《高等数学（下册）》（阳平华）646-1教案 第9章 第12课 空间曲线及其方程

第第课空间曲线及其方程12空间曲线及其方程空间曲线及其方程第课12PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7空间曲线及其方程空间曲线及其方程第课12

课题空间曲线及其方程课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程（2）了解曲面的参数方程（3）理解空间曲线在坐标面上的投影思政育人目标：通过学习空间曲线及其方程，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程教学难点：空间曲线在坐标面上的投影教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：知识讲解（20min）（10min）→课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解空间曲线的一般方程，并通过例题介绍其应用由第四节知，任何空间曲线都可以看作两个曲面的交线．设，是曲面的方程，它们的交线为，如图9-45所示．曲线上任何点的坐标应同时满足这两个方程，即应满足方程组（9-14）同时，如果点不在曲线上，那么它不可能同时在两个曲面上，即它的坐标不满足方程组（9-14）．因此，曲线可以用方程组（9-14）来表示．方程组（9-14）就称为空间曲线C的一般方程．例1方程组表示怎样的曲线？解方程组中第一个方程表示母线平行于轴的圆柱面，其准线是面上圆心在原点、半径为1的圆．方程组中第二个方程表示一个母线平行于轴的柱面，由于它的准线是面上的直线，因此它是一个平面．方程组表示上述平面与圆柱面的交线，如图9-46所示．例2方程组表示怎样的曲线？解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点，半径为的上半球面．第二个方程表示母线平行于轴的圆柱面，它的准线是面上的圆，这圆的圆心在点，半径为．方程组表示上述半球面与圆柱面的交线，如图9-47所示．图9-46图9-47【学生】掌握空间曲线的一般方程【教师】讲解空间曲线的参数方程，并通过例题介绍其应用空间曲线的方程除了一般方程之外，也可以用参数方程来表示，即把空间曲线上的动点坐标表示为参数的函数，其一般形式是（9-15）方程组（9-15）称为空间曲线的参数方程．当给定时，就得到上的一个点，随着参数的变动便得曲线上的全部点．例3如果空间点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升（其中都是常数），那么点构成的图形称为螺旋线．试建立其参数方程．分析关键是确定参数．已知动点的运动角速度和线速度，则动点坐标与时间有关，可以以时间为参数．解取时间为参数．当时，设动点位于轴上的一点处．经过时间，图9-48动点由运动到，如图9-48所示．在面上的投影记为，的坐标为．由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，所以经过时间，．从而图9-48．由于动点同时以线速度沿平行于轴的正方向上升，所以．因此，螺旋线的参数方程为也可以用其他变量作参数．例如，令，则螺旋线的参数方程可写为其中，，为参数．螺旋线有一个重要的性质：当从变到时，从变到，说明当转过时，点沿螺旋线上升了，即上升的高度与旋转过的角度成正比．当旋转过一周时，点上升的高度为，这个高度在工程技术上称为螺距.【学生】掌握空间曲线的参数方程学习空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（20min）【教师】讲解曲面的参数方程曲面的参数方程通常含有两个参数，形如例如，空间曲线（9-16）绕轴旋转，所得旋转曲面的方程为（9-17）这是因为，参数方程（9-16）固定一个，得曲线上一点，点绕轴旋转，得空间的一个圆，该圆在平面上，其半径为点到轴的距离，因此，固定的方程（9-17）就是该圆的参数方程．再令在内变动，方程（9-17）便是旋转曲面的方程．例如，球面可看成面上的半圆周绕轴旋转所得，故球面方程为．圆柱面可看成面上直线绕轴旋转所得，故圆柱面方程为．【学生】了解曲面的参数方程【教师】讲解空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的一般方程为（9-18）由方程组（9-18）消去后得到方程．（9-19）由于方程（9-19）是由方程组（9-18）消去后所得的结果，因此，如果点的坐标值满足方程组（9-18），则一定满足方程（9-19），说明曲线上的所有点都在方程（9-19）所表示的曲面上，方程（9-19）表示母线平行于轴的柱面，这柱面包含着曲线．定义以曲线为准线，且母线平行于轴的柱面称为曲线关于面的投影柱面．这个投影柱面与面的交线称为空间曲线在面上的投影曲线，如图9-49所示．投影曲线的方程为图9-49同理可得，曲线在面或面上的投影曲线方程为或例4求球面与平面的交线在面上的投影方程．解由得，代入得．这是母线平行于轴，准线为球面与平面交线的柱面方程，即投影柱面方程．因此，所求投影曲线方程为例5求由上半球面和锥面所围成的立体在面上的投影，如图9-50所示．图9-50解由方程和消去得到．这是一个母线平行于轴的圆柱面，恰好是半球面与锥面的交线关于面的投影柱面，因此交线在面上的投影曲线方程为这是面上的一个圆．于是所求立体在面上的投影，就是该圆在面上所围的部分，即．【学生】理解空间曲线在坐标面上的投影学习曲面的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论

（10min）【教师】组织学生讨论以下问题1．给定一条空间曲线，其一般方程是否唯一？2．已知空间曲线的参数方程是如何求它绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程？【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课介绍了空间曲线的一般方程及参数方程；重点讨论了空间曲线关于坐标面的投影，例如，由方程组消去后得到曲线关于坐标面的投影柱面方程，曲线在面上的投影曲线方程为。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题9.7总结知识点，巩固印象教学反思本节