数学校本课程趣味数学精编版

序言数学是一门基础科学，一切自然科学都离不开数学严密的计算和推理，数学也是人文科学和逻辑思维的基础。趣味数学是以传统的课堂教学为基础，以开放，创新的思维模式，集中体现了素质教育思想，立足培养爱好，旨在提高成绩，通过讲，学，练这一科学有效的训练办法，培养学生的数学爱好和教学思维。立足基础知识，结合教学实际，博采众长，寓理于例，重在思维训练，并加以适合的延伸和拓展，以提高学生对数学的爱好，启发学生的发明力和思维能力，爱学，乐学，增强孩子的学习主动性，提高学生思维的敏捷性，灵活性，精确性和深刻性是我们的宗旨和目的。“千里之行，始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识，在灵感中启迪智慧，在和谐中走向成功！目录第一部分：课程目的第二部分：课程的组织形式与实施计划第三部分：课程内容介绍第1讲集合中的趣题—“集合”与“含糊数学………………第2讲函数中的趣题—一份购房合同…………第3讲函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王……第4讲三角函数的趣题—直角三角形…………第5讲三角函数的趣题—月平均气温问题……第6讲数列中的趣题—柯克曼女生问题………第7讲数列中的趣题—数列的应用……………第8讲不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例……第9讲不等式性质应用趣题―均值不等式的应用………………第10讲立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题…第11讲立体几何趣题—球在平面上的投影………第12讲解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈……第13讲解析几何中的趣题―最短途问题……………第14讲排列组合中的趣题―抽屉原理………………第15讲排列组合中的趣题―摸球游戏………………第16讲概率中的趣题………………第17讲简易逻辑中的趣题…………第18讲解数学题的方略……第四部分：课程评价第一部分：课程目的1.启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和发明地解决问题；2.能运用一次函数及其图象解决简朴的实际问题，发展学生数学应用能力.3.体会数学在实际问题中的应用价值．4.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。5.通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的主动性，培养学生的创新精神和发明能力。它规定教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过程6．理解均值不等式在日常生活中的应用，训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学爱好，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．第二部分：课程的组织形式与实施计划1、组织形式：校本课程的开课以自选班为单位安排在“地方与我校课程”学时中进行，具体教学时间是每七天一节课，也能够进行集中安排（如考察、社会实践等活动）。2、课程实施：1）校本课程由我校教师开发，只有讲义，学生不需要教材，减轻学生的经济负担，体现“以生为本”的教学理念。2）授课教师结合我校的校本课程，根据学生层次特点、接受能力等能够合适补充材料，逐步实施，并在实施中进一步完善教材内容，发现问题，及时反思，总结经验。3）任课教师精心备课，准备资料，设计好教学过程，准时上好校本课程，并及时对学生的学习状况做出评价。4）教学过程中所需材料、设备、设施由学校统一安排。学生需要外出调查、参观时，由学校出面联系，学校领导和班主任、任课教师一起带领学生外出，确保师生安全。第三部分：课程内容第1讲集合中的趣题——“集合”与“含糊数学”教学目的：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和发明地解决问题；教学过程：一、情境引入1965年，美国数学家扎德发表论文《含糊集合》，开辟了一门新的数学分支——含糊数学。二、实例尝试，探求新知含糊数学是典型集合概念的推广。在典型集合论当中，每一种集合都必须由拟定的元素构成，元素对于集合的从属关系是明确的，这一性质能够用特性函数：来描述。扎德将特性函数改成所谓的“从属函数”，这里A称为“含糊函数”，称为x对A的“从属度”。典型集合论规定从属度只能取0，1二值，含糊集合论则突破了这一限制，=1时表达百分之百从属于A；=0时表达不属于A还能够有百分之二十从属于A，百分之八十不从属于A……等等，这些含糊集合为对由于外延含糊而造成的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是当代数学的重基石,因此,含糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将含糊集合引进数学的各个分支，从而出现了含糊拓扑、含糊群论、含糊测度与积分、含糊图论等等，它们一起形成普通所称的含糊数学，含糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，办法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同窗参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同窗参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同窗参赛？⑴如果有5名同窗两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同窗参赛？⑵如果每一位同窗都只参加一次运动会,问这两次运动会这个班共有多少名同窗参赛？解析：可能有的同窗两次运动会都参加了，因此，不能简朴地用加法解决这个问题。由于这5名同窗在统计人数时，计算了两次，因此要减去．8

+

12

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15．8

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20.这两次运动会这个班共有20名同窗参赛.三、本课小结通过“含糊数学”理解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。四、作业下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个子男生；（3）全部数学难题；（4）不等式的解；第2讲函数中的趣题——一份购房合同教学目的：能运用一次函数及其图象解决简朴的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：一、情境引入最早把"函数"（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数当作是"像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等全部与曲线上的点有关的量".17，瑞士数学家约翰。贝努利（JohnBernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一种定义，同时第一次使用了"变量"这个词。他写到："变量的函数就是变量和变量以任何方式构成的量。"他的学生，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707-1783，被称为历史上最"多产"的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为："变量的函数是一种由该变量与某些常数以任何方式构成的解析体现式"，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。二、实例尝试，探求新知例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购置安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实施分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，后付清，年利率为7.5%,房地产开发公司规定陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是如何的到的。同窗们你们能帮陈老师算一算么？解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的办法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a=(72×1000-28800-14400)×1.07510,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若准时付款，为什么每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是对的的。但不妨用这种办法来解释：假设你没有推行合同，即没有按年付每期的款额，且中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第付款时应付金额为1.0758a元，第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72×1000-28800-14400在后一次付清时的本息是相等的。仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a=(72×1000-28800-14400)×1.07510．用这种办法计算的a值即为你每年应付的款额。例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出合计40元。我们该如何定价才干赚最多的钱？解析：日租金360元。即使比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元三、本课小结通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一种问题时，能够多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可运用背面思考四、作业家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量，是所通过的时间．1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2）多少年后将会有二分之一的臭氧消失？第3讲函数中的趣题——孙悟空大战牛魔王教学目的：体会数学在实际问题中的应用价值．教学过程：一、故事引入孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简朴，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只得飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他立刻变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我如何？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立刻身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只得复了本象相，匆匆逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来协助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声呼啸，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经二、实例尝试，探求新知这段故事很吸引人，并且它和初中代数中所学的函数概念有关。首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一种小虫儿。固然，这些都是神话，不是真情实事。但是，世界上一切事物确实无有不在变化着的。既然物质在变化，表达它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。另一方面，我们再来看一看，是不是全部的量在任何状况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范畴内，有的数量是保持不变的。或者，即使它也在变，但变化微小，我们把它当作是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本领最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，因此妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不停变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一种“变量”；把一定范畴内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一种“常量”。例1、12，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)在他所著的《算盘书》里提出了这样一种有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外状况，1年后将有多少对兔子？解析：第一种月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；始终这样推算下去，能够得到下面的表：如果认真观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8…就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多个某些橙子树以提高产量,但是如果多个树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验预计,每多个一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.=-5(x-10)^2+60500即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500三、本课小结通过本课学习我们懂得了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只要我们留心，到处都充满着数学的原理。四、作业某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几个农作物每亩地所需职工数和产值预测以下表：作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜1/21100元烟叶1/3750元小麦1/4600元请你设计一种种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数）第4讲三角函数的趣题——直角三角形教学目的：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。教学过程：一、情境引入直角三角形就像一种万花筒，为我们呈现出了一种色彩斑澜的世界.我们在观赏了它神秘的“勾股”、懂得了它的边的关系后，接着又为我们呈现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.二、例题分析例1、海中有一种小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，达成该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?解析：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).这样AD≈20.79海里>10海里，因此货轮没有触礁的危险例2、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行达成，达成后必须立刻卸货.此时.接到气象部门告知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(涉及边界)均受到影响.(1)问：B处与否会受到台风的影响?请阐明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货品?解析：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD=AB=×20×16=160＜200，∴B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.AD=160.AE=AD-DE=160-120，∴=3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货品.练习：一种人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高.(成果精确到0.01m)三、本课小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.四、作业如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(成果保存根号)第5讲三角函数的趣题——月平均气温问题教学目的：选择生活中学生感爱好的题材，使学生能主动参加数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学过程：一、谈话导入数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗入到社会的各个方面，“数学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。二、典例分析例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在普通状况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0

根据数据求出y=f(t)的拟合函数，，普通状况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（无视进出港所需时间）解析：依题意，该船进出港时，水深应不不大于5+6.5=11.5米，3，，2，得12，在同一天内，取k=0或1，或，因此该船最早能在凌晨1时进港，下午17时退出，在港口内最多停留16小时。例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在△ＡＢＣ中，，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精确到1cm2）.

解析：∵sinＡ+cosＡ=，①

∴（sinＡ+cosＡ）２＝.

∴２sinＡcosＡ＝－.∵0°＜Ａ＜１８０°，∴sinＡ＞０，cosＡ＜0.

∵（sinＡ-cosＡ）２=1-２sinＡcosＡ=，

∴sinＡ-cosＡ＝.②

①+②，得sinＡ=，

∴要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：答：因此要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.三、本课小结三角函数不仅应用于数学的各个分支,也广泛应用于其它的学科及社会生产实践中,.在实际生活中,也会经常碰到某些需要运用三角函数来解决的问题,特别是某些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用四、作业把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，如何锯法，才干使横截面积最大？第6讲数列中的趣题——柯克曼女生问题教学目的:通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的主动性．教学过程：一、问题引入：有一种学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同窗在构成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应如何安排？二、典例分析例1、大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何拟定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）分析：设相邻两层楼梯长为a，则分n为奇数和n为偶数两类讨论.例2、某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，后来每一年比上一年多植树50亩.（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增加率为20%，那么全部绿化后的那一年年终，该山木材总量为S，求S的体现式.（3）若1.2≈4.3，计算S（精确到1立方米）.分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，……成等差数列三、本课小洁：下面回到课前问题，设１５位女生用下面１５个符号表达：x,a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,f1,f2,g1,g2;将它们排成七行，每天五个三人行小组（共十五人），使ｘ处在七行中的最前一位置上：(x,a1,a2);(x,b1,b2);(x,c1,c2);(x,d1,d2);(x,e1,e2);(x,f1,f2);(x,g1,g2).于是只须分派１４个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元素ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两次。即Sunday:(x,a,a),(b,d,f),(b,e,g),(c,d,g),(c,e,f);Monday:(x,b,b),(a,b,e),(a,f,g),(c,d,g),(c,e,f);Tuesday:(x,c,c),(a,d,e),(a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);Wednsday:(x,d,d),(a,b,c),(a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);Thursday:(x,e,e),(a,b,c),(a,f,g),(b,d,f),(c,d,g)Friday:(x,f,f),(a,b,c),(a,d,e),(b,e,g),(c,d,g);Saturday:(x,g,g),(a,b,c),(a,d,e),(b,d,f),(c,e,f)现在来填下标，如果在同一行中，能够有两个相似字母，例如在第三行中bdf,beg中，b出现两次，可标上不同的脚标b1,b2;若每一种“三人行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为１。得到解：Sunday:(x,a1,a2),(b1,d1,f1),(b2,e1,g1),(c1,d2,g2),(c2,e2,f2);Monday:(x,b1,b2),(a1,b2,e2),(a2,f2,g2),(c1,d1,g1),(c2,e1,f1);Tuesday:(x,c1,c2),(a1,d1,e1),(a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2);Wednsday:(x,d1,d2),(a1,b2,c2),(a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1);Thursday:(x,e1,e2),(a1,b1,c1),(a2,f1,g2),(b2,d1,f2),(c2,d2,g1)Friday:(x,f1,f2),(a1,b2,c1),(a2,d2,e1),(b1,e2,g1),(c2,d1,g2);Saturday:(x,g1,g2),(a1,b1,c2),(a2,d1,e2),(b2,d2,f1),(c1,e1,f2)三、作业某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植100亩，计划后来每年比上一年多植树50亩(假定全部成活)．(1)需几年可将此荒山全部绿化.(2)已知新植树苗每亩木材量为2ｍ，树木每年的自然增加率为10%，设荒山全部绿化后的年终木材总量为S，求S的最简体现式第7讲数列中的趣题—数列的应用教学目的：培养学生的创新精神和发明能力。它规定教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过程教学过程：诗词引入先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由某些生活中的例子进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系典例分析例1、、有一序列图形P1,P2,P3…….已知P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P2，…..，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn.解析：这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：.S2比S1多3个面积为的正三角形.即例2．在［1000，］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解析：不妨设，则{cp}为{an}与{bn}的公共项构成的等差数列(1000≤cp≤)∵an=bm,即：3n=4m+1令n=3,则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12∴cp=9+12(p1)(pN*)由1000≤cn≤解得：∴p取84、85、……、166共83项。本课小结根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的办法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知构造中去。作业1.一梯形两底边长分别为12cm22cm，将梯形一腰10等分，通过每分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.2.某化工厂生产一种溶液，按市场的规定杂质含量不能超出0.1%.若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质减少，问最少过滤多少次才干使产品达成市场的规定第8讲不等式性质应用趣题——“两边夹不等式”的推广及趣例教学目的：理解“两边夹不等式”的推广及应用教学过程：一、情境引入大家都熟知等比定理：若，则。若将条件中的等式改为不等式，如，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知都是正数，且，则(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被无视了。下面为了阐明问题的方便，称不等式为两边夹不等式。固然这个不等式的证明是简朴的，而探讨这个不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一种简朴应用开始的．二、“两边夹不等式”理解推广1、两边夹不等式的两种理解解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶液A的浓度为，溶液B的浓度，现将两种溶液混合成溶液C，此时溶液浓度为，由日常生活经验懂得有。（2）几何意义的理解：由分式联想到直线的斜率，设，则直线OA、OB斜率分别是，(如图1)，则，它表达图中的,显然直线OC的斜率介于OA、OB的斜率之间，即。进一步探讨我们还能够得到更多的结论，如得到不等式，仿此还可到几个不等式链：（1）（2）（3）（其中）2．两边夹不等式的一种简朴应用练习1、运用此不等式，能够轻松地证明下面这个典型不等式：已知都是正数，且，求证：。分析：，，由两边夹不等式立刻得．3．两个故意义的推广推论1(等比定理的推广)：已知，若，则。运用两边夹不等式能够容易得到证明，这里从略。由于分数的分子分母同乘以一种非零实数，分数的值不变，那么将与的分子分母各乘以非零实数，又有什么结论呢?推论2(普通性推广)：若正数及非零实数，满足，则证明：，由两边夹不等式立刻得练习2、无限夹数游戏(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的某些数吗?如与，与，与等。根据两边夹不等式能够得到介于与之间，介于与之间，介于与之间。三、本节小结：本节重要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广。四、作业：探求“黄金分割数”在0、l之间用两边夹不等式能够依次写出某些数，写这些数时按下列的规律进行：第一种数为，此时得到两个区间A1=（0，），B1=()在区间B1内运用两边夹不等式得到第二个数a2=；此时a2又将区间B1分成两个区间A2=(),B2=()在区间A2中运用两边夹不等式得到第三个数a=，依这类推，能够得到数列{}，数列{}的极限称为黄金分割数，求此极限。()第9讲不等式性质应用趣题——均值不等式的应用教学目的：理解均值不等式在日常生活中的应用教学过程：一、情境引入：日常生活中惯用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容无视的作用。下面，我重要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计有关的实际问题普通可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理普通可有以下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）

实践活动已知条件最优方案解决措施

设计花坛绿地周长或斜边面积最大极值定理一

经营成本各项费用单价及销售量成本最低函数、极值定理二

车船票价设计航行里程、限载人数、票价最低用极值定理二求出

速度、各项费用及对应最低成本，再由此

比例关系计算出最低票价

（票价=最低票价++平均利润）例1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），

若容积一定且底面与侧面厚度同样，问高与底面半径是

什么关系时用料最省（即表面积最小）？

分析：容积一定=>лrh=V（定值）

=>S=2лr+2лrh=2л(r+rh)=2л(r+rh/2+rh/2)

≥2л3(rh)/4=32лV(当且仅当r=rh/2=>h=2r时取等号),

∴应设计为h=d的等边圆柱体.

例2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底

厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最

省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己

写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.第10讲立体几何趣题——正多面体拼接构成新多面体面数问题教学目的：训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学爱好教学过程：一、问题提出在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一种正四周体和一种正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一种表面重叠，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们体现出了极大的爱好．他们通过直观感知，提出了自己的见解：正四周体和正八面体共12个面，两者各有一种面重叠，因此减少两个面，因此重叠之后的新多面体有10个面．二、故事介绍教师乘着学生浓厚的爱好讲了一种与这道例题有关的故事．数年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一种正三棱锥和一种正四棱锥，全部棱长都相等，问重叠一种面后尚有几个面?大学专家给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有一种面重叠，减少两个面，因此重叠之后尚有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔始终有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，成果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，专家们接受了他的想法并改正了这道题的答案。三、操作确认故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：请同窗们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论．学生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程．通过观察、讨论，全班同窗明白丹尼尔结论的因素所在．同时也观察到了正四周体和正八面体重叠之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不一致的。因素在于他们发现在重叠过程中正四周体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一种面了．四、思辩论证老师规定学生运用立体几何的有关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四周体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一种平面即表达这两个半平面所构成的二面角为．证明以下：如图1，在正八面体AC中，连结AC交平面BE于点O．设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、CD，易得∠ADC为二面角A―BF―C的平面角。AD=DC=,AC=2AO=由余弦定理得。仿上可求得正四周体邻棱所成的二面角的余弦值为。由上可知，因此新多面体是七面体。五、问题扩展理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全方面理解，同时也激发了学生的多向思维．证明结结束后，立刻就有学生向老师提出了问题：如果再拼一种同样的正四周体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，教师立刻运用学生的实物模型进行操作确认，从而发现新多面体的面数并不拟定，而是依赖于拼接四周体在八面体上的位置．进一步，当拼接更多的四周体时问题更复杂了，但却激发了学生更大的爱好．在激烈地争论中，师生的思考一度陷入僵局．余是老师提出能否看看不同状况下新多面体可能新多面体最少面数．这一问题得到了学生的承认，新一轮实物模型的操作确认开始，很快学生得出了结论：当两个正四周体时，新多面体最少为6个面，构成一种六面体(如图2)．当拼接三个正四周体时，新多面体最少为5个面，构成一种棱台如图(3)．当拼接四个正四周体时，新多面体最少为4个面构成一种正四周体(如图4)．本节小结：学习数学不要只靠我们的直觉，而要有推理论证检查。第11讲立体几何趣题——球在平面上的投影教学目的：明白球在不同光照下的投影教学过程：放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?一、平行光线下球的投影放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为()的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一种焦点的椭圆．分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在水平面上的投影是觉得A圆心，R为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以A为一种焦点的椭圆，如图1．如图l所示，与球面相切的光线构成一种圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，能够当作圆柱面与水平面的交线，设与水平面平行且与球相切的平面与球相切于点D，与圆柱面的交线为；P为上的任意一点，通过点P的光线为PP’，(P’，为光线PP’与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连结PB,易知，PB=P'D=P’C，PA=PC,即知PA+PB=PP’,又PP’=为一定值，则知点P在以A,B为焦点，长轴长为的椭圆上，二、点光源下的球的投影放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一种焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关．1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一种焦点的椭圆，如图2．如图2所示，与球相切的光线构成一种圆锥面．设切点的集合为圆；球与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，因此，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆.②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3．如图3所示，与球O相切的光线构成一种圆锥面．设切点的集合为圆Ol；过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆锥面交于因此，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．eq\o\ac(○,3)若h<2R，则球在水平面上的投影是以A为一种焦点的双曲线的一支，如图4．如图4所示，与球O相切的光线构成一种圆锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03，与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，因此，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．小结：当平行光线与水平面垂直时，球在光线的投射下的轮廓线是一种圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一种焦点的椭圆．当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一种焦点的圆锥曲线．第12讲解析几何中的趣题——神奇的莫比乌斯圈教学目的：运用几何办法解决生活问题教学过程：一、故事引入老国王的问题----神奇的莫比乌斯圈

一种年老的国王有五个儿子，他临死前把五个儿子叫到身边，打算把自己的国土平均分给每个儿子，但为了要儿子们团结，他但愿每片国土的边界限都相连。如果你是帝国宰相的话，请问你如何来执行老国王的遗嘱？二、学习例题寻找办法例1假定你在赤道上饶了地球一周，这时你的头顶要比你的脚底多跑多少路？分析与解答： 你的脚底一共走了的路，R是地球半径。你的头呢却走了的路，1.7是你的身高。因此头比脚多走米例2假定把一条铁丝困到地球赤道上，然后把这条铁丝放长一米，问这条松下来的铁丝和地球之间能不能让一只老鼠穿过？分析与解答：普通人都会回答这个间隙会比一根头发还小，一米同地球赤道的40000000米相比简直相差太大了。事实上，这个间隙大小为厘米，不仅老鼠，甚至大猫也能够过去。三、全课总结下面回到课前的问题，拿一张纸条，假设四个顶点ABCD，为了辨别这两个面，我们不妨把一面涂成兰色，而一面涂成红色使A与B；C与D重叠地粘接起来，我们就得到了一种普通有两个面的曲面如果让一只蚂蚁在这个曲面的某一面上爬行，不让它绕过曲面的边沿，也不让它穿过曲面，那么无论它怎么爬，它也爬不到另一面上去。现在，把纸条从粘接处分开，扭转

180。，再使

A与C、B与D

重新地粘接起来，我们就得到了只有一种面的曲面，已经无所谓里外了在这个圈上，能玩出无限的小花样。前面说的那个5个儿子分土地就是其一。你猜猜把这个带子延中间切开、再切呢？玩过吗？就是把第一次切得到的两个圆再切呢？大家回家去试一下吧，很有趣.作业能够有多少种办法用对角线把一种n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第13讲解析几何中的趣题——最短途问题教学目的：运用几何图形的有关性质求最小值问题教学过程：谈话引入路程短了在相似速度下能够节省时间，因此，求最短路程成为生产生活中最优方案而被采用。二、学习例题寻找办法例1一种牧人从帐篷A处牵马去河边饮水，然后去B处赶集，A,B在河的同侧。问他如何走路成最短？分析：由轴对称原理找对称点，然后两点间距离最短。例2长宽高分别是4、2、1米的长方体。现有一小虫从顶点A出发沿长方体表面爬到对角顶点,问小虫爬行最短路程是多少？分析：我们把这两点所在的两个面展开，置于一种平面内，根据展开面不同分三种状况讨论。三、全课总结最短途问题归结为数学问题，解决办法，普通是运用几何图形的有关性质将图形作多个几何变换运用不等量关系求解。四、作业在全部三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在始终线—欧拉线上，并且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第14讲排列组合中的趣题———抽屉原理教学目的：引导学生观察、分析掌握一种最简朴的最基本的推理原则――抽屉原理教学过程：事实引入把5个苹果放进4个抽屉无论怎么放，最少有一种抽屉放进的苹果个数不少于2，这是任何人都确信无疑的事实，在解答某些排列组合问题时都必须用它，这种办法称为抽屉原理。二、学习例题寻找办法原理1：将m个元素，按照某种规则分成n各集合（mn，m、n、为自然数），那么最少有一种集合有2个或2个以上的元素。原理2：将m个元素，按照某种规则分成n个集合（，m、n、k为自然数），那么最少有一种集合含有k+1个或k+1以上的元素。例1一副扑克牌（52张）有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽多少张牌，才干确保有4张是同一花色的？解析：抽出的牌按花色分类，可分4类，。由原理2知：k+1=4，得k＝3。此时，所取出的牌的张数为m，m应满足mkn＝12，故m＝13，14，15……，因此最少需要抽13张牌才干确保有4张是同一花色的。例2、某校高一一班有55个同窗，老师说最少有两个同窗在同一周内过生日，老师的话对的么？解析：平年是365天最多分布在53周内；闰年是366天最多分布在54周内，把54周当作54个抽屉，把55个同窗当作55个元素，由抽屉原理1老师说的最少有两个同窗在同一周内过生日是对的的。三、全课总结本节课规定我们应用抽屉原理将需状态进行分类，即“制造抽屉”。“抽屉”造的好即可得出抱负成果。四、作业证明：在任意人群中，一定有2个人，他们在这群人中的朋友同样多第15讲排列组合中的趣题———摸球游戏教学目的：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学过程一、游戏引入大概十年前，在北京西直门立交桥附近，曾有一种摆摊摸球的人。当时围观的人们觉得很新鲜，曾有诸多人参加摸球。现在看来，这但是是一种小型的赌博游戏罢了。这个游戏的规则很简朴：他先摆出了12个台球普通大小的小球，其中有6个红色球和6个白色球。当着观众的面，他把全部12个色球装进一种普通的布袋中，然后怂恿大家来摸。怎么个摸法呢?就是从这个装12个球的布袋中，随便摸出6个球来，看看其中有几个是红球，有几个是白球。固然，摸球者只能把手伸进袋口中把球一种一种地“掏出来”，而不能打开袋口看着摸。大家想一想共有多少种摸法？哪一种的概率大呢？二、学习例题寻找办法例1某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配办法？分析：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来有种选法，然后考虑4人的排法，故乘以例2高二（1）班要从7名运动员中选出4名构成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排办法有多少种？分析：分三类，第一类，没有甲乙，有种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲有2种选法；第三类，现有甲也有乙，有种选法例3体育课上，赵红老师安排4名男生和3名女生站队，练习第三套中学生广播体操。若满足下列条件，分别有多少种站法？（1）3名女生规定站在一起；（2）3名女生规定互不相邻；（3）梁伟不站在排头，黄金叶不站在排尾；分析:排队在现实生活中是很常见的现象，结合实例，使得学生感悟更深。三、全课总结回到课前那个游戏，根据排列组合知识从12个球中摸出6个球，总的办法数有：种，其中“6红”或者“6白”的状况都紧有唯一的一种，按概率论计算有1/924的出现概率作业：若你家里来客人，鞋架上有5双大小形状不同的拖鞋，从中选择4只，问：恰有2双的选法？第16讲概率中的趣题教学目的：通过五个实例介绍概率的应用，提高学生学习概率的主动性，培养浓厚的学习爱好。教学重难点：如何运用概率知识解决生活中的问题。教学过程：在六合彩(49选6)中一共有13983816种可能性，普遍认为，如果每七天都买一种不相似的号，最晚能够在13983816/52(周)＝268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的。在轮盘游戏中玩家普遍认为，在持续出现多次红色后，出现黑色的概率会越来越大。这种判断也是错误的，在投掷硬币的游戏中，如果是一枚硬币，那么我们无论猜什么猜对的概率都是50%；换成投掷两枚硬币，那么如果我们猜一种是“字”一种是“背”，猜对的概率是猜“都是字”或者“都是背”的两倍。三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门背面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的背面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其背面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中背面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要变化主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的概率更大某些？对的成果是，如果此时参赛者变化主意而选择另一扇关闭着的门，他赢得汽车的概率会增加一倍。生日悖论：在一种足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员)，不可思议的是，在这23人当中最少有两个人的生日是在同一天的概率要不不大于50％。解释：1.由于每次中奖的概率是相等的，中奖的可能性并不会由于时间的推移而变大。2.即出现黑色的概率每次是相等的，由于球本身并没有"记忆"，它不会意识到以前都发生了什么，其概率始终是18/37。3.有四种可能的状况，全部有相似的概率（1/4）：两个“字”一“字”一“背”一“背”一“字”两个“背”因此回答“一种是“字”一种是“背””答对的概率是50%。4.有三种可能的状况，全部拥有相等的可能性(1/3)︰参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。由于三种状况有两种是通过转换而获得汽车的，因此转换后中奖的概率为2/3。

5.核心在于领略在题目中，相似生日的搭配能够是相称多的。23个人能够产生23×22/2=253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。换一种角度，如果你进入了一种有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相似生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。因素是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题事实上是在问任何23个人中会有两人生日相似的概率是多少？四、作业：1.三枚硬币乔：“我向空中扔3枚硬币。如果它们落地后全是正面朝上，我就给你10美分。如果它们全是背面朝上，我也给你10美分。但是，如果它们落地时是其它状况，你得给我5美分。”吉姆：“让我考虑一分钟。最少有两枚硬币必然状况相似，由于如果有两枚硬币状况不同，那么第三枚一定会与这两枚硬币之一状况相似。而如果两枚状况相似，则第三枚不是与这两枚状况相似，就是与它们不同。第三枚与其它两枚状况相似或状况不同的可能性是同样的。因此，3枚硬币状况完全相似或状况不完全相似的可能性是同样的。但是乔是以10美分对我的5美分来赌它们的不完全相似，这分明对我有利。好吧，我打这个赌！”吉姆接受这样的打赌是明智的吗？2.老K的优势桌上放着6张扑克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有两张且只有两张是老K，但是你不懂得老K在哪个位置。你随便取了两张并把它们翻开。下面哪一种状况更为可能？⑴两张牌中最少有一张是老K；⑵两张牌中没有一张是老K。3.男孩对女孩有这样一种故事：一种国王打算增加国家中妇女的人口，使之超出男子的人口，以让男人能有更多的妻妾。为了达成这个目的，他颁布了以下的法律：一位母亲生了第一种男孩后，她就立刻被严禁再生孩子。国王论证道，通过这种办法，有些家庭就会有几个女孩而只有一种男孩，但是任何家庭都不会有一种以上的男孩。用不了多长时间，女性人口就会大大超出男性人口。你认为国王的这个法律会产生这样的效果吗？4.第十次投掷一只普通的骰子有6个面，因此任何一面朝上的概率是六分之一。假设你将某一种骰子投掷了9次，每次的成果都是1点朝上。第十次投掷，1点还是朝上的概率是多少呢？它是不不大于六分之一，还是不大于，或者等于六分之一？第17讲简易逻辑中的趣题教学目的：通过几个实例介绍简易逻辑的应用，提高学生学习的主动性，从而培养浓厚的学习爱好。教学重难点：如何运用简易逻辑知识解决生活中的问题。教学过程：例1、老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子，他让三个学生按前后次序站成一列，然后让他们闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，并将剩余的两顶帽子藏了起来，三人睁开眼睛后，背面的人能够看见前面人的帽子颜色.这时老师问：“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色？”成果三人都说：“不能！”老师又说：“你们再考虑考虑，能判断出来吗？”三人思考了一会儿，还是都说：“不能！”老师再一次问：“真的不能吗？”，这时，站在最前面的同窗忽然说：“老师，我懂得我戴的帽子颜色了！”请问，这位同窗戴的帽子是什么颜色的？他又是如何判断出自己帽子的颜色的？解析：不妨从前到后记三人为甲乙丙，第一次问，甲乙自然无法判断，而丙也无法判断，阐明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”;第二次问，丙的情形没有变化，也无法判断，这时，甲和乙能够动脑筋了，既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”，如果乙看到甲的帽子颜色为红色，则乙的帽子颜色必定为白色，这样乙就应当在老师第二次提问时回答出答案，这阐明乙看到的甲的帽子颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色.这样，当老师第三次提问时，甲就能够运用前两次乙和丙“不懂得”的回答给自己的提示，从而精确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色.例2、孙膑是中国古代知名的军事学家，他的兵法众人皆知.一天，大王决定要考一考孙膑的才干，便对孙膑说：“请你用计让我走下我的宝座.”一旁的庞涓争着说：“我把大王拖下来！”大王对他的答案立刻予以否认：“这不是用计！”庞涓又说：“那我用火烧！”大王也不觉得然，这时孙膑说：“大王，要你走下宝座确实不易，但如果你来到宝座下面的话，我能够用计让你走回去！”大王一心要试一试孙膑的智力，毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计，这时孙膑说：“大王，我已经成功了！”大伙儿一时都糊涂了，这是怎么回事呢？解析：其实这是孙膑给大王设下了一种“二难”的格局，如果大王不下宝座，则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面”不成立，这样我的智力无法体现出来了，而如果大王走下宝座，则“我已经让你走下了宝座”。因此，无论大王怎么样动作，孙膑都能够确保自己最少不输！例3、数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话。三句话中，只有一句是真话。谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫。”盒子上的话见图，求婚者猜中了，问：他是如何猜中的？解析：我们能够首先从问题中的某些关联条件出发，借助图形加以分析，找出解题的突破口与核心，再应用形式逻辑的普通规律等数学知识，以及生活中的常识，作出推理、判断，使问题获解。当求婚者看到金盒上面的铭牌“肖像在这盒里”（即肖像在金盒里）与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是意思截然相反的两句话时，根据形式逻辑中的排中律：一句话要么是真，要么是假，两者必居其一，因此能够得出结论，这两句话必是一真一假。又由于三句话中只有一句是真话，因此银盒子铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子里”就必定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里。例4：话说在远方的一种岛上，住着两个民族，一种是诚实族，一种是说谎族。顾名思义，说谎族在说话或回答下列问题时总是说谎话，诚实族在说话或回答下列问题时，则全是说实话。某记者在此岛上碰到了四个岛民，记者照例对他们进行了访问：“你们都是什么族的？诚实族的还是说谎族的？”这四人的回答以下：第一种人说：“我们四人全都是说谎族的。”第二个人说：“我们之中只有一人是说谎族的。”第三个人说：“我们四人之中有两人是说谎族的。”第四个人说：“我是诚实族的。”试问第四个人与否真的是诚实族的？解析：我们能够从题设条件出发，通过分析找出解题的突破口，根据一种人所讲的话非真即假，并辅之以反证法，对多个情形逐个推理、判断，使问题获解。由第一种人的回答可得出以下判断：①四个人中一定有诚实族的人；②第一人是说谎族的。(由于如果四个人全是说谎族的，那么谁也不会说“我们四个人全都是说谎族的”。）由第二、第三人的回答可得出以下判断：③第二人是说谎族的。由于如果他说真话，则第二、第三和第四人应是诚实族的，但第二和第三人的回答相矛盾，故第二人必是说谎族的。对第三人，若是说谎族的，则由①、②和③知，第四人必是诚实族的；若是诚实族的，即他说真话，则第三、第四两人必是诚实族的。因此第四人是诚实族的。第18讲解数学题的方略新课程改革的一种落脚点就是要培养学生解