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文档简介

恰当方程把一阶显式方程改写为如果方程的左边可以写成一个函数u(x,y)的全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)则称为恰当方程或全微分方程(1)第一页第二页，共19页。例如：xdx+ydy=0对于恰当方程来说，由于方程可以变为du(x,y)=0通解就为：u(x,y)=c问题：1.怎样判定一个方程是恰当方程2.如果是，怎样求全微分u(x,y)第二页第三页，共19页。定理：设M(x,y)和N(x,y)都是连续可微，则方程(1)是恰当方程的充要条件为

证明：“必要性”设(1)为恰当方程，则有第三页第四页，共19页。充分性：设,说明存在一个u,使得：把第一个式子两边关于x积分，得在代入第2个式子得第四页第五页，共19页。现在的问题是：表达式是否仅仅是y的函数，如果不是，则上式不可能成立；如果是，则可以求出第五页第六页，共19页。故仅仅是y的函数第六页第七页，共19页。充分性的论证也给出了u(x,y)的求法例：解：第七页第八页，共19页。代入得第八页第九页，共19页。其它解法如果(1)是恰当方程，也就是：考虑曲线积分则积分与路径无关第九页第十页，共19页。记则有考虑上面的例子把积分路径按图选取第十页第十一页，共19页。通解第十一页第十二页，共19页。分组“凑微分”改写为：第十二页第十三页，共19页。需要熟悉的公式第十三页第十四页，共19页。积分因子有许多方程不是恰当方程，如但是，乘以后，有第十四页第十五页，共19页。积分因子：如果一个非零函数，乘以方程：

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0成为恰当方程问题：怎样找一个方程的积分因子是(1)的积分因子的充要条件为：第十五页第十六页，共19页。在一般情况下难以求解，我们将局限于下面两种情形找仅与x有关的积分因子找仅与y有关的积分因子第十六页第十七页，共19页。当积分因子仅仅是x的函数时，上式变

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