冀教版九年级数学上册 （解直角三角形的应用）教学课件(第1课时)

26.4解直角三角形的应用第1课时

在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:(必有一边)ACBabc知识回顾问题：小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A,仰角为50°；俯视旗杆的底部B,俯角为18°.求旗杆的高.（结果精确到0.1m）.小明ADB视线视线水平线4.5OC地平线解读:仰角、俯角是指视线与水平线的夹角.如：∠AOC是仰角，∠BOC是俯角.情景导入先将实际问题转化为数学问题ADB4.5OC

∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8已知：如图所示，OD、AB均与BD垂直，垂足分别为点D、B，OC//BD，BD=4.5m，∠AOC=500，∠BOC=180。求AB的长度（结果精确到0.1m）。一起探究东西北南O(1)正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________西南方向:__________

东南方向:__________东北方向:__________射线OAABCDOBOCOD45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°认识方位角O北南西东(3)南偏西25°25°北偏西70°南偏东60°ABC射线OA射线OB射线OC70°60°认识方位角例1

如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线。在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区。如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能.BCA北30°60°解读：方位角：视线与正南（或正北）方向的夹角.思考：如何判断渔船有没有可能进入危险区？例题讲解BCA北30°60°分析：只需要计算垂线段CD的长度即可.CD即渔船与小岛的最近距离，当CD≥10时，没有危险；当CD＜10时，有危险.D例题讲解BCA北30°60°DEF例题讲解

20BCA北30°60°DEF

解得，x=10∴渔船不会进入危险区.两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数例题讲解20BCA北30°60°DEF方法二：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=60°,设CD=x在Rt△BCD中，在Rt△ACD中，

∴渔船不会进入危险区.两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数

例题讲解20BCA北30°60°DEF方法三：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=90°-30°=60°,∵∠1=90°-60°=30°∴∠2=∠1=30°∴BC=AB=20∴在Rt△BCD中∴渔船不会进入危险区.把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数12例题讲解20BCA北30°60°DEF20BCA北30°60°DEF1220思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知数，可以直接求？方法一、二中已知边AB不是直角三角形的边长，需设未知数.方法三中导出BC=20，BC是直角三角形的边长，可直接计算，不设未知数.例题分析用三角函数求边长时的注意事项1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算；2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数；3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数.总结分析1.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m.（精确到0.1m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9.5随堂练习2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____米.100随堂练习解析：由题意知，从A处观测B，其俯角为450，

∴∠BAC=900-450=450，

又AC⊥BC

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴BC=AC=100米.3.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为____海里(结果取整数)．(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)11随堂练习

4.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732,

≈1.414)．200km随堂练习200kmC解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，

解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．随堂练习5.

热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．随堂练习解：如图，α

=30°,β=60°，AD＝120．

答：这栋楼高约为277.1m.随堂练习26.4解直角三角形的应用第2课时

直角三角形中诸元素之间的关系：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：

知识回顾ACBabc

如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC情景导入坡面αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即

3.坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值，坡度越大，则坡角α

越大，坡面越陡。水平面坡度和坡角有什么区别？新课讲解例1

如图，一山坡的坡度为

i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？ACi=1:2解：用α表示坡角的大小，由题意可得，因此α≈26.57°.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．例题讲解例2

如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC//AD,∠A=∠D,根据图中标注的数据计算路基下底的宽和坡角.（角的度数精确到度）（参考数据：tan38°≈0.8）BCAD101：1.254想一想：如何添加辅助线，可以使坡角及已知的长度4到直角三角形中？例题讲解BCAD101：1.254解：如图，作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.由题意可知，四边形BEFC为矩形.∴EF=BC=10，BE=CF=4FE∵∠A=∠D,∠BEA=∠CFD,BE=CF∴△ABE≌△DCF∴AE=DF在Rt△ABE中,∴α=38°AE=BE÷0.8=5∴AD=AE+EF+FD=5+10+5=20答：路基下底的宽为20m,坡角α约为38°.例题讲解（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3m时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？BCAP1：1M1：√3D6分析：PM是否需要拆除，要看AP的长度是否超过3m,解题的关键就转化为求线段PA的长度.在Rt△BCD中，由tan∠BCD=1:1,可得，BD=CD=6.

例题讲解

100随堂练习

2.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)280随堂练习C

3.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD=30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）随堂练习答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2m.解：在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=10m，∴AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5（m）.在Rt△ACD中，∵∠ACD=15°，∴AC=ADsin∠ACD=5sin15°≈50.26≈19.2（m）.随堂练习解答含有仰角、俯角问题的方法1、仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．2、视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．3、弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．

课堂小结解答含有方位角问题的方法解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题课堂小结与坡度有关的问题坡面的铅垂高度(h)和水平长度

(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i坡面与水平面的夹角叫做坡角课堂小结典型例题剖析题型一方案选择问题

题型一方案选择问题（1）求牧民区到公路的最短距离？

x典型例题剖析

典型例题剖析题型二最短距离问题例2如图所示，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.50方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.50方向上，距离10千米处是村庄N。（1）求M、N两村之间的距离；（参考数据：sin36.50≈0.6，cos36.50≈0.8）典型例题剖析

（1）求M、N两村之间的距离；（参考数据：