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第九章欧氏空间习题答案一、填空题1、0;2、,;3、;4、;5、;6、;7、,;8、;9、;10、线性变换在某基下得矩阵;11、0,;12、它们得维数相同;13、,1;14、;15、正交;16、;17、正定得。二、判断题15××√√√610√×√√√1115√√√×√1620√√×√×三、选择题15CDBCC610CACB(BD)1115BDAAA1618ABB四、计算题由,故特征值为。当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。则令,为正交阵,有。(1),由于二次型正定,则,即。(2)当时,则。由,特征值为。故标准形为。二次型矩阵为。由于正交变换得到得标准形为,则得特征值为,故,可得。当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为。则令,为正交阵,有。设属于特征值得特征向量为,则,即,基础解系为,。把,单位化为,。单位化为。令,为正交阵,有。进一步得到。当时,则故对于任何整数,该集合均为正交向量组。令得一组基为,则有,可得在这组基下得度量矩阵为。由,特征值为。当时,有,则基础解系为,单位化为;当时,有,则基础解系为,单位化为令为正交阵,使得。则对角阵不就是单位阵。令对应得二次型矩阵为(1)正交变换:由,故特征值为。当时,有,则特征向量为,单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为。则令,为正交阵,有,则标准形为。(2)平移变换:即,作非退化线性替换,即。。不妨设,则,其中设得一组标准正交基为,则。因为就是对称矩阵,则就是对称变换。由,故特征值为。当时,有,则特征向量为,单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为。则令,为正交阵,则存在一组标准正交基使得,则有。设且,,则,即可取。把正交单位化如下,。,,。为得一组标准正交基。由,故特征值为。当时,有,则特征向量为,属于特征值0得全部得特征向量为,其中为任意常数。单位化为;当时,有,则特征向量为,单位化为。则令为正交阵,则存在一组标准正交基使得,则有。五、证明题,即。令,,则,。则,,即,则就是一个对称变换。必要性就是显然得。下面来证明充分性。由于,即,因此,从而就是单射,又由于存在双射,并且有。因此欧氏空间与一个同构映射。不妨设就是向量组得一个极大线性无关组,下证就是向量组得一个极大线性无关组。令,则有则,由于线性无关,则,即线性无关。根据得极大性,则,即。故,也即就是说就是向量组得一个极大线性无关组,即,从而。(1)左边(2)右边,则。又因为都就是对称变换。则上式可化为,故就是对称变换。令,,,则有解秩秩秩秩与同解。设实对称矩阵,则。而为得阶顺序主子式,。故当充分大时,,。故可得就是正定矩阵。就是正交变换,则,。设就是向量组得一个极大线性无关组,则就是向量组得一个极大线性无关组。否则得话线性无关。因为得极大性,则线性相关。即存在不全为零得,满足,从而即,即线性相关这就是矛盾得。再将单位化为,

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