麦克斯韦方程组和电磁场

电磁学已学知识回顾:1静电场

E与试验电荷q受力F方向一致电势(电位)定义:

环路定理:

高斯定理:

有源场无旋、保守场第一页10/20/20231第二页，共75页。2稳恒磁场

高斯定理:

安培环路定理:

无源场涡旋场毕萨定律:

3总结静电场有源无旋电力线：正电荷—>负电荷稳恒磁场无源有旋磁感应线：环套通电导线洛伦兹力：静电场、稳恒磁场回顾介质特性：第二页10/20/20232第三页，共75页。一、法拉第电磁感应定律1法拉第实验(1821-1831)法拉第电磁感应定律其中

为回路中的感应电动势。(a2)S(a1)(b)共同因素：穿过导体回路的磁通量

发生变化。wiNS(c)第三页10/20/20233第四页，共75页。2、电磁感应定律*产生条件：其中B、

、s有一个量发生变化，回路中就有的

i存在。*

的大小:df/dt(SI)f的变化率*

的方向：“–”表示感应电动势的方向。“愣次定律”感应电流的出现总是阻碍引起感应电流的变化。*

的计算*磁通计原理法拉第电磁感应定律第四页10/20/20234第五页，共75页。3楞次定律判断感应电流方向的定律。感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原因。感应电流激发的磁场通量磁通量的变化（增加或减小）B

NSvf>0,df/dt>0

<0顺时针B

Nvf<0df/dt<0

>0逆时针SB

Nvf<0,df/dt>0

<0顺时针S法拉第电磁感应定律

Nvf>0,df/dt<0

>0逆时针SBv补偿第五页10/20/20235第六页，共75页。应用此定律时应注意：(1)磁场方向及分布;(2)

发生什么变化？(3)确定感应电流激发磁场的方向;(4)由右手定则从激发B方向来判断

的方向。由d/dt

的大小；由楞次

的方向

注：楞次定律中“反抗”与法拉第定律中“–”号对应。与能量守恒定律相一致，保证了电磁现象中的能量守恒与转换定律的正确，并且也确定了电磁“永动机”是不可能的。法拉第电磁感应定律第六页10/20/20236第七页，共75页。NS若没有“–—”或不是反抗将是什么情形？电磁永动机可能存在这种能产生如此无境止电流增长的能源?正是外界克服阻力作功，将其它形式的能量转换成回路中的电能。NSi满足愣次定律不满足愣次定律过程将自动进行，磁铁动能增加的同时，感应电流急剧增加，而i↑，又导致

↑→i↑…而不须外界提供任何能量。SNNS法拉第电磁感应定律第七页10/20/20237第八页，共75页。4感应电动势

i计算S(a)(b)wiNS(c)S、q=

constantB、q=

constantB、S=

constant法拉第电磁感应定律第八页10/20/20238第九页，共75页。5单匝—>多匝回路中相应的感应电流：从t1→t2时间内，通过回路导线任一横截面的电量：与d/dt无关若已知N、R、q，便可知

=？若将

1定标，则

2为t2时回路的磁通量磁通计原理

若

1=

2=···=N，则

=－Nd/dt。其中=1+

2+···+N，称为回路的总磁通匝链数；全磁通法拉第电磁感应定律第九页10/20/20239第十页，共75页。丹麦工程学院研制的空间磁力计分辨率：10pT工作原理：磁通计+反馈控制技术法拉第电磁感应定律第十页10/20/202310第十一页，共75页。例1.长直导线通有电流I，在它附近放有一矩形导体回路求：(1)穿过回路中的

；(2)若I=kt,回路中

=？(3)若I=常数，回路以v向右运动，

=？(4)若I=kt，且回路又以v向右运动时，求

=？解：设回路绕行方向为顺时针1）2）

I=kt时k>0逆时针方向;k<0顺时针方向Ilrdrab3）t时刻此时回路的磁通：v>0,

>0顺时针方向4）回路的磁通：第十一页10/20/202311第十二页，共75页。例2.弯成

角的金属架COD，导体棒MN垂直OD以恒定速度在金属架上滑动，设v向右，且t=0，x=0，已知磁场的方向垂直纸面向外，求下列情况中金属架内的

=？1）磁场B分布均匀，且磁场不随时间变化。2）非均匀时变磁场，B=kxcost。解：设回路绕向逆时针1）t时刻，x=vt。方向与绕向相反,顺时针。此处可直接利用均匀场：BMNxCDO第十二页10/20/202312第十三页，共75页。2）B不均匀，与绕向相同。与绕向相反。xdxBMNxCDO2）时变磁场，B=kxcost第十三页10/20/202313第十四页，共75页。电动势

内是什么力作功？

的变化方式：导体回路不动，B变化—>感生电动势导体回路运动，B不变—>动生电动势法拉第电磁感应定律：1、感生电动势(1)产生感生电动势的机制——感应电场Ei驱动线圈2中电荷运动的决不是磁场是静电场E？E为保守力场.静电场E不能为闭合回路运动的电荷提供能量。二、感应电场线圈1中，I

变化时，线圈2中出现感应电流Ii两个静止的线圈G12第十四页10/20/202314第十五页，共75页。

麦克斯韦引入感应电场的概念磁场B

t

变化的同时感应电场E涡

的电力线是闭合的，环套变化磁场，涡旋电场电场产生非保守场与一样，对场中的电荷有电场力的作用。*不依赖空间是否有导体存在，只要有dB/dt≠0，则就有E涡的存在。*是非保守力场，感生电动势与感应电场第十五页10/20/202315第十六页，共75页。与成右手螺旋关系。感应电场不能引入电势概念。显然

与导体回路形状有关。（3）与的异同

相同处:对电荷的作用相同。不同处无源有源无旋有旋保守场→电势非保守场（2）感生电动势定义：环路定律对闭合回路：感应电场的方向判断用楞次定律，E涡与

方向基本一致。感应电场的电力线是无头无尾闭合曲线—

涡旋电场。感生电动势与感应电场第十六页10/20/202316第十七页，共75页。例3求一个圆柱对称磁场变化时的涡旋电场。已知磁场均匀分布在半径为R的范围，且dB/dt=常量，而且大于零。求

1）任意距中心o为r处的E涡=?2）计算将单位正电荷从a→b，E涡的功。解：1)由Ｂ的均匀及柱对称性可知，感应的E涡应具有圆柱对称性，即在同一圆周上E涡的大小相等，方向沿切线方向，取半径为r的电力线为积分路径，方向沿逆时针方向:当r＞R时：当r＜R时：rRooabr感生电动势与感应电场第十七页10/20/202317第十八页，共75页。2）沿1/4圆周将单位正电荷从a→b，Ei作功沿3/4圆周E涡作功？结论：1）E涡∝dB/dt，与B大小无关？2）r＞R，磁场外E涡≠0。3）A1/4ab≠A3/4ab即:E涡作功与路径有关——非保守场oabr感生电动势与感应电场第十八页10/20/202318第十九页，共75页。例4.在例3中，如图放入一边长为l的正方形导体回路oabc。

求：1）回路各边的感应电动势；2）

i总；

3）回路内有静电场吗？比较c与a点的电势。解：1)2）

总=

ab+

bc=l2dB/dt，或obacEr同理：方向：逆时针第十九页10/20/202319第二十页，共75页。3）有静电场?在哪里。

ab=

bc会使正电荷在c点聚集，负电荷在a点聚集。Uca=Uc

–

Ua=

–IR/2一致等效电路abocobac或:Uca=Uc

–Ua=IR/2静电场与感应电场相平衡的结果！第二十页10/20/202320第二十一页，共75页。补充知识：电动势概念回顾电源电动势：单位q电荷从负极通过电源内部移动到正极时，非静电力做的功。表征电源中非静电力做功的本领，与外界电路导通与否及形状等无关；方向：电源负极—>正极。FeFn第二十一页10/20/202321第二十二页，共75页。感应电场B不变，导体回路运动。导线切割磁力线

=Blv法拉第电磁感应定律B=Cs、q变化->

(动生电动势）（1）产生动生电动势的机制静电场？dB/dt=0，则Ei=0。感应电场？非静电场vFEk洛仑兹力—>非静电场？2动生电动势第二十二页10/20/202322第二十三页，共75页。洛仑兹力作功？作功？作功？Fv对电子的漂移运动而言作正功—>动生电动势这一能量从何而来？Fu对导体的运动而言作负功<—外界提供能量FV

的作用：并不作功提供能量，转化能量的中介所定量上看：vVFVFvuFu动生电动势第二十三页10/20/202323第二十四页，共75页。-+闭合回路在磁场中运动时：vFE*动生电动势讨论：E*与Ei的区别E*产生条件

表达式与法拉第感应定律吻合第二十四页10/20/202324第二十五页，共75页。例5如图导线回路架铅直放在均匀磁场B中。导线长ab=l，质量为m，回路电阻为R。在重力作用下ab边由静止开始运动，不计摩擦下求导线ab的运动速度。该方程的解为：解：导线杆ab的受力分析，然后给出其运动方程：初始条件：v(0)=0A=-mgR/(B2l2)tvvmomg=Fm—>vm=mgR/(B2l2)

abmgvFi两棒切割演示第二十五页10/20/202325第二十六页，共75页。导体回路在变化磁场中运动情况例6.长直导线通有电流I，在它附近放有一矩形导体回路求若I=kt，且回路又以v向右运动时，求

=？Ilab第二十六页10/20/202326第二十七页，共75页。三、自感与互感（线圈中两种典型的电磁感应）电磁感应定律：感生电动势动生电动势

L问题：下图中当K接通1端时回路中的电流变化？KRL12abctio引言第二十七页10/20/202327第二十八页，共75页。1.自感1）自感现象回路中i变化→B变化→

变化→

LL~~自感系数或电感:取决于回路的大小、形状、匝数以及

当L=Constant可见，

L总是阻碍回路自身电流的变化。“－”表示

L的方向，i(a)自感电动势：(b)自感与互感第二十八页10/20/202328第二十九页，共75页。讨论：*回路里di/dt0

L直流电路在开或关的瞬间才出现

L.*L大，

L大→阻碍电路变化的阻力大；L小，

L小→阻碍电路变化的阻力小∴L~~对电路“电磁惯性”的量度。*电感（线圈）和电容一样是储能元件。*L的单位。（1H=1Wb/A）SIi(a)(b)自感第二十九页10/20/202329第三十页，共75页。2）自感L的计算例7：计算一螺线管的自感，截面积为S，长为l，单位长度上的匝数为n，管中充有

的磁介质，求L。解：设螺线管通有i的电流，设螺线管长>>宽，则管内磁场可视为均匀场，即管内磁场为B=

ni管内全磁通:

=N=NBS=NniS=n2ilS。注：除线圈外，任何一个实际电路都存在电感，输电线相当于单匝回路，回路上有分布电感。S=10cm2,l=50cm,N=3000,真空介质时L=23mH自感第三十页10/20/202330第三十一页，共75页。问题：下图中当K接通1或2端时回路中的电流变化？1tio2时间常数t=L/RK接通1端时回路的电路方程为初始条件：i(0)=0K接通2端时回路的电路方程为初始条件：i(0)=/R结论：L越大，t越大，上升越慢t0.63ImKRL12

L

Liii自感第三十一页10/20/202331第三十二页，共75页。L1L21）互感系数在L2中产生感应电动势~~互感电动势e21反之:L2中i2的变化，也将在L1中产生互感电动势e12L2中y21的变化引起由图可见，y12和y21不仅与另一线圈的电流变化有关，而且还与它们的相对位置和以及两线圈的尺寸、形状、介质有关。2.互感：一导体回路的电流变化，在另一回路中产生感应电动势~~互感电动势。L1中的电流i1变化若两线圈的相对位置确定,设L1电流为i1，在L2中产生的磁通匝链数为

21。同理可得:互感第三十二页10/20/202332第三十三页，共75页。Mij是比例系数——互感系数，简称互感。可证明给定的一对导体回路：M12=M21=MM=

/i，单位:H互感电动势：两回路的位置有关Mij与线圈的几何形状及介质m有关当M=Constant：L1L2互感第三十三页10/20/202333第三十四页，共75页。此处

12很难算出！圆环中:y21=B1pr2=mni1pr2

设此螺线管通有i1，则B1=mni1。例8：长直螺线管，单位长度上有n匝线圈，另一半径为r的圆环放在螺线管内，环平面与管轴垂直。求M？解：分析r说明：原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁通量y

M=y

/i。但很多实际问题中M很难算出。互感2）互感的计算第三十四页10/20/202334第三十五页，共75页。3）串联线圈的自感L1L2顺接串联L1L2反接串联互感第三十五页10/20/202335第三十六页，共75页。四、电磁场的能量1.LR电路中的能量转换电路在建立稳定电流的过程中电源力克服自感电动势

L作功储存

L中能量K接通1端时，当电流以di/dt>0变化时，电流变化di，电源克服

L作功为dA=–

Ldq=–

Lidt；储存电流稳定后，K与2端连接，电流i从I→0，eL作正功，释放存在线圈内的磁能，把能量传给电阻，以热能形式散发KRL12

L

Lii第三十六页10/20/202336第三十七页，共75页。2.RLC电路中的能量转换RLCRLC电路的基尔霍夫方程：kmxFext能量m—>L；b—>R;k—>1/C类比：电磁场能量第三十七页10/20/202337第三十八页，共75页。3.磁能与磁能密度：由上可得，通有电流I的自感线圈中储能：类比电能存在电场中，可认为，磁能储存在磁场中。那么，Wm→磁场（B、H），如何联系？引子：平板电容器的电能，电场能量密度注：任意电场成立，普遍适应公式电磁场能量第三十八页10/20/202338第三十九页，共75页。以长直螺线管为例：已知，长螺线管n、l、S、I。∵管内为均匀磁场，单位体积储存的能量为：以上结论对任意形式的磁场都成立。一般地，非均匀场：磁场能量体密度电磁场的能量密度：电磁场能量第三十九页10/20/202339第四十页，共75页。Wm→L解：设电缆通有电流I，则两圆柱面间的磁场为：abr同轴电缆，两圆柱面半径分别为a、b，充满磁介质m，求单位长度Wm与L。例9.第四十页10/20/202340第四十一页，共75页。本节总结法拉第电磁感应定律感应电场和感应电动势动生电动势自感与互感系数及电动势磁场能量密度第四十一页10/20/202341第四十二页，共75页。第8.2节麦克斯韦方程组和电磁场经典电动力学研究进展中国古代磁针、指南针—>欧洲、航海家发现地磁倾角和地磁；带电效应：皮毛与树脂摩擦带负电、丝绸与玻璃摩擦带正电；1750剑桥大学米歇尔发现磁体之间的排斥力遵循反平方规律；1785年库仑提出静电力满足反平方定律—库仑定律；17世纪末伽伐尼（意医生）、伏特（意）等人发现电流；1800年奥斯特（丹）发现电—>磁现象、安培建立安培法则（安培定律）；毕奥和萨伐尔（法）建立了毕萨定律；1825年欧姆（德）建立欧姆定律（电流定律）；1831年法拉第（英）、亨利（美）发现电磁感应现象；1862-73年麦克斯韦（英）建立电磁场理论（麦克斯韦方程组）；1886年赫兹（德）证实电磁波存在，即验证麦克斯韦电磁理论。第四十二页10/20/202342第四十三页，共75页。静电场稳恒磁场电

电电

磁磁

电变化电场感应磁场？麦克斯韦又敏锐提出了：变化电场涡旋磁场产生如何提出？电场有源有旋变化磁场感应电场引言：已学知识总结:麦克斯韦方程组和电磁场第四十三页10/20/202343第四十四页，共75页。一、位移电流：1.电流场的连续方程：含义：单位时间任一封闭曲面的电量减少量等于净流出量。注：j为传导电流密度2.电流场不连续情况时？（如电容器内连续方程满足？)电流连续性方程不满足!稳恒电流电路中满足电流连续性方程：S2S1麦克斯韦方程组和电磁场第四十四页10/20/202344第四十五页，共75页。思考之一：场客观存在环流值必须唯一思考之二：定理应该普适假设：电容器内存在一种类似电流的物理量第四十五页10/20/202345第四十六页，共75页。S2S1D的高斯定律：上式含义：穿入s1面的传导电流I等于穿过s2面的电位移通量随时间的变化率。其称之为位移电流ID。位移电流密度jD为电流的连续性成立！&H的环流值唯一！根据电流定义：（I为穿入s1面的传导电流）电容极板端面上q(t)随时间变化—>板间电场和也随之变化.位移电流ID麦克斯韦方程组和电磁场第四十六页10/20/202346第四十七页，共75页。RICRIC放电时：D、D/

t

D

、ID//I充电时：D、（D/t)//D、ID//I充放电都有，可见：被极板中断的传导电流由位移电流接替下去。结论：任意电路的电流连续性方程(全电流连续)全电流定义为：全电流密度：推广即：磁场强度H沿任意闭合环路的积分等于穿过此环路的传导电流与位移电流的代数和。第四十七页10/20/202347第四十八页，共75页。3.位移电流(1)位移电流引入的作用将安培环路定律推广到一般交变电场。电流的连续性推广到交变电场。(2)位移电流内涵位移电流的本质并不是电荷的流动，而是电场的变化。二者在激发磁场方面完全等效，即变化的电场产生磁场。麦克斯韦方程组和电磁场第四十八页10/20/202348第四十九页，共75页。例一圆形平行板电容器，两极板的半径为a。设其正在充放电，电荷按规律Q=Qosin

t变化，忽略边缘效应.求：两极板间任意点的jD和B？解：(1)平行板之间的电场为：jD均匀分布在横截面上，与传导电流同向。(2)在极板间取半径为r的同心圆环为积分回路根据全电流定理：r<a时I+ID=0a麦克斯韦方程组和电磁场第四十九页10/20/202349第五十页，共75页。(r<a)(r>a)r=a注：一般变化的电场产生的磁场很小例：a=5cm，，若——当时无法验证!aBrar>a时I+ID=0第五十页10/20/202350第五十一页，共75页。将电、磁场高斯定理也推广到一般：变化电场产生磁场变化磁场产生电场稳恒情况的电磁场规律任意电场任意电流磁场传导电流I的磁场位移电流ID的磁场电场：自由电荷的电场变化磁场的电场麦克斯韦方程组和电磁场二、麦克斯韦方程组第五十一页10/20/202351第五十二页，共75页。物理意义：(1)在任何电场中，通过任何闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内自由电荷的代数和。——有源场(3)在任何磁场中，通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0。——无源场——有旋场(4)磁场强度H沿任意闭合环路的积分，等于穿过该环路传导电流和位移电流的代数和。——有旋场(1)(2)(3)(4)(2)在一般电场中，电场强度E沿任意闭合环路的积分，等于穿过该环路磁通量随时间变化率的负值。麦克斯韦方程组和电磁场第五十二页10/20/202352第五十三页，共75页。结论：无论是否有磁荷、磁流存在，麦克斯韦方程组不受影响。它成为电磁场理论的基础，并经受了实践的检验，已成为现代电子学、无线电学等学科的理论基础。麦氏方程组是普遍情况下电磁场运动变化的方程，其于电磁场而言等同于牛顿方程于力学的地位。给定所求区域内电荷分布、介质以及边界和初始条件，麦氏方程组唯一确定区域中电磁场的分布和变化。电荷激发电场(1)，电流激发磁场(4)，而且变化的电场和磁场可以相互激发(2、4)。该方程组对称？麦克斯韦方程组和电磁场第五十三页10/20/202353第五十四页，共75页。Gauss定理Stokes定理梯度散度旋度算符直角坐标系麦克斯韦方程组的微分形式数学准备第五十四页10/20/202354第五十五页，共75页。矢量场的通量散度高斯定理矢量场的环量旋度斯托克斯定理麦氏方程组微分形式麦克斯韦方程组和电磁场第五十五页10/20/202355第五十六页，共75页。三、真空自由电磁波解一维解真空下电磁波传播速度C麦克斯韦方程组和电磁场第五十六页10/20/202356第五十七页，共75页。四、电磁振荡1.无阻尼自由振荡过程电磁振荡：电路中电量和电流的周期性变化.

振荡电路：产生电磁振荡的回路.无阻尼振荡电路：电路无电阻、无辐射、产生的电磁振荡是无阻尼自由振荡.(1)振荡过程:——LC振荡LCt=0麦克斯韦方程组和电磁场第五十七页10/20/202357第五十八页，共75页。i放电，自感作用I逐渐

，q

We

,Wm

We

,Wm

We

max放电完毕，电流本应终止，因Wm,自感作用，产生与原来方向相同电流，反向充电q

We

Wm

maxWe

0Wm0放电完毕，电流本应终止因Wm自感作用、产生与原来方向相同的电流，电容器重新充电t=T时,回到

t=0时的状态We

maxWm0反向放电，电流与原方向相反因自感作用，i逐渐

q

We

Wm

0tq(t)i(t)第五十八页10/20/202358第五十九页，共75页。LC电路中，任一时刻系统的总能量不变：W=常量振荡方程：（类似于

）其解：(2)振荡方程：那么：电磁振荡中，q、I、We、Wm都在周期性变化，麦克斯韦方程组和电磁场第五十九页10/20/202359第六十页，共75页。LC电路中，任一时刻系统的总能量补充：H方法第六十页10/20/202360第六十一页，共75页。(3)LC振荡电路的能量电能极大值（常数）注意：（1）磁能极大值（常数）（2）能量变化的频率是振荡频率的2倍，麦克斯韦方程组和电磁场第六十一页10/20/202361第六十二页，共75页。2.LCR

电路——阻尼振荡LCR化简：令：即：讨论：*

弱阻尼：频率：周期：麦克斯韦方程组和电磁场*受迫振动、谐振第六十二页10/20/202362第六十三页，共75页。**受迫振荡：问Q=0.5？讨论：当时电流产生共振——谐振最大值外加电源对系统始终做正功引入第六十三页10/20/202363第六十四页，共75页。五、电磁波根据麦克斯韦理论：LC振荡电路理论上可以发射电磁波(实际上不能)。原因：

太低，辐射功率很小变化的磁场与变化的电场互相激发形成电磁波电场、磁场分别集中在电容器、自感线圈中HE1.电磁波产生的条件：只要波源——电