爱提分七年级秋季 第14讲-角的综合计算(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱角度综合计算知识精讲一、角度综合计算（一）时钟问题通过观察我们可以发现，时钟表盘上的刻度线分为12个大格，每个大格里有5个小格，一共60个小格。分钟走过1个小格表示时间过了1分钟；时针走过1个大格表示时间过了1个小时，同时分针走完一整圈。探究任意时刻时分时的两针位置,设12时的刻度线为,作为角度起始线,时针每小时转，则每分钟转；分针每分钟转,在时分时,分针与0度的夹角（分针转过角度）是：；时表示时针转过个大格，即时针与12时刻度起点线夹角为，此外时间每过1分钟，时针也会有微小的转动，即分钟时针转，故时针实际与起始线的夹角（锐角）为：。故时分，时针和分针夹角的计算公式是：如，12：55时的两针夹角：将代入上式，得夹角（二）角的和差倍分关系如图所示，是直线上一点，是一条射线，平分，在内．若，，则是多少度？首先梳理角之间的数量关系：1、由角度倍数关系可得：,2、由角平分线定义得，3、和互补4、唯一已知角可表示为已知条件数值不够，考虑列方程求解，不妨设，则，用唯一的已知角度列式为：求得未知数后，不要忘记回归所求角，算出最终结果准确的分析出题目中已知和隐含的角度数量关系，熟练运用方程思想是解题的关键。稍复杂些的角度计算通常不只有一种计算方法，根据所设未知角的不同，计算量会稍有差异。（三）角的转动问题如图∠AOB＝α，OC是一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。将射线OC绕点O按逆时针方向旋转一周．试用含α的代数式表示∠MON．①当OC在∠AOB内，如图②当OC在∠AOB外且OC从OA起转动<180°时，如图③当OC在∠AOB外且OC从OA起转动>180°、从OB起转动<180°时，如图④当OC在∠AOB外且OC从OB起转动超过180°时，如图综上，或由此题我们可以发现，如果题目中没有明确的角度限制，通常需要画图进行分类讨论，尤其是转动问题有可能出现180度的角，未知角是锐角还是钝角、射线在角内还是角外、多个角是否有重叠部分等往往作为分类讨论的依据，最关键的还是要通过准确分析角的和差倍分关系和利用角平分线定义等进行推理和证明。与转动速度和时间有关的题目可以类比行程问题分析。三点剖析一．考点：角度的计算

二．重难点：角的数量关系，角度的动态问题．

三．易错点：1．题目中隐含的角度数量关系；2．角的倍数或比例关系注意整体和部分．3．动态问题画图分析，注意考虑全面角的综合计算例题例题1、钟面上7点30分时，时针与分针的夹角的度数是________．例题2、钟表上11点15分时，时针与分针的夹角为________．例题3、8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为________°．例题4、已知：如图，，，求：的度数．例题5、如图，直线、相交于点O，平分，．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．例题6、如图，OC在∠BOD内．（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角．①若∠BOC＝60°，则∠AOD的度数是________；②猜想∠BOC与∠AOD的数量关系，并说明理由；（2）如果∠AOC＝∠BOD＝x°，∠AOD＝y°，求∠BOC的度数．例题7、已知直线经过点，，是的平分线．（1）如图1，若，则________；（2）如图1，若，则________；（用含的式子表示）（3）将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由；（4）将图1中的绕顶点逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，则________（用含的式子表示）例题8、已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．初步尝试：（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；类比探究：（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；解决问题：（3）如图2时，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系，直接写出你的结论．例题9、以直线上点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处．（1）如图1，若直角的边放在射线上，则________；（2）如图2，将直角绕点按逆时针方向转动，使得平分，说明所在射线是的平分线；（3）如图3，将直角绕点按逆时针方向转动，使得．求的度数．随练随练1、9点20分，钟表上时针与分针所成的钝角是________度．随练2、钟面显示的时间是6时30分，此时时针与分针的夹角是________．随练3、如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．（1）若∠AOC＝60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数．（2）若∠AOD和∠DOE互余，且，请求出∠AOD和∠COE的度数．随练4、如图，直线与相交于点，是的平分线，，如果．求：（1）的度数；（2）的度数．随练5、如图，直线与相交于，是的平分线，，，．（1）求的度数；（2）求与是否相等？请说明理由．随练6、如图，点是直线上的一点，是直角，平分．（1）若，求的度数；（2）将绕顶点旋转，且保持射线在直线上方，在整个旋转过程中，当的度数是多少时，．随练7、如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．随练8、如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．（1）如图2，将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时________度；________度．（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．（3）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点旋转的时间是________秒．拓展拓展1、12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A.90°B.67.5°C.82.5°D.60°拓展2、从12点整开始到1点，经过________分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为．拓展3、如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个拓展4、在一个平面内，将一副三角板按如图所示摆放．若，那么________度．拓展5、如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．拓展6、如图，已知，，是的3倍，求的度数．拓展7、如图，，平分，且，求度数．拓展8、如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．拓展9、如图，O是直线AB上一点，OC是任一条射线，OD，OE分别是，的平分线．（1）请写出图中的补角和的余角；（2）当时，求和的度数；（3）图中有哪几对互补的角？拓展10、如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．拓展11、如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝________；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝________；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．拓展12、如图，已知，，平分，平分．（1）求的度数．（2）若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数；（3）若将题干中的改为（为锐角），其余条件不变，求的度数．（4）从前面的结果中，你能得出什么结论？拓展13、已知点是上的一点，，平分．（1）当点，，在直线的同侧（如图1所示）时，若，求和的度数，和有什么数量关系？（2）当点，，在直线的异侧（如图2所示）时，若，那么（1）中和的数量关系的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由；（3）将图2中的射线绕点顺时针旋转，得到射线．设，若，则的度数是多少？（请用含的式子直接写出结果）拓展14、如图1，点O为直线AB上的一点，过