【数学】2023-2024学年高一上人教A版（2019）必修第一册 n次方根与分数指数幂

第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂学习目标1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)良渚古城遗址地处浙西山地丘陵与杭嘉湖平原杭接壤地带,地势西高东低,南面和北面都是天目山脉的支脉,东苕溪和良渚港分别由城的南北两侧向东流过,凤山和雉山两个自然的小山,分别被利用到城墙的西南角和东北角.

新课引入

杭州良渚古城外围水利系统,是迄今所知中国最早的大型水利工程,也是世界最早的水坝系统(并不是最早的水坝),距今已经有4700至5100年.

2019年7月6日下午,在阿塞拜疆首都巴库举行的联合国教科文组织第43届世界遗产委员会会议上,随着大会主席阿布法斯·加拉耶夫落槌，位于浙江杭州的“良渚古城遗址”成功列入《世界遗产名录》,中华文明五千多年历史得到实证,遗产地的价值以及真实性、完整性得到了世界范围的认可.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗?

在学习幂函数时，我们把正方形场地边长c关于面积S的函数

,像

这样分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中我们已经学过整数指数幂.温故知新思考1：4的平方根是多少？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？

思考2：-27的立方根是多少？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？±2；

非负数才有平方根；2个-3；

任何实数都有立方根；1个温故知新思考3：一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.思考5：如果

，

，，类比上面的说法，你有什么结论？思考6：推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义。探究新知探究新知n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中,n＞1,且n∈N*aa的平方根490-4-9aa的立方根2780-8-27aa的五次方根3210-1-32±2±30320-2-3210-1-2aa的四次方根81160-16-81±3±20探究新知

a=xnaa的立方根2780-8-27320-2-3aa的五次方根3210-1-32210-1-2n为奇数时:a只有一个n次方根a是正数时，a的奇数次方根是正数a是负数时，a的奇数次方根是负数探究新知n为偶数时:a是正数时,有两个互为相反数的偶数次方根负的偶数次方根记为：

正的偶数次方根记为：

aa的平方根490-4-9±2±30aa的四次方根81160-16-81±3±20a是负数时,没有偶数次方根探究新知aa的平方根490-4-9aa的立方根2780-8-27aa的五次方根3210-1-32±2±30320-2-3210-1-2aa的四次方根81160-16-81±3±20

(当n是奇数)(当n是偶数,且a＞0)(1)（2）0的任何次方根是（3）负数没有偶次方根.0归纳总结：根指数根式被开方数式子叫做根式,这里

n

叫做根指数,a

叫做被开方数学习新知

1.根据方根的意义确定下面式子的值：练一练

a探究新知结论：学习新知

思考

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式例如：

规定正数的正分数指数幂的意义是：

规定正数的负分数指数幂的意义是：

例如，

规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.把下列的分数指数式化为根式，把根式化成分数指数式.练一练

答案：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）.练习：课本第107页练习1整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，有如下运算性质：

解：

练一练

求值：

解：

例3用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0).