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文档简介

Review1.微分中值定理2.导数应用一.微分中值定理Rolle，Lagrange，CauchyTheorem；洛比达法则求极限；Taylor’s公式：Peano余项

Lagrange余项对应的Maclaurin公式。

拉格朗日中值定理

1.微分中值定理及其相互关系

罗尔定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

2.

微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.

有关中值问题的解题方法利用逆向思维

,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数

.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理

.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.二.导数应用函数的单调性：如何判别，证明不等式；函数的极值：判别定理I&II；函数的凸性与拐点：判别及不等式；曲线的渐近线；函数作图；曲率：计算公式，曲率园。1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题

目标函数的建立与简化

最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.主要概念：极限，导数，微分；计算：极限，导数。求极限：

1.法则；

2.洛比达法则；

3.有理化，无穷小代换，和差化积，取对数，幂指函数。求导：1.法则；2.

复合函数，反函数，参数函数，隐函数求导证明：或证明：证明：证明：解：解：解：解：解：解：或解：解：另解解：证明：证明：证明：另法：证:

问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点证:

欲证因

f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证证明：证明：二式相加得：证明:

令则可设且由罗尔定理知存在一点使即分析:

所给条件可写为想到找一点c,使证明:

因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,

故由介值定理,至少存在一点

由罗尔定理知,必存在

证明:由泰勒公式得两式相减得证明:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故当

x>0时,从而在上单调增.得证:

设,则故时,单调增加,从而即思考:证明时,如何设辅助函数更好?证:

设则所以当令得即所证不等式成立.证:

只要证利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.解法1利用中值定理求极限原式解法2

利用泰勒公式令则原式证:设则故在上连续单调递增,从

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