基于演化博弈的水资源配置动态及其进化稳定策略

基于演化博弈的水资源配置动态及其进化稳定策略

1水资源配置冲突的研究现状在经济快速发展的时代，人们对水资源的需求日益需求，水资源的需求越来越稀缺。水资源的缺乏严重制约着经济和社会的发展。在资源配置过程中，国家、地区和个人之间存在冲突和矛盾。如何有效组织水资源的分配，以及如何实施和平与争端以及实现双赢的问题是专家和科学家的研究重点。许多国内外专家和科学家进行了相应的研究。部分专家学者从历史和水量预测的角度研究水资源配置及其冲突,比如Goulter,IanC.等(1983),Phelps,Don(2007)强调水量预测和地区水资源冲突历史的重要性;不少专家学者运用博弈论方法研究水资源配置及其冲突,比如Eleftheriadou,Eleni等(2008),冯文琦等(2006),彭祥等(2006),刘文强等(2002),Kerachian,Reza等(2006),李良序等(2006),尹云松等(2004),Rowland,Marty(2005)分别运用博弈论、纳什谈判理论(Nashbargainingtheory)分析水资源配置及冲突,以实现水资源优化配置和冲突拆解;也有专家学者利用决策支持系统、智能算法等先进的计算机技术研究水资源配置及其冲突问题,比如Nandalal,K.D.W.等(2007),Gopalakrishnan,Chenna等(2005),Karamouz,Mohammad等(2005)分别用冲突解决图模型(GMCR)、决策支持系统GMCRII和遗传算法(GA)分析多主体水资源配置及争端的策略。总结国内外已有的研究,我们发现国内外关于水资源配置及其冲突拆解的研究主要集中在采用博弈论、冲突解决图模型(GMCR)、决策支持系统以及智能算法等方法和技术来解决水资源配置中的冲突问题,建立政府管制和市场机制相结合的水资源配置机制,但是已有的研究很少考虑到水资源配置过程中各参与主体之间冲突的形成机理、演化过程和趋势,而对于水资源配置冲突形成机理和演化趋势的研究具有十分重要的意义,这将有助于对水资源配置冲突的根源和过程进行有效的拆解和控制,从而达到多方协调和共赢的局面。传统的博弈论方法不能反映水资源配置冲突的演化过程和趋势,而演化博弈(EvolutionaryGame)则是研究演化趋势的经典方法论,演化博弈理论是一种以有限理性的参与人群体为研究对象,利用动态分析方法把影响参与人行为的各种因素纳入其模型之中,并以系统论的观点来考察群体行为的演化趋势的分析方法。但只有较少的专家学者运用演化博弈理论分析水资源市场及其配置中的博弈问题,尹云松等(2005)运用进化博弈理论分析水资源数量与质量分配的纳什均衡;牛文娟、王慧敏(2007)运用演化博弈理论的方法建立水资源多Agent系统的演化博弈的数理模型。但已有的关于水资源配置的演化博弈研究相对比较抽象,且没有考虑到政府在水资源配置的作用,本文尝试运用演化博弈理论分析流域水资源配置中无政府管制下的水资源生产商之间以及政府管制下的水资源生产商与政府水资源监管部门的复制动态和演化稳定策略,试图揭示水资源配置的演化规律及其演化稳定策略,从而在此基础上研究水资源配置优化策略和冲突拆解策略。2水资源配置的社会管制为了从演化博弈角度分析流域水资源配置中无政府管制下的水资源生产商之间以及政府管制下的水资源生产商与政府水资源监管部门的复制动态和演化稳定策略,首先要定义四个概念:超量取水(H)、正常取水(L)、监管程度高(H)和监管程度低(L)。根据水权理论,水权指水资源产权,是与水资源用益相关的决策权,它反映各种决策实体在水资源用益中相互的权利义务关系(王亚华,2005);水权是水资源在稀缺条件下,围绕一定数量水资源用益的财产权利,水资源具有流动性和循环再生性,水权的客体直观上是一定数量的水资源,实质上是围绕数量水资源用益的一束财产权利。在每个周期(年度或季度)水权初始分配时,每方取水主体是给定了取水量的,我们可以把这个给定的取水量标记为取水阈值(Threshold)qT。则可以定义:超量取水(标记为H):每个周期内各方取水主体取水量qj>qT的情形,我们定义为超量取水,超量取水量标记为qΗj,j=1,2。正常取水(标记为L):每个周期内各方取水主体取水量qj≤qT的情形,我们定义为正常取水,正常取水量标记为qLj,j=1,2。很显然,超量取水会挤占其他主体的水权,从而引发水资源配置的冲突问题。根据管制理论,社会性管制是指以保障劳动者和消费者的安全、健康、卫生、环境保护、防止灾害为目的,对产品和服务的质量和伴随着提供它们而产生的各种活动制定一定标准,并禁止、限制特定行为的管制(植草益,1992)。政府对于水资源配置的管制也是社会性管制的重要内容,植草益对社会性管制的分类中的C类就专门提到了关于水资源配置的管制。而政府对于水资源配置的管制程度也有高低的区别,则可以定义:监管程度高(标记为H):政府水资源监管部门对于每方取水主体的采取不同取水策略时能给予及时有效的反应:奖励或者惩罚,即对于正常取水策略的取水主体进行奖励,对于超量取水策略的取水主体进行惩罚。监管程度低(标记为L):政府水资源监管部门对于每方取水主体的采取不同取水策略时不能给予及时有效的反应,监管不力,不作为。3在没有政府控制的情况下，原材料制造商之间的复制和开发策略具有稳定的动态平衡策略3.1水资源产出的边际负影响因素考虑一个有n个取水主体的流域水资源配置区,区域内最大可利用水资源量为Qmax。我们用qi,i∈N表示主体i的取水量,用Q=∑j∈Νqj表示所有主体总取水量。假定取一单位水的成本都相等,都为常数c,单位用水的平均致污率为λ,单位污水的处理成本为cd,假定每单位水资源的产出p依赖于流域最大可利用水资源量Qmax和所有主体取水总量q,a为正常数,表示每单位取水量对于水资源产出的边际负影响。则每单位水资源的产出可假定为:p=p(q)=a(Qmax-q),q≤Qmax,a>0则第i个取水主体的利润函数便为:ui=a(Qmax-n∑j=1qj)qi-cqi-λcdqi,i=1,2,⋯,n现在考虑在一个大群体的水资源生产商之间随机配对进行该博弈,假设在这n个主体组成的群体由两方组成,一方是采取超量取水策略的水资源生产商,比例为x,另一方是采取正常取水策略的水资源生产商,比例为1-x。则有如下支付函数:uΗΗ1=a[Qmax-(qΗ1+qΗ2)]qΗ1-(c+λcd)qΗ1,uΗΗ2=a[Qmax-(qΗ1+qΗ2)]qΗ2-(c+λcd)qΗ2,uΗL1=a[Qmax-(qΗ1+qL2)]qΗ1-(c+λcd)qΗ1,uΗL2=a[Qmax-(qΗ1+qL2)]qL2-(c+λcd)qL2,uLΗ1=a[Qmax-(qL1+qΗ2)]qL1-(c+λcd)qL1,uLΗ2=a[Qmax-(qL1+qΗ2)]qΗ2-(c+λcd)qΗ2,uLL1=a[Qmax-(qL1+qL2)]qL1-(c+λcd)qL1,uLL2=a[Qmax-(qL1+qL2)]qL2-(c+λcd)qL2因此,水资源生产商之间的超量/正常演化博弈支付矩阵可表示如下(如表1所示)。3.2水资源生产线超量取水h根据对称性原理,有qΗ1=qΗ2,qL1=qL2,因此,有uΗΗ1=uHH2,uLL1=uLL2,uΗL1=uLΗ2,uLH1=uΗL2。那么,采用两种超量取水(H)、正常取水(L)博弈方的期望得益和群体平均期望得益分别为:u1=xuΗΗ1+(1-x)uΗL1(1)u2=xuLΗ1+(1-x)uLL1(2)ˉu=xu1+(1-x)u2(3)根据演化的原理,一种策略的适应度或支付比种群的平均适应度高,这种策略就会在种群中发展,体现在种群中使用某个策略的个体在种群中所占比例的增长率大于零。这就是复制动态方程。复制动态方程实际上是描述某一特定策略在一个种群中被采用的频数或频度的动态微分方程。因此,由式(1)和式(3)可得水资源生产商采用超量取水(H)策略的复制动态方程为:dxdt=x(u1-ˉu)=x(1-x)(u1-u2)=x(1-x){[(aQmax-c-λcd)-a(qΗ1+2qL1)](qΗ1-qL1)-xa(qΗ1-qL1)2}(4)令dxdt=0,根据该复制动态方程,不难求出其三个不动点,即可能的稳定状态点分别为:x*1=0,x*2=1,x*3=(aQmax-c-λcd)-a(qΗ1+2qL1)a(qΗ1-qL1)(x*3仅当0≤(aQmax-c-λcd)-a(qΗ1+2qL1)a(qΗ1-qL1)≤1成立)因为qΗ1>qL1‚(aQmax-c-λcd)-a(q1Η+2q1L)≥0且(aQmax-c-λcd)-a(2q1Η+2q1L)≤0,即有a(q1Η+2q1L)≤aQmax-c-λcd≤a(2q1Η+2q1L)。令F(x)=dxdt,根据微分方程的稳定性定理及演化稳定策略的性质,当F′(x*)<0时,x*为相应演化博弈复制动态的进化稳定策略(ESS)。求解F(x)关于x的一阶导数,得:F′(x)=[(aQmax-c-λcd)-a(q1Η+2q1L)](q1Η-q1L)(1-2x)-(2x-3x2)a(q1Η-q1L)2将x*1,x*2,x*3带入F′(x)得到:F′(0)=[(aQmax-c-λcd)-a(q1Η+2q1L)](q1Η-q1L)>0,F′(1)=-[(aQmax-c-λcd)-a(2q1Η+q1L)](q1Η-q1L)≥0F′(x3*)=1a[(aQmax-c-λcd)-a(q1Η+2q1L)][(aQmax-c-λcd)-a(2q1Η+q1L)]<0因此,x*1=0,x*2=1都不是博弈的进化稳定策略,x3*=(aQmax-c-λcd)-a(q1Η+2q1L)a(q1Η-q1L)是该演化博弈的进化稳定策略(ESS)。用复制动态方程的相位图表示,即与水平轴相交且交点处切线斜率为负的点(如图1中的点(x*,0)),为该演化博弈的进化稳定策略(ESS)。4在国家管理下别国家水资源保护部门和水资源生产者之间的世袭动态和稳定发展策略4.1政府水资源主管部门监管程度在前述假定的基础上,引入另一类主体:政府水资源监管部门,该部门负责监管水资源生产商是否超量取水(H),如果水资源生产商超量取水(H),则按照每超出阈值qT一单位水收取惩罚费用cp,该费用作为政府水资源监管部门的收益;反之,如果水资源生产商正常取水(H),则将会按照每少于阈值qT一单位水获得奖励rc,该奖励由政府水资源监管部门提供;假设政府水资源监管部门监管程度高(H)时,有监管成本cc,若监管程度低(L),监管成本设为0;若政府水资源监管部门监管程度高,不论水资源生产商超量取水(H)还是正常取水(L),都会按照超过或者少于阈值qT每单位水获得上级政府r的奖励;反之,若政府水资源监管部门监管程度低,上级政府将会向监管部门收取固定的惩罚费用c0,即惩罚成本高于监管成本;若出现水资源生产商超量取水的情况,上级政府还将会向监管部门收取超过阈值qT每单位cl的惩罚费用。因此,我们有如下支付函数:u1ΗΗ=a(Qmax-q1Η)q1Η-(c+λcd)q1Η-cp(q1Η-qT)u2ΗΗ=(r+cp)(q1Η-qT)-ccu1ΗL=a(Qmax-q1Η)q1Η-(c+λcd)q1Ηu2ΗL=-c0-cl(q1Η-qT)u1LΗ=a(Qmax-q1L)q1L-(c+λcd)q1L+rc(qT-qL1)u2LΗ=(r-rc)(qT-q1L)-ccu1LL=a(Qmax-q1L)q1L-(c+λcd)q1Lu2LL=-c0因此,水资源生产商与政府水资源监管部门的取水/监管演化博弈支付矩阵可表示如下(如表2所示)。4.2政府水资源主管部门博弈方的复制动态方程我们假设在水资源生产商博弈的群体中,采取超量取水(H)策略的博弈方比例为x,则采取正常取水(L)策略的博弈方比例为1-x;同时假设在政府水资源监管部门博弈的群体中,采取监管程度高(H)的博弈方的比例为y,则采取监管程度低(L)的博弈方比例为1-y,因此,水资源生产商采取超量取水(H)、正常取水(L)的期望得益和群体平均期望得益分别为:u1Η=yu1ΗΗ+(1-y)u1ΗL(5)u1L=yu1LΗ+(1-y)u1LL(6)u¯1=xu1Η+(1-x)u1L(7)在政府水资源监管部门博弈的监管程度高(H)、监管程度低(L)两类博弈方的期望得益和群体平均得益分别为:u2Η=xu2ΗΗ+(1-x)u2LΗ(8)u2L=xu2ΗL+(1-x)u2LL(9)u¯2=yu2Η+(1-y)u2L(10)因此,由式(5)和式(7)可得在水资源生产商博弈方采取超量取水(H)策略的复制动态方程为:dxdt=x(u1Η-u¯1)=x(1-x)(u1Η-u1L)=x(1-x){(aQmax-c-λcd)(q1Η-q1L)-a(q1Η+q1L)(q1Η-q1L)-y[cp(q1Η-qΤ)+rc(qΤ-q1L)]}(11)同理,由式(8)和式(10)可得在政府水资源监管部门博弈方采取监管程度高(H)策略的复制动态方程为:dydt=y(u2Η-u¯2)=y(1-y)(u2Η-u2L)=y(1-y){(r-rc)(qΤ-q1L)-cc+c0-x[(r-rc)(qΤ-q1L)-(r+cp+cl)(q1Η-qΤ)]}(12)令dxdt=0,dydt=0,根据该复制动态方程,不难求出各自的两个不动点,即可能的稳定状态点分别为:x*=0,x*=1;y*=0,y*=1。令F(x)=dxdt,F(y)=dydt,分别求解F(x)关于x和F(y)关于y的一阶导数,得:F′(x)=(1-2x){(aQmax-c-λcd)(q1Η-q1L)-a(q1Η+q1L)(q1Η-q1L)-y[cp(q1Η-qT)+rc(qT-q1L)]}F′(y)=(1-2y){(r-rc)(qT-q1L)-cc+c0-x[(r-rc)(qT-q1L)-(r+cp+cl)(q1Η-qT)]}我们首先对水资源生产商博弈群体的复制动态方程进行分析可知:当y=y*=(aQmax-c-λcd)(q1Η-q1L)-a(q1Η+q1L)(q1Η-q1L)cp(q1Η-qΤ)+rc(qΤ-q1L)时,dxdt=0,即所有的x都是稳定状态;当y>y*时,x*=0和x*=1是x的两个稳定状态;由于F′(0)<0,因此x*=0是进化稳定策略(ESS);当y<y*时,x*=0和x*=1是x的两个稳定状态;由于F′(1)<0,因此x*=1是进化稳定策略(ESS)。我们再对政府水资源监管部门博弈群体的复制动态方程进行分析可知:当x=x*=(r-rc)(qΤ-q1L)-cc+c0(r-rc)(qΤ-q1L)-(r+cp+cl)(q1Η-qΤ)时,dydt=0,即所有的y都是稳定状态;当x>x*时,y*=0和y*=1是y的两个稳定状态;由于F′(0)<0,因此y*=0是进化稳定策略(ESS);当x<x*时,y*=0和y*=1是y的两个稳定状态;;由于F′(1)<0,因此y*=1是进化稳定策略(ESS)。因此,系统在平面{(x,y):0≤x,y≤1}上的局部均衡点有5个:即(x,y)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(x*,y*)}对于一个由微分方程系统描述的群体动态,其均衡点的稳定性是由该系统得到的雅可比(Jacobi)矩阵的局部稳定分析得到的。根据Friedman提出的方法,其均衡点的稳定性可由该系统的Jacobi矩阵的局部稳定性分析得到,记F1=F(x)=dxdt,F2=F(y)=dydt,则由式(11)和式(12),可得该系统的Jacobi矩阵(Matrix)和对应的行列式(Determinant)及其迹(Trace)分别为:J=[∂F1∂x∂F1∂y∂F2∂x∂F2∂y]‚De(J)=|∂F1∂x∂F1∂y∂F2∂x∂F2∂y|其中,∂F1∂x=(1-2x){(aQmax-c-λcd)(q1Η-q1L)-a(q1Η+q1L)(q1Η-q1L)-y[cp(q1Η-qΤ)+rc(qΤ-q1L)]}∂F1∂y=-x(1-x)[cp(q1Η-qΤ)+rc(qΤ-q1L)]∂F2∂x=-y(1-y)[(r-rc)(qΤ-q1L)-(r+cp+cl)(q1Η-qΤ)]∂F2∂y=(1-2y){(r-rc)(qΤ-q1L)-cc+c0-x[(r-rc)(qΤ-q1L)-(r+cp+cl)(q1Η-qΤ)]}根据局部稳定分析法对5个均衡点进行稳定性分析,结果如表3所示。可见,5个局部平衡点仅有2个是进化稳定策略,此外,该系统还有2个不稳定平衡点以及1个鞍点。把水资源生产商和政府水资源监管部门博弈的两个群体类型比例变化复制动态的关系用一个坐标平面图表示,如图2为水资源生产商与政府水资源监管部门演化博弈群体复制动态和稳定性图,图中,A点和B点是进化稳定策略(ESS),分别对应于水资源生产商和政府水资源监管部门采取(L,H)和(H,L)策略组合,即(正常取水,监管程度高)和(超量取水,监管程度低),O点和C点是不稳定的均衡点,D点是鞍点。5游戏结果的分析5.1在没有政府控制下的水资源生产企业之间进行发育博弈的结果和价值分析(1)在gwb/bbs-qs之间的策略组合通过对水资源生产商之间的演化博弈进行分析,我们得到进化稳定策略(ESS)为:x3*=(aQmax-c-λcd)-a(q1Η+2q1L)a(q1Η-q1L)。事实上,我们所希望的是采取超量取水(H)策略的个体比例x*越小越好。明显的,x*3随着Qmax的减小而减小,随着c、λ、cd的增大而减小。这也表明,最大可利用水资源量Qmax越小,水资源生产商采取超量取水策略(H)的个体比例越小;水资源单位生产成本c、水资源平均致污率λ、单位污水处理成本cd越大,水资源生产商采取超量取水策略(H)的个体比例越小。(2)水资源企业之间的进化博弈情境设定参数a=1,Qmax=29万m3,c=2元/m3,λ=0.4,cd=5元/m3,qT=10万m3,q1Η=q2Η,q1L=q2L,分别计算进化稳定策略(ESS)x*,以及两种超量取水(H)、正常取水(L)博弈方的期望得益和群体平均期望得益,考虑在q1Η和q1L变动下求解水资源生产商之间演化博弈的进化稳定策略和期望得益,结果如表4所示。由表可知,不管是超量取水策略还是正常取水策略,取水量越大,超量取水策略(H)的比例越小,两种策略博弈方的期望得益以及群体平均期望得益越大,因此,对于两博弈方来说,正常取水策略群体取水量越小,而超量取水策略群体取水量越接近阈值,超量取水策略(H)群体的比例越大,各参与主体以及群体的期望得益越小,从而引发水资源配置中的冲突问题。采取正常取水策略(L)可以增加双方的期望得益,缓解冲突。5.2在国家管辖下，水资源生产者和国家水资源监督机构的基础上进行了结果和价值分析(1)初始状态及鞍点dx#,1,1-2-ocda的临界线分析水资源生产商与政府水资源监管部门之间的演化博弈,我们得到进化稳定策略(ESS)为:A(0,1)和B(1,0),分别对应于水资源生产商和政府水资源监管部门采取(L,H)和(H,L)策略组合,即(正常取水,监管程度高)和(超量取水,监管程度低)。如图2描述了水资源生产商和政府水资源监管部门演化博弈的动态过程。由两个不稳定的均衡点O(0,0)和C(1,1)及鞍点D(x*,y*)连成的折线ODC是系统收敛于不同状态的临界线。根据鞍点(saddlepoint)的性质,我们知道,初始状态在左上方的区域ODCA内时,系统将收敛到A(0,1)点,即水资源生产商和政府水资源监管部门采取(L,H)策略组合,(正常取水,监管程度高);初始状态在该折线右下方区域ODCB内时,系统将收敛到B(1,0)点,即水资源生产商和政府水资源监管部门采取(H,L)策略组合,(超量取水,监管程度低)。当x*=y*时,ODCA区域的面积和ODCB区域的面积相等,则系统收敛于两种ESS的概率相等。尽管系统有两个演化稳定策略A(0,1)和B(1,0),但事实上A(0,1)才是人们期望的系统演化的方向,即水资源生产商和政府水资源管理部门会采取(正常取水,监管程度高)策略,这种进化稳定策略(ESS)下的水资源生产商能够自觉遵守相关规则,不突破阈值,采取正常取水策略,而政府水资源监管部门也能够尽职尽责抓好监管,从而达到水资源的有效配置和利用。(2)水资源生产部门与政府水资源主管部门之间的博弈关系设定参数a=1,Qmax=20万m3,c=2元/m3,λ=0.4,cd=5元/m3,cl=1元/m3,c0=1元/m3,cc=2元/m3,r=