人教版八年级数学上册《13.3.1 等腰三角形》练习题（附答案）

第=page11页，共=sectionpages11页人教版八年级数学上册《13.3.1等腰三角形》练习题（附答案）一、选择题1.等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角是(

)A.70° B.55° C.60° D.70°或55°2.等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为cm．(

)A.13 B.17 C.13或17 D.17或113.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(

)A.55°，55° B.70°，40°或70°，55°

C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD/​/AB，则∠BCD=(

)A.40°

B.50°

C.60°

D.70°5.如图，在▵ABC中，AB=AC，∠A=30​∘，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于(

)

A.30° B.45° C.60° D.90°

6.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DAF=45°，AB//ED，则∠AFD的度数是(

)

A.15∘ B.30∘ C.45∘7.如图，由下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(

)

A.∠B=∠C B.AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

C.AD⊥BC，BD=CD D.AD⊥BC，∠BAD=∠ACD8.如图，∠ACB=90∘，AC=BC.AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E.若AD=6，BE=2，则DE的长是(

)

A.2 B.3 C.4 D.59.如图，在▵ABC中，∠B=55∘，∠C=30∘，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为A.65∘ B.60∘ C.55∘10.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为(

)

A.40° B.41° C.42° D.43°二、填空题11.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为________．12.若△ABC，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则△ABC的形状是______．13.已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为

．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为

．

15.如图，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，其AC=BC，∠ACB=90∘，过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别是D、E.AD=8，BE=17，则ED的长为

．

16.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD的长为

．

17.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AC=10，AB=6，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E，则BE=

．

18.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D/​/AC时，则∠BCD的度数为

．

19.如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．

20.如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为

°.

三、解答题21.如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，过点A作AE/​/BD交CB的延长线于E，F为AE的中点，判断BF与BD的位置关系并证明．22.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由．

23.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF/​/BC交AB于点F．

(1)若∠C=36°，求∠BAD的度数；

(2)求证：FB=FE.24.如图，已知AD//BC，点E为CD上一点，且AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA．

(1)求证：AE⊥BE；

(2)求证：DE=CE．25.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45∘，E是AC上的一点，∠ABE=13∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交(1)直接写出图中除△ABC外的所有等腰三角形；(2)求证：BD=1(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当△DHG周长取最小值时，求∠HDG的度数．

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．

【解答】

解：①当这个角为顶角时，底角=(180°−70°)÷2=55°；

②当这个角是底角时，底角=70°．

故选：D．2.【答案】B

【解析】解：当7为腰时，周长

=7+7+3=17

；当3为腰时，因为

3+3<7

，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17．故选：

B

．3.【答案】D

【解析】【分析】

已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

【解答】

解：分情况讨论：

(1)若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角=(180°−70°)÷2=55°；

(2)若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°−70°−70°=40°．

故选：D．4.【答案】D

【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ACB=70°，

∵CD//AB，

∴∠ACD=180°−∠A=140°，

∴∠BCD=∠ACD−∠ACB=70°．

故选：D．

根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是求出∠ACB和∠ACD．5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC−∠CBD计算即可得解：

【解答】

解：∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=12(180°−30°)=75°．

∵以B为圆心，BC的长为半径的圆弧，交AC于点D，

∴BC=BD．

∴∠BCD=∠BDC，

∴∠CBD=180°−2∠ACB=180°−2×75°=30°．

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得∠A=30°，∠D=45°，由平行线的性质定理可得∠1=∠D=45°，利用三角形外角的性质可得结果．

【解答】

解：如图，

∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=180°−∠ACB−∠ABC=180°−90°−60°=30°，

∵∠EFD=90°，∠DEF=45°，

∴∠D=180°−∠EFD−∠DEF=180°−90°−45°=45°，

∵AB//DE，

∴∠1=∠D=45°，

∴∠AFD=∠1−∠A=45°−30°=15°，

故选A．7.【答案】D

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练证明三角形全等是解题的关键．

直接证明△ACD≌△CBE(AAS)，得出AD=CE=6，CD=BE=2，进而可得出答案．

【解答】

解：∵∠ACB=90∘，

∴∠ACD+∠ECB=90∘，

∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90∘，

∴∠ECB+∠CBE=90∘，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ACD和△CBE中，

∵∠ADC=∠CEB=90∘，∠ACD=∠CBE，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

9.【答案】A

【解析】根据内角和定理求得

∠BAC=95∘

，由中垂线性质知

DA=DC

，即

∠DAC=∠C=解：在

▵ABC

中，∵

∠B=55∘

，

∠C=∴

∠BAC=180∘由作图可知

MN

为

AC

的中垂线，∴

DA=DC

，∴

∠DAC=∠C=30∘∴

∠BAD=∠BAC−∠DAC=65∘故选：A．本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键．10.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查三角形内角和定理、直角三角形的概念和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．

连接AO、BO.由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=100°，推出2∠DAO+2∠FBO=100°，推出∠DAO+∠FBO=50°，由此即可解决问题．

【解答】

解：如图，连接AO、BO．

由题意EA=EB=EO，

∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，

∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，

∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，

∵∠CDO+∠CFO=100°，

∴2∠DAO+2∠FBO=100°，

∴∠DAO+∠FBO=50°，

∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，

∴∠C=180°−(∠CAB+∠CBA)=180°−140°=40°，

故选：A．11.【答案】50°或80°

【解析】解：∵等腰三角形的一个外角为130°，

∴与此外角相邻的内角为50°，

当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，

当50°为底角时，其他两角为50°、80°，

所以等腰三角形的顶角为50°或80°．

故答案为：50°或80°．

等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．12.【答案】等腰直角三角形

【解析】解：设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则

k°+k°+2k°=180°，

解得k°=45°，

∴2k°=90°，

∴这个三角形是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．

已知三角形三个内角的度数之比，可以设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°根据三角形的内角和等于180°，列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．

本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．此类题可利用方程思想进行解答．13.【答案】18

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

根据等腰三角形两腰长相等，进而可求出周长．

【解答】

解：∵等腰三角形的底边长为2，腰长为8，∴它的周长=2+8+8=18，故答案为：18.

14.【答案】2,0

【解析】【分析】

本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．

根据题意得出BA=BC，根据等腰三角形的性质得出OC=OA=2，即可得出点C的坐标．

【解答】

解：如图，连接

BC

，∵

点

A

的坐标为

(−2,0)

，∴OA=2

，由同圆半径相等得：

BA=BC

，∴△ABC

是等腰三角形，∵BO⊥AC

，∴OC=OA=2

(等腰三角形的三线合一)，又

∵

点

C

位于

x

轴正半轴，∴

点C

的坐标为

2,0

，故答案为：

2,0

．15.【答案】9

【解析】【分析】

本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS证明三角形全等．

证明△ACD≌△CBE(AAS)，得出CD=BE=17，AD=CE=8，进而可得出答案．

【解答】

解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90∘，

又∵∠ACB=90∘，

∴∠ACD=∠CBE=90∘−∠ECB，

在△ACD与△CBE中，

{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB16.【答案】a−b

【解析】根据等腰三角形的性质可得

∠ABC=∠C=72∘

，根据角平分线的定义可得

∠CBD=∠ABD=12∠ABC=36∘

，进而根据三角形的内角和定理可得

∠BDC=72∘

，根据等角对等边可得

BC=BD

，

∵

∠A=36°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=∵

BD为∠ABC的平分线，∴

∠CBD=∠ABD=∴∠ABD=∠A∴

DA=DB∵∠BDC=∴∠BDC=∠C=∴

BC=BD∴AD=BC∴

AC−AD=AC−BC

=a−b故答案为：

a−b本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．17.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

延长BE交AC于点F，先证明△BAE≌△FAE(ASA)，推出BE=BF=12BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB，再根据三角形外角的性质推出∠CBF=∠C，得到BF=FC，进而利用线段的和差和等量代换即可得出答案．

【解答】

解：延长BE交AC于点F，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=∠AEF=90∘，

∵AE=AE，

∴△BAE≌△FAE(ASA)，

∴BE=BF=12BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB，

∵∠AFB=∠CBF+∠C，

∴∠ABF=∠CBF+∠C，

∵∠ABC=3∠C，

∴∠ABF+∠CBF=3∠C，

∴∠CBF+∠C+∠CBF=3∠C，

∴2∠CBF=2∠C，

∴∠CBF=∠C，

∴FB=FC

∴BE=12CF=12(AC−AF)=12(AC−AB)18.【答案】33°

【解析】【分析】

本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．

先根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=38°，再利用平行线的性质得∠ADB′=∠A=38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′=∠CDB，则可得出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和定理计算出∠BCD的度数．

【解答】

解：∵AC=BC，

∴∠A=∠B=38°，

∵B′D/​/AC，

∴∠ADB′=∠A=38°，

∵点B关于直线CD的对称点为B′，

∴∠CDB′=∠CDB=12(38°+180°)=109°，

∴∠BCD=180°−∠B−∠CDB=180°−38°−109°=33°．

19.【答案】4或6

【解析】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，

∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，

∴BD=12厘米，

∵∠ABC=∠ACB，

∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，

即12=16−4x或4x=16−4x，

解得：x=1或x=2，

x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；

x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；

即点Q的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，

故答案为：4或6

首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，得出方程12=16−4x或4x=16−4x，求出方程的解即可．

本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．20.【答案】65

【解析】【分析】

本题考查的是翻折变换的性质，线段中点的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和和平角的定义.熟知折叠的性质是解答此题的关键．

由点D为BC边的中点，得到BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得到DF=BD，根据等边对等角的性质得到∠BFD=∠B，由三角形的内角和和平角的定义得到∠A=∠AFE，于是得到结论．

【解答】

解：∵点D为BC边的中点，

∴BD=CD，

∵将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，

∴DF=CD，∠EFD=∠C，

∴DF=BD，

∴∠BFD=∠B，

∵∠A=180°−∠C−∠B，∠AFE=180°−∠EFD−∠BFD，

∴∠A=∠AFE，

∵∠AEF=50°，

∴∠A=12×(180°−50°)=65°．

21.【答案】解：BF⊥BD，

证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵AE/​/BD，

∴∠E=∠DBC，∠EAB=∠ABD，

∴∠E=∠EAB，

∴AB=BE，

∵F为AE的中点，

∴∠ABF=∠EBF，

∵∠EBC=180°，

∴∠DBF=∠ABF+∠ABD=12×180°=90°，

【解析】根据等腰三角形的判定和性质定理，平行线的性质，以及角平分线的定义即可得到结论．

本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．22.【答案】证明：(1)在△ABD与△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

(2)△BOC是等腰三角形，

理由如下：

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE，

∴∠OBC=∠OCB，

∴BO=CO，

∴△BOC【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．

(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE；

(2)由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．23.【答案】(1)解：∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵∠C=36°，

∴∠ABC=36°，

∵BD=CD，AB=AC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°−36°=54°．

(2)证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠FBE=∠CBE=12∠ABC，

∵EF/​/BC，

∴∠CBE=∠FEB，

∴∠FBE=∠FEB，

∴FB=FE．

【解析】(1)利用等腰三角形的性质求出∠ABC，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，即可解决问题．

(2)只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题．

本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】证明：(1)延长AE、BC交于F，

∵AD/​/BC，

∴∠DAE=∠F，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠F，

∴AB=BF，

∵BE平分∠ABF，

∴AE⊥BE．

(2)∵AB=BF，BE平分∠ABF，

∴AE=EF，

在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠FAE=EF∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△FCE(ASA)，

∴DE=CE．【解析】(1)延长AE、BC交于F，利用平行线的性质和角平分线的定义可证AB=BF，又BE平分∠ABF，则AE⊥BE；

(2)由等腰三角形的性质知AE=FE，再证明△ADE≌△FCE即可．

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．25.【答案】(1)解：

△ADC

，

△CPE

，

△BCE

都是等腰三角形．(2)证明：如图1中，在线段

DA

上取一点

H

，使得

DH=DB

，连接

CH

．