二项分布、超几何发布与正态分布微专题讲义 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项分布、超几何发布与正态分布微专题山东胡磊一、核心考点(4-5个左右)例题尽量选篇幅小的1：二项分布概率：二项分布是以独立重复试验为前提的.（1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立.（2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，实例演练1（2022春•天津滨海新区校级期中）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为，求的分布列及期望．【解析】：（1）设该运动员打破世界纪录的项目数为随机变量，该运动员至少能打破2项世界纪录为事件，每个项目能打破世界纪录的概率都是，且相互独立，则服从二项分布，则（A）．（2）该运动员能打破世界纪录的项目数为，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，1，2，3，故的分布列为：0123故．(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）.实例演练2（2022-2023学年辽宁省实验中学高二（下）月考）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为．若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为，则下列选项中不正确的是A． B． C． D．存在，使得成立【答案】【解析】：由题意可得，由二项分布的概率公式得，即正确；，若，则，与条件矛盾，即错误；由二项分布的期望与方差公式得：，，即、正确．故选：．3超几何发布：超几何分布”主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．实例演练3（2022-2023学年广西钦州一中高二（下）期中）从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则．【答案】．【解析】：由题意知服从超几何分布，则，所以．故答案为：．4正态分布：若随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，其中E(X)＝μ，D(X)＝σ2．当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布．解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.实例演练4（2022-2023学年福建省莆田一中高二（下）月考）某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为1200．【答案】1200．【解析】：因为总体密度函数为：，则，由得，所以超过100分人数大约为：人．故答案为：1200．二思维提升（1个）超几何发布与二项分布区别与联系：当样本容量很大时,超几何分布近似于二项分布．“超几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”,使得“超几何分布”期望的计算大大简化．共同点:每次试验只有两种可能的结果:事件发生或事件不发生．不同点:a)超几何分布是不放回抽样,二项分布是有放回抽样．b)超几何分布在试验过程中必须给定总体数,而且总体必须由数目明确的“正品”与“次品”两类构成.二项分布进行的试验无需知道总体数，但需要知道“成功率”．实例演练1袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求；（1）有放回抽样时，取到黑球的次数的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列．【解析】：（1）有放回抽样时，取到黑球的次数可能的取值为0，1，2，3，每次抽到黑球的概率均为，次取球可以看成3次独立重复试验，则，，，，，故的分布列为：0123（2）不放回抽样时，取到的黑球个数可能的取值为0，1，2，，，，故的分布列为：012三追踪训练1（2022-2023学年广西玉林市四校高二（下）联考）技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子．经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率A． B． C． D．解：由题意可知，每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，则，故，解得．故选：．2（2022-2023学年江西省赣州市全南中学高二（下）期末）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是①取出的最大号码服从超几何分布；②取出的黑球个数服从超几何分布；③取出2个白球的概率为；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为．A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【解析】：超几何分布是统计学上一种离散概率分布，它描述了由有限个物件中抽出个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还），故取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布，故①错误，②正确，取出两个白球的概率为，故错误，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则当4个球都为黑球时，总得分最大，所以总得分最大的概率为，故④正确．故选：．3（2022-2023学年河南省开封市五县高二（下）期中）某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高近