x）在［0,）上递减,在（，1]上递增,∵g（0）=g(1）=0，g（)=﹣，∴g(x)∈［﹣,0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x)=sin（ωx+φ）(ω＞0，｜φ|≤）,x=﹣为f（x)的零点，x=为y=f（x)图象的对称轴,且f（x)在（,）上单调，则ω的最大值为(）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12,结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解:∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，(n∈N）即ω=2n+1,（n∈N)即ω为正奇数,∵f（x)在（,)上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z,∵｜φ|≤，∴φ=﹣，此时f(x）在（，）不单调,不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵｜φ｜≤，∴φ=,此时f（x）在(，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难,难度较大．一．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9,b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为:9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）,若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB,CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3｜BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c,代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B,C,D的坐标，由2|AB｜=3｜BC｜,可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解:令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣),C（c，﹣)，D（c,），由2|AB｜=3｜BC｜，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac,由b2=c2﹣a2，e=,可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想,正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96cm．则=,解得α=60°,所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”｛an｝如下：{an｝共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列"共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1,当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知,“规范01数列"有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有:0，0,0，0，1,1，1,1；0，0，0，1，0，1，1,1；0，0，0,1，1,0，1,1；0,0，0，1，1，1，0，1;0,0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1,0，1,1；0，0，1，0,1，1,0，1;0，0，1，1，0,1,0,1；0，0，1，1，0，0,1，1；0，1,0，0，0，1，1,1；0，1，0，0，1，0，1，1；0,1，0，0，1,1，0,1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0,1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解,枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（12分）（2016•江苏）记U={1,2，…，100}，对数列{an}（n∈N＊）和U的子集T，若T=∅,定义ST=0；若T={t1,t2，…，tk｝，定义ST=++…+．例如：T=｛1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an｝（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T=｛2，4}时，ST=30．（1)求数列{an｝的通项公式；（2）对任意正整数k(1≤k≤100），若T⊆｛1，2,…，k},求证：ST＜ak+1;(3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】(1）根据题意,由ST的定义,分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30,计算可得a2=3，进而可得a1的值,由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；(3）设A=∁C（C∩D)，B=∁D（C∩D)，则A∩B=∅,进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB，分2种情况进行讨论:①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到SA≥2SB，即可得证明．【解答】解：（1）当T=｛2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故an=3n﹣1,（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1,（3)设A=∁C（C∩D)，B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得SC=SA+SC∩D,SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，因此原命题的等价于证明SC≥2SB，由条件SC≥SD，可得SA≥SB,①、若B=∅，则SB=0，故SA≥2SB，②、若B≠∅，由SA≥SB可得A≠∅,设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，因为A∩B=∅,所以l≠m，则l≥m+1，SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即SA≥2SB，综上所述，SA≥2SB，故SC+SC∩D≥2SD．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容,解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图,在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】(I)延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II)如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M,可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0,0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0)，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解:（I)延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点,∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD,∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE,∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE,∵M∈AB,AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M,∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E(0，1，0）,C（﹣1,2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2)，=(0，0，2）,设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2,z=1，∴=（2，2，1)．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55,≈2。646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】(Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；(Ⅱ)根据已知中的数据,求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10,代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系，∵yi=9。32，tiyi=40。17,=0。55，∴r≈≈0.993，∵0。993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ)由≈1.331及(Ⅰ）得=≈0.103，=1。331﹣0.103×4=0。92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0。10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得:=0.92+0.10×10=1。92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）(2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0,即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1)由题意,可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程,可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A(x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4(m2+2）（n2﹣2）=8(m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P(x0，y0），则．x0=﹣m×+n=,由于点P在直线y=mx+上，∴=+,∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n｜•=，由均值不等式可得:n2（m2﹣n2+2)=,∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2,即2n2=m2+2，又∵，解得m=,当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g(x）=(x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数)，判断g(x）在(﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F(x）=ln（x+1）﹣af(x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f(x）求导后知g（x）,对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x)的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围,再取并集即可．【解答】解：（1）∵f(x）=e﹣，∴f′(x）=﹣,∴g（x）=（x+1）（﹣),∴g′（x）=［（x+3）﹣1],当x＞﹣1时,g′（x）＞0，∴g（x）在(﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=(﹣g（x)）,由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1)=0可知当x∈（﹣1，+∞）时，g(x）∈(0，+∞）,则F′（x)=（﹣g（x））有唯一零点,设此零点为x=t，易知x∈(﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时,F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F(x）max=F（t）=ln（t+1)﹣af(t）+4，其中a=，令G(x）=ln（x+1)﹣+4,则G′（x）=,易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′(x)＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0)=0，①当0＜a＜4时,g（t)=＞=g（0），由g(x）在(﹣1，+∞)上单调递增,知t＞0,则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，由F（x）在(﹣1，t)上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0,g(t）＞0在（﹣1