爱提分七年级寒假 第01讲-平行线的判定与性质(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名初一1班 年级初一辅导科目初中数学学科教师车胜男上课时间01-1412:00:00-12:30:00 知识图谱平行线的判定知识精讲一．平行线的公理及推论平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作．平行公理过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

二．平行线的判定两条直线被第三条直线所截1．如果同位角相等，那么两直线平行；即：如果∠1=∠2，那么a∥b2．如果内错角相等，那么两直线平行；即：如果∠1=∠2，那么a∥b3．如果同旁内角互补，那么两直线平行．即：如果∠1+∠2=180°，那么a∥b

三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；2．平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．3．平行线必在同一平面内，在同一平面内是平行线存在的前提条件；判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．三点剖析一．考点：平行公理及其推论，平行线的判定．二．重难点：平行线的判定．三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．2．判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．平行公理及推论例题例题1、已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为________．【答案】或【解析】分为两种情况：当在、之间时，如在点时，直线和直线之间的距离是；当在、外时，直线和直线之间的距离是．例题2、如果，，那么，这个推理的依据是（）A.等量代换B.两直线平行，同位角相等C.平行公理D.平行于同一直线的两条直线平行【答案】D【解析】，，、不重合，（平行于同一直线的两条直线平行）．例题3、下列说法错误的是（）A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.同角或等角的补角不相等C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D.同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线【答案】B【解析】A选项：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确.B选项：同角或等角的补角相等，原说法错误.C选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确.D选项：两条不相交的直线叫平行线，说法正确.随练随练1、下列说法中，正确的是（）A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.在同一平面内，若直线，，则D.若两条线段不相交，则它们互相平行【答案】C【解析】A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；D、根据平行线的定义知是错误的．平行线的判定例题例题1、如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转________．【答案】15°【解析】∵∠1＝120°，∴∠3＝60°，∵∠2＝45°，∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c，∴直线b绕点A逆时针旋转60°－45°＝15°．例题2、如图，在下列条件中，不能判定直线与平行的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】A、与是直线，被所截的一组同位角，，可以得到，不符合题意，B、与是直线，被所截的一组内错角，，可以得到，不符合题意，C、与既不是直线，被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，，不能得到，符合题意，D、与是直线，被所截的一组同旁内角，，可以得到，不符合题意．例题3、如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A、根据内错角相等，两直线平行即可证得；B、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；C、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；D、根据同旁内角互补，两直线平行，可证得，不能证．例题4、如图所示，已知直线、相交于点，，下面判定两条直线平行正确的是（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，【答案】D【解析】A、错误，因为，所以；B、错误，不符合三线八角构不成平行；C、错误，因为，所以不平行于；D、正确，因为，所以，所以．例题5、如图，点在上，，，于点．问吗？为什么？【答案】；见解析【解析】，理由如下．，，，，，，．随练随练1、如图，在下列条件中：①；②；③；④，能判定的有（）【答案】B【解析】依据，能判定；依据，能判定；依据，不能判定；依据，不能判定．随练2、如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）A.∠1＋∠3＝180°B.∠2＝∠3C.∠4＝∠5D.∠4＝∠6【答案】C【解析】A．由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b；B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b；C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b；D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b。随练3、图中有直线L截两直线，后所形成的八个角．由下列哪一个选项中的条件可判断（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，而，，．（内错角相等，两直线平行）．随练4、如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定AB∥CD的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】C【解析】①由可判定AD∥BC，不符合题意；②由不能判定AB∥BC，不符合题意；③由且知，可判定AB∥CD，符合题意；④由可判定AD∥BC，不符合题意；故选：C．随练5、如图是利用直尺和三角板过已知直线外一点作直线的平行线的方法，其理由是________．【答案】同位角相等，两直线平行【解析】由图形得，有两个相等的同位角存在，所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．平行线的性质知识精讲一．平行线的性质性质1．两直线平行，同位角相等；即：如果a∥b，那么∠1=∠22．两直线平行，内错角相等；即：如果a∥b，那么∠1=∠23．两直线平行，同旁内角互补．即：如果a∥b，那么∠1+∠2=180°两条平行线之间的距离在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离．如下图：二．拐点辅助线做法图形及辅助线结论∠B+∠AEG+∠I=∠BAE+∠EGI∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFG=720°思考n条平行线，角度有什么数量关系？思路：两条平行线间出现拐角时，过拐点作某条直线的平行线，根据平行公理，三条直线两两平行，再考虑平行线的性质定理解题.三．易错点1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．三点剖析一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点：1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．平行线的性质例题例题1、如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝________．【答案】105°【解析】∵直线L直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－75°＝105°．例题2、如图，，点在直线上，且，，那么（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，．，．例题3、如图，直线，点在上，交于点，若，，点在上，则的度数为________．【答案】【解析】，，，．例题4、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C＝________°．【答案】30【解析】∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，又∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠2，∴∠C＝∠B＝30°．例题5、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF交CD于点G，∠1＝35°，求∠2的度数．【答案】110°【解析】∵AB∥CD，∠1＝35°，∴∠AEG＝∠1＝35°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEG＝2×35°＝70°，∴∠2＝180°－∠AEF＝180°－70°＝110°．随练随练1、如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE=（）A.∠1+∠2B.180°﹣∠1+∠2C.∠2﹣∠1D.180°﹣∠2+∠1【答案】D【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1①．∵CD∥EF，∴∠DCE=180°﹣∠2②，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°﹣∠2+∠1．故选D．随练2、如图，，若，，求的度数．【答案】【解析】如图，过点作，，，，．，，，，，．角的计算与证明例题例题1、如图，两条直线a，b被直线c，d所截，已知∠1＝65°，∠2＝115°，若∠3＝45°，则∠4的度数为________．【答案】45°【解析】∵∠1＝65°，∠2＝115°，∴∠1＋∠2＝180°，∴a∥b，∴∠5＝∠3＝45°，∴∠4＝∠5＝45°．例题2、如图，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．【答案】（1）BF∥DE；理由见解析（2）60°【解析】（1）BF∥DE，理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠3，∵∠1＋∠2＝180°，∴∠3＋∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝150°，∴∠1＝30°，∴∠AFG＝90°－30°＝60°．例题3、如图，，，平分，，，求的度数．【答案】【解析】，，，，，，又，，平分，，，，．例题4、如图，，分别探讨下面四个图形中与、的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【答案】【解析】如图：（1）；过点作，则，（两直线平行，内错角相等）．（2）；（3）；（4），，是的外角，，，．随练随练1、如图，a∥b，∠1+∠2=70°，则∠3+∠4=°．【答案】110°．【解析】∵a∥b，∴∠3=∠5．∵∠1+∠2=70°，∴∠6=110°，∴∠3+∠4=∠4+∠5=∠6=110°，故答案为：110°．随练2、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．【答案】（1）CD与EF平行；理由见解析（2）115°【解析】（1）CD与EF平行．理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∵垂直于同一直线的两直线互相平行，∴CD∥EF；（2）∵CD∥EF，∴∠2＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB＝∠3＝115°．随练3、完成下面的推理填空如图，已知，是上的点，，，求证：．证明：是上的点（已知）________又（已知）________________________又（已知）________________________【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【解析】是上的点（已知）（邻补角的定义）又（已知）（同角的补角相等）（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）又（已知）等量代换）（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同位角相等）拓展拓展1、如图，下列说法中，正确的是（）A.因为，所以B.因为，所以C.因为，所以D.因为，所以【答案】C【解析】A、C、因为，由同旁内角互补，两直线平行，所以，故A错误，C正确；B、因为，由同旁内角互补，两直线平行，所以，故B错误；D、与不能构成三线八角，无法判定两直线平行，故D错误．拓展2、如图，于，于，，可得平分．理由如下：于，于，（________），（________），，（________），（________）________，（________）又（已知），________________（________）平分（________）【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换；角平分线的定义【解析】于，于，（已知），（垂直的定义），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）又（已知）（等量代换）平分（角平分线的定义）．拓展3、如图，已知，，，，求证：AB∥EF．【答案】见解析【解析】作CM∥AB，DN∥EF，如图，∴，，∴，，∴，∴CM∥DN，∴AB∥EF．拓展4、如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（）A.28°B.38°C.48°D.88°【答案】C【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠B＝68°，∵∠E＝20°，∴∠D＝∠1－∠