【数学】2023-2024学年高一上人教A版（2019）必修第一册 两角差的余弦公式

第五章三角函数5.5三角恒等变换第一课时两角差的余弦公式5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课标要求1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.素养要求在熟知两角差的余弦公式意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1提示

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.2.思考如图，单位圆与x轴正半轴交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β)).易得AP＝A1P1.你能据此得到cos(α－β)与单角α，β的三角函数关系吗？3.填空

(1)任意角α，β都有cos(α－β)＝_______________________________. (2)任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为______的余弦公式，简记作C(α－β).cosαcosβ＋sinαsinβ差角4.思考有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗？ACD5.做一做

(1)(多选)下列结论正确的是(

) A.存在这样的α和β值，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ B.不存在α和β值，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ C.对任意的α和β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ D.不存在这样的α和β值，使得cos(α－β)≠cosαcosβ＋sinαsinβ

解析

若sinα或sinβ有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)，则cos(α－β)＝cosαcosβ，故A，C，D正确，B不正确.(2)cos54°cos24°＋cos36°sin24°＝________.HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1

(1)cos(－15°)的值是(

)D题型一两角差的余弦公式的简单应用解析cos(－15°)＝cos(30°－45°)(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.解析原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°1.把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.思维升华训练1

(1)化简cosθcos(π＋θ)＋sinθsin(π＋θ)的值为(

) A.1

B.－1 C.0

D.cosθ

解析

原式＝cos[θ－(θ＋π)]＝cos(－π)＝cosπ＝－1.B解析

原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°题型二两角差的余弦公式的综合应用思维升华题型三给值求角∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.思维升华∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ课堂小结1.记住两角差的余弦公式的特征，既可以正用，也可以逆用.2.在利用两角差的余弦公式求值时，不可机械地套用公式，而要从题目条件出发，将要求的角分解成题中已知角的差.3.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行： (1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.

确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)·cos(x－y)的结果为(

)A.sin2x

B.cos2xC.－cos2x

D.－cos2y解析

原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos2y，故选D.DDABAC6.sin162°sin78°－cos18°cos102°＝________.解析

原式＝sin18°sin78°＋cos18°cos78°∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)10.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.又∵α为锐角，(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解

∵β为钝角，∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα11.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是(

)C解析

由sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，得sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝sin2γ，①cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝cos2γ，②由①＋②得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα(1)求cos(α－β)的值；cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.14.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个