甘肃省兰州九中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年甘肃省兰州九中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．)1．已知函数f（x)=｜x|，在x=0处函数极值的情况是（）A．没有极值 B．有极大值C．有极小值 D．极值情况不能确定2．复数=（)A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．设函数f（x)在x0可导，则=（）A．f′（x0） B．﹣2f′（x0） C．4f′（x0） D．不能确定4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（)A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错5．观察下列（如图）数表规律，则数2007的箭头方向是（）A． B． C． D．6．函数f（x)=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为（）A．或 B．C． D．以上都不对7．给出下列命题①dx=dt=b﹣a（a,b为常数且a＜b)；②x2dx=x2dx;③曲线y=sinx,x∈[0，2π］与直线y=0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A． B．﹣ C．+ D．9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=(）A．1 B．2 C．3 D．410．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A． B． C． D．11．已知函数f（x)=()x，a，b∈R+,A=f（），B=f（），C=f（），则A、B、C的大小关系为（）A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A12．使函数y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是(）A．（，） B．（π,2π） C．(，) D．(2π，3π）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位）,则其共轭复数=．14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为"，可猜想关于长方体的相应命题为15．已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2,0）,如图所示．则下列说法中不正确的编号是．（写出所有不正确说法的编号)(1）当x=时函数取得极小值;（2）f（x）有两个极值点；（3）c=6；（4）当x=1时函数取得极大值．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是．三、解答题(本大题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22每题12分,共70分．)17．（1)求曲线y=在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为S=+2t2，求t=3时的速度．18．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．19．已知a、b、c＞0，且a+b+c=1，求证：（1）a2+b2+c2≥（2）．20．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α,直线c⊂β,b∩a=A，c∥a．求证:b与c是异面直线．21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ）若对任意的x∈［0,3]，都有f（x）＜c2成立,求c的取值范围．22．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？

2016-2017学年甘肃省兰州九中高二（下)期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．）1．已知函数f（x）=|x｜，在x=0处函数极值的情况是（)A．没有极值 B．有极大值C．有极小值 D．极值情况不能确定【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】由在x=0处左侧的导数小于零,在x=0处右侧的导数大于零,根据极值的定义可知在x=0处函数取极小值．【解答】解：当x＞0时,f′（x）＞0，f(x）为减函数，当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）为增函数，根据极值的定义可知函数f（x）=｜x｜,在x=0处函数取极小值，故选C2．复数=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解：=．故选B．3．设函数f（x）在x0可导,则=（)A．f′（x0） B．﹣2f′（x0） C．4f′（x0) D．不能确定【考点】6F:极限及其运算．【分析】由题设条件可知=，然后利用导数的定义求解．【解答】解：∵函数f（x）在x0可导,∴====f′（x0)+3f′（x0）=4f′（x0）．故选C．4．若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（)A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错【考点】F6:演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确,根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的,故选A．5．观察下列（如图）数表规律，则数2007的箭头方向是（）A． B． C． D．【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意，图中数字所处的位置呈周期性变化，可以观察出位置变化以4为周期，可选定1为开始位置，由周期性即可计算出2012所处的位置，即可选出正确选项【解答】解:选定1作为起始点,由图看出，位置变化规律是以4为周期,由于2007=4×501+3,可知第2007个数在3的位置,则发生在数2007附近的箭头方向是和3的方向相同;故选D．6．函数f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为(）A．或 B．C． D．以上都不对【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用函数值,函数的导数列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x)=x3﹣ax2﹣bx+a2，f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，可得：，解得或,当时，f′（x)=3x2﹣6x+3≥0恒成立，x=1不是极值点．当时，f′(x）=3x2+8x﹣11，△=196＞0，导函数有两个解，x=1是极值点．满足题意；故选：B．7．给出下列命题①dx=dt=b﹣a（a,b为常数且a＜b）；②x2dx=x2dx;③曲线y=sinx,x∈[0,2π］与直线y=0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为(）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】67：定积分；6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据的定积分的计算，分别求出①②③的结果,问题得以解决．【解答】解：①dx=b﹣a≠dt=a﹣b,故①错,而y=x2是偶函数其在[﹣1,0]上的积分结果等于其在［0,1］上的积分结果，故②正确,对于③有S=2=﹣2cos=4．故③错，故选:B8．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（)A． B．﹣ C．+ D．【考点】RG：数学归纳法．【分析】求出当n=k时,左边的代数式,当n=k+1时,左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+﹣=﹣．故选B．9．已知结论：“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间,则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】F3：类比推理．【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1,易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=,可求得r即OM,从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3"．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=,又O到四面体各面的距离都相等,所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：310．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A． B． C． D．【考点】62：导数的几何意义．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P(x0,y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；(2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′｜x=1=2，即曲线在点处的切线方程是,它与坐标轴的交点是(,0),(0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．11．已知函数f（x)=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f(），C=f（）,则A、B、C的大小关系为（)A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点;7F：基本不等式．【分析】先明确函数f（x）=（）x是一个减函数，再由基本不等式明确,，三个数的大小，然后利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵≥≥,又∵f（x)=(）x在R上是单调减函数，∴f（）≤f（）≤f（)．故选A12．使函数y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是（）A．（,） B．（π，2π） C．(，） D．(2π，3π）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个y′恒大于0，就是哪个选项．【解答】解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈(，)时,恒有xcosx＞0．故选：C．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．若复数z满足z(1+i)=1﹣i（I是虚数单位),则其共轭复数=i．【考点】A2：复数的基本概念;A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i)=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵(a+bi）（1+i)=1﹣i,即a﹣b+(a+b）i=1﹣i，由,解得a=0，b=﹣1,所以z=﹣i，=i,故答案为i．14．通过类比长方形,由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大,最大值为【考点】F1：归纳推理．【分析】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想）．在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由长方形中“周长为定值l的长方形中,正方形的面积最大,最大值为”,（线面关系）,我们可以推断长方体中相关的(面体关系）【解答】解：平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由长方形中“周长为定值l的长方形中,正方形的面积最大，最大值为”，我们可以推断长方体中“表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为”故答案为:表面积为定值S的长方体中,正方体的体积最大,最大值为15．已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x)的图象经过点(1，0），（2，0）,如图所示．则下列说法中不正确的编号是（1）．（写出所有不正确说法的编号）（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；（3）c=6；（4）当x=1时函数取得极大值．【考点】6D:利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，导函数是二次函数,由导函数的图象可知原函数的单调区间，从而判出极值点，结合导函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，得到c的值,然后注意核对4个命题，则答案可求．【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x)=3x2+2bx+c．由导函数的图象可知，当x∈（﹣∞，1），(2，+∞)时f′（x)＞0,当x∈(1，2）时f′（x）＜0．所以函数f(x）的增区间为（﹣∞,1），(2，+∞）减区间为(1，2)．则函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值．由此可知(1）不正确，（2）,（4)正确，把(1，0），（2，0）代入导函数解析式得,解得c=6．所以（3)正确．故答案为(1）．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是．【考点】F1：归纳推理．【分析】观察这个数列每一行第二个数的倒数,观察发现连续两项的差成等差数列，然后利用叠加法求出第20行第2个数的倒数，从而求出所求．【解答】解：不妨令a2=2，a3=4，a4=7,则由题意可得a3﹣a2=2,a4﹣a3=3，…a20﹣a19=19，将以上各式相加得a20﹣a2=2+3+4+…+19，∴a20=191∴第20行的第2个数是，故答案为：．三、解答题(本大题共6小题,其中17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分．)17．（1）求曲线y=在点(1，1）处的切线方程;（2）运动曲线方程为S=+2t2，求t=3时的速度．【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;63:导数的运算．【分析】（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决；（2）先求运动曲线方程为S=+2t2，的导数，再求得t=3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．【解答】解：（1）∵y=，∴y′=，∴x=1时，y′=0，∴曲线y=在点（1,1)处的切线方程为y=1；（2)∵运动曲线方程为S=+2t2，∴S′=﹣++4t∴该质点在t=3秒的瞬时速度为﹣++12=11米/秒．18．求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．【考点】67：定积分．【分析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．【解答】解：由题意知阴影部分的面积是S=（x2+2﹣3x）dx+（3x﹣x2﹣2）dx=()|+（）|=+2﹣+6﹣﹣4﹣（﹣﹣2)=1．19．已知a、b、c＞0，且a+b+c=1,求证：（1）a2+b2+c2≥（2）．【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）利用1=（a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3（a2+b2+c2），即可得出．（2）由（1）可得即可证明．【解答】证明:（1）∵a、b、c＞0,且a+b+c=1，∴1=(a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2)，∴a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c=时取等号．(2）由（1）可得=，当且仅当a=b=c=时取等号．∴．20．如图，已知平面α∩平面β=直线a,直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【考点】LN：异面直线的判定．【分析】假设b与c共面，设b与c确定的平面为γ,推导出a∥γ，从而a∥b,与a∩b=A矛盾，由此能证明b与c是异面直线．【解答】证明：（利用反证法)假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α=b，γ∩β=c．∵a∥c，a⊄γ，∴a∥γ．又∵a⊂α，且α∩γ=b，∴a∥b,这与a∩b=A矛盾．因此b与c不可能共面,故b与c是异面直线．21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ)求a、b的值;（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f(x）＜c2成立,求c的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用