七年级上第02讲 有理数、数轴、相反数、绝对值 讲义+练习

第第2讲讲有理数、数轴、相反数、绝对值概述概述适用学科初中数学适用年级初一适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点有理数、数轴、相反数、绝对值教学目标掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系;会正确地画出数轴,会用数轴上的点表示给定的有理数,会根据数轴上的点读出所表示的有理数;借助数轴，使学生了解相反数的概念，会求一个有理数的相反数；掌握绝对值的概念，有理数大小比较法则；学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小；体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想．教学重点让理解数轴．相反数．绝对值的概念；着重理解绝对值的几何意义，并能利用其解决相关问题；教学难点让学生体会数轴的价值，初步理解数形结合，有助于学生完成从小学学习方式向中学学习方式的过渡【教学建议】有理数五种运算法则的本质是:一确定符号，二计算绝对值.口诀：先看运算再看数，定好顺序不跳步，明确法则符号先，字迹工整要记住有理数加减法运算技巧：同号结合，凑0结合，凑整结合，拆数变形，带分数拆分整数，分数小数统一形式，同分母或便于通分的结合在理解的基础上，把有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算用于新的情境。综合使用已掌握的有理数的运算，选择或创造适当的方法解决问题。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入回顾用正负数表示数量的实际例子在足球比赛中，如果把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数．若红队进4个球，失2个球，则红队的胜球数，可以怎样表示？蓝队的胜球数呢？师：如何进行类似的有理数的加法运算呢？这就是我们这节课一起与大家探讨的问题．二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1数轴⒈数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意以下几点：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2．数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）3．利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4．数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是﹣1，无最小的负整数5．数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。考点2考点2相反数1．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意以下几点：⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。2．相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=﹣1（a0，b0））3．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。4．相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“﹣”即可求得（如：5的相反数是﹣5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“﹣”，然后化简（如；5a+b的相反数是﹣（5a+b），化简得﹣5a﹣b）；⑶求前面带“﹣”的单个数，也应先用括号括起来再添“﹣”，然后化简（如：﹣5的相反数是﹣（﹣5），化简得5）5．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是﹣a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。当a>0时，﹣a<0（正数的相反数是负数）当a<0时，﹣a>0（负数的相反数是正数）当a=0时，﹣a=0，（0的相反数是0）6．多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“﹣”号的个数决定最后化简结果；即：“﹣”的个数是奇数时，结果为负，“﹣”的个数是偶数时，结果为正。考点3考点3绝对值1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2．绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=﹣a；③如果a=0，那么|a|=0。可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）②a≤0，<═>|a|=﹣a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）3．绝对值的性质（1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即：⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0；⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0；⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|﹣a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=﹣b；⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4．绝对值的化简①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=﹣a5．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。考点4有理数大小比较考点4有理数大小比较有理数大小的比较（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数；（3）若a>b，b>c，则a>c；（4）作差法，a﹣b>0←→a>b；a﹣b<0←→a<b；a﹣b=0←→a=b；（5）大数﹣小数＞0，小数﹣大数＜0．综合提升：本章内容在中考中主要考察有理数的有关概念，如数轴、相反数、倒数、绝对值以及有理数的运算的等，多以填空题，选择题出现。考点5考点5倒数乘积为1的两个数互为倒数。一般地，，即若a是不等于0的有理数，则a的倒数是.注意：0没有倒数；若=1、互为倒数；若=﹣1、互为负倒数.三、例题三、例题精析类型一数轴例题1例题1【题干】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（）A．3B．5C．-3D．2例题2例题2【题干】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A．-1B．5C．3或D．-1或5类型二相反数例题1例题1【题干】的相反数是（）A．2B．C．-2D．例题2例题2【题干】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数，则x=____________.类型三绝对值例题1例题1【题干】下列说法，不正确的是（）A．数轴上的数，右边的数总比左边的数大B．绝对值最小的有理数是0C．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大例题2例题2【题干】如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）A．2的平方B．-3.4的绝对值C．-4.2的相反数D．的倒数四、课堂运用四、课堂运用基础基础在数轴上，-2与-5之间的有理数有（）个．A．无数个B．4个C．3个D．2个如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（）A．+a和-互为相反数B．+a和一定不相等C．一定是负数D．和一定相等在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是（）A．-1B．3C．±2D．-1或3巩固巩固若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．-2a和-2bB．a+1和b+1C．a+1和b-1D．2a和2b在，，，，中，负数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个数轴上表示互为相反数a与-a的两个点（）A．到原点的距离一样远B．到原点的距离不一样远C．表示数a的点在原点的右边D．表示数-a的点在原点的左边拔高拔高有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）A．a＞bB．a＞C．a＜bD．＜b相反数不大于它本身的数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数已知数轴上A．B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点A．B表示的数分别是6，所以它们到原点的距离都为3；有因为点A在点B的左边，所以点A．B表示的数分别是-3，3．五、课堂小结五、课堂小结本节讲了4重要内容：如何根据数轴的定义画一条数轴？如何在数轴上画出表示有理数的点？什么是一个数的相反数？相反数具有怎样的性质？什么是一个数的绝对值？一个数的绝对值又具有什么样的性质？有理数大小比较的方式有哪些？数轴上如何表示？六、课后作业六、课后作业基础基础把下列各数填入相应的大括号里，并用“＜”将各数大小连接起来．，-2，0，-1.3，5，|-4|

整数集：{

}

负整数集：{

}

正分数集：{

}

负分数集：{

}．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是.已知，，且，则，.的相反数是它本身．数轴上的A点表示的数是-3，数轴上另一点B到A点的距离是2，则B点所表示的数是。比较大小：

，|-3|

-4.某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）：星期一二三四五六七增减+5-2-4+13-10+16-9（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车__________辆；

（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_________辆；

（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车________辆；

（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是元．用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或