实际问题与一元二次方程

解一元一次方程应用题的一般步骤？一、复习第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。第一页第二页，共61页。（一）握手问题传播问题第二页第三页，共61页。1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?3.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?例题4.参加一次聚会的每两人都互赠礼物,所有人共赠礼物90次,有多少人参加聚会?第三页第四页，共61页。

列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．列一元二次方程解应用题应该注意的问题第四页第五页，共61页。（二）传播问题第五页第六页，共61页。

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析1第一轮传染后1+x第二轮传染后1+x+x(1+x)解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.(x+1)[1+x+x(1+x)]1+x+x(1+x)=121解方程,得答:平均一个人传染了________个人.10-12(不合题意,舍去)10x1=x2=第六页第七页，共61页。如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?121+121×10=1331人?思考如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？第七页第八页，共61页。

有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人?1+x1+x+(x+x2)分析:设每轮转发中平均一个人转发给x个人,第一轮后有

人收到了短消息,这些人中的每个人又转发了x人,第二轮后共有[]

个人收到短消息.第八页第九页，共61页。1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x●x=91即解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.第九页第十页，共61页。（三）增长率问题第十页第十一页，共61页。

2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率?例解:这两年的平均增长率为x,依题有（以下大家完成）180分析:设这两年的平均增长率为x,2001年2002年2003年180(1+x)第十一页第十二页，共61页。练习:1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为

.B第十二页第十三页，共61页。例2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?

分析:甲种药品成本的年平均下降额为

(5000-3000)÷2=1000(元)

乙种药品成本的年平均下降额为

(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)第十三页第十四页，共61页。解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2

元,依题意得解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率22.5%(相同)第十四页第十五页，共61页。经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?

经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.第十五页第十六页，共61页。平均增长（降低）率的应用题

平均增长（降低）率公式（1）1与x的位置不要调换；（2）解这类问题列出的方程一般用

“直接开平方法”。注意第十六页第十七页，共61页。

类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”小结第十七页第十八页，共61页。试一试1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为__________________.3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为()2．某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本,至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降低成本的百分数为x,可列方程_____________.第十八页第十九页，共61页。

练习党的十六大提出全面建设小康社会，加快社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001—2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ那么Ⅹ满足的

A（1+x)2=2B(1+x)2=4C1+2x=2D(1+x)+2(1+x)2=4第十九页第二十页，共61页。问题某服装厂花1200元购进一批服装，按40%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折才售完，经结算，这批服装共赢利280元，若两次打折相同，每次打了几折？列出方程即可第二十页第二十一页，共61页。

商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？解：设平均每月降价的百分数为，又设两个月前的价格为元，则现在的价格为元，根据题意，得，

不合题意舍去．．答：平均每月降价．第二十一页第二十二页，共61页。

类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”小结第二十二页第二十三页，共61页。（四）每每问题第二十三页第二十四页，共61页。例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？利润问题主要用到的关系式是：⑴每件利润=每件售价-每件进价；⑵总利润=每件利润×总件数第二十四页第二十五页，共61页。分析：如果设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40-x）元，根据每降价1元就多售出2件，即降价x元则多售出2x件，即降价后每天可卖出（20+2x)件，由总利润=每件利润×售出商品的总量可以列出方程解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10,x2=20因为要尽快减少库存，所以x=10舍去。答：每件衬衫应降价20元。第二十五页第二十六页，共61页。某种新品种进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：每件售（元）130150165每日销售（件）705035（1）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系。（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？第二十六页第二十七页，共61页。例4：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[（50+x)—40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为（500—10x）个，根据每件商品的利润×件数=8000，则应用（500—10x）·[（50+x)—40]=8000解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500—10x）个，则（500—10x）·[（50+x)—40]=8000，整理得解得都符合题意。当x=10时,50+x=60，500—10x=400；当x=30时，50+x=80，500—10x=200。答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个。生活有关一元二次方程的利润问题第二十七页第二十八页，共61页。（五）几何（面积）问题第二十八页第二十九页，共61页。回顾面积公式ahabaaab第二十九页第三十页，共61页。hababhar第三十页第三十一页，共61页。

例：在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。XX30cm20cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25x+100=0得x1=20,x2=5当x=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm分析:本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积第三十一页第三十二页，共61页。

如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？新课导入第三十二页第三十三页，共61页。

某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m。（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？实际问题第三十三页第三十四页，共61页。解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：整理，得：解得：∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m。（2）答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m。需要25天才能挖完渠道。第三十四页第三十五页，共61页。

要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?2721实际问题第三十五页第三十六页，共61页。设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得解得

故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:解法一:分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7第三十六页第三十七页，共61页。分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得(以下同学们自己完成)方程的哪个根合乎实际意义?为什么?解法二:第三十七页第三十八页，共61页。

某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少？使图（1）,（2）的草坪面积为540米2。（1）（2）实际问题第三十八页第三十九页，共61页。（1）解:（1）如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的x=25超出了原矩形的宽，应舍去。∴图（1）中道路的宽为1米。第三十九页第四十页，共61页。则横向的路面面积为_______，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一：如图，设道路的宽为x米，32x

米2纵向的路面面积为_________。20x

米2注意：这两个面积的重叠部分是x2

米2所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2。（2）第四十页第四十一页，共61页。而是从其中减去重叠部分，即应是米2所以正确的方程是：化简得，其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：

=100(米2)草坪面积==540（米2）答：所求道路的宽为2米。第四十一页第四十二页，共61页。解法二：

我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）第四十二页第四十三页，共61页。（2）横向路面_________，如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为________。20x米2草坪矩形的长（横向）为____________，草坪矩形的宽（纵向）_____________。相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。第四十三页第四十四页，共61页。

某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：，那么行驶200m需要多长时间?解：当s=200时，，解得答：行驶200m需。路程＝速度×时间

实际问题第四十四页第四十五页，共61页。

一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车。（1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?实际问题第四十五页第四十六页，共61页。解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是那么从刹车到停车所用的时间是（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20

从刹车到停车每秒平均车速减少值是（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s

则这段路程内的平均车速为所以x（20-4x）=15

整理得：解方程：得答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s。第四十六页第四十七页，共61页。解一元二次方程应用题的一般步骤:

（1）弄清题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；

（2）找出能够表示应用题全部含义的相等关系；

（3）根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；

（4）解这个方程，求出未知数的值；

（5）检查求得的根是否符合应用题的实际意义，写出最后答案（及单位名称）。知识要点第四十七页第四十八页，共61页。随堂练习1.（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为（）。第四十八页第四十九页，共61页。2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。解：设这种存款方式的年利率为x则：整理，得：，即解得：答：所求的年利率是12.5%．第四十九页第五十页，共61页。3。某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润。（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式。（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?第五十页第五十一页，共61页。

解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000解得：当时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意。当时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）。第五十一页第五十二页，共61页。4.某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。（1）小岛D和小岛F相距多少海里?

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结