浙江师范大学《微分几何》考试卷05

浙江师范大学《 微分几何 》考试卷（2005----2006学年第一学期）考试形式使用学生 考试时间 150分钟 出卷时间2005年12 月_20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题（每空2分，共16分）1、 向量函数X=X（t）是定长的充要条件是.~*2、枉面X={F（u）,G（u）,v}的第一基本形式为。3、 若曲面£和曲面匕：X={x,y,2}等距，则£的高斯曲率K=。4、 坐标网是渐近线网的充要条件是。5、 若曲面上的曲线r既是渐近线又是曲率线，则r是。6、 曲面X（u,v）=U+v,u-v,uv）在（u,v）=（2,1）的切平面方程为曲线；法线方程为。7、 曲面上沿着一条非直线的曲线r，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线是曲面上曲线。二、 是非题（每小题2分共10分）TOC\o"1-5"\h\z1、 存在第一类基本量E=1，F=3,G=3的曲面。 （）2、球面上每一条曲线都是曲率线。 （）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。 （）4、 高斯曲率不是内蕴量。 （）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线r是圆柱螺线。 （）三、 综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、问是否存在曲面使得g=1,g=0,g=cos2u,Q=cos2u,Q=0,Q=1。为什么？2、 求曲线X=|t,212,313j的曲率k和挠率T。3、 求曲线y=RS）的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。4、 求曲面£:I=P2[du1）2+d（u2）2]的高斯曲率K。5、 求正螺面X=C1cosu2,u1sinu2,au2）上测地线的方程。

6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。7、 设非直线曲线r和另一条曲线r*之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线r的切线是r*的主法线，证明r是平面曲线。8、 若两曲面£1，£2相交于定角，且交线r是£1的曲率线，则r也是£2的曲率线。9、 证明：对曲面上的曲线有（1） 若渐近曲线r同时为测地曲线，则它必是直线；（2） 若曲率线r同时为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学《微分几何》考试卷参考答案（2005----2006学年第一学期）考试形式使用学生数学031-034考试时间 150分钟出卷时间2005年12月考试时间 150分钟出卷时间2005年12月20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。-、填空题（每格2分共16分）—► —►1、X（t）•X（t）,=02、 （F2（u）,+G2（u）,）du2+dv23、 K=04、 L=N=05、 平面曲线6、 3x一y-2z-4=07、 测地二、 是非题（每小题2分共10分）1-5：错，对，错，错，对。三、 综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、答：不存在 （3分）因为g11=1，g12=0，g22=*2"，L11=片2"，L12=0，L~~=1不满足科达齐方程22,L、 (L、L(抨)L(、「)( 22)一( 12)一~~22_卜—12七11v-0£U、云Vg11 I："V-左边-sinu(cos-2u+cos2u)。0（5分）2、解：因为X={t,Lt2J-13I2 33、X,={,t,12)，X,,={,1,2t}X3、X,={,t,12)，X,,={,1,2t}X,,,=1(t4+4t2+1)2 IX,|33(t4+12+1)2—► —— —►(X,,X,,,X,,,)T(X,XX,,)2 14+12+1,0,2}(4分)（2分）（2分）解：设曲线f=Rs）（s为孤长参数）的切线曲面为_ _ —X=Y(s)+va(s)，则有—— —=a+vkP，X-a_Xss_=-vk2a+(k+vk.)P+vkvf， —_X=kp，__X=0（2分）E=1+vE=1+v2k2,F=1,G=1L=—vk,M=0,N=0（2分）匕=0，k匕=0，k2vk（1分）THTH=-2Vk（1分）dv2-dsdvdv2-dsdvds21+v2k211-vkT00曲率线方程为=0，即s=常数，或v=-s+c（2分）1,*G)1,*G)，(.、••E)K=-^=(^=u)+(^^))（3分）4EGVEu,VGv=」((L)+(L))（2分）p2 pu pv1=-—((lnp)+(lnp))（3分）P2 uu vv4、解：因为为正交网，所以5、解：因为X={pcosu,vsinu,u}E=v2+1,F=0,E=v2+1,F=0,G=1由测地线方程为（2分）dvdu＞：'Itan0\'Gd01IdInE—=—' du2Gdv（2分）（4分）（2分）（2分）（3分）（1分）（1分）（1分）（2分）（1分）dInG八 tan0dud0_ v1dvv2+1tan0、：V2+1COS0=cccotan0=； =，则测地线方程为\：v2+1一C2dvu=cJ =vv2+1%，v2+1一C26、 证：因为是极小曲面，所以匕+k2=0，为非平面，即有k[=-k2^0,则K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。设两族渐近曲线主方向的交角为01502，则由欧拉公式有，'-k 兀兀tan0=±|—=+1,0]=—,0=——TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"\七 42 4两族渐近曲线正交7、 设曲线「：X=X（s）（s为孤长参数）则「*为X*=X（s）+人（s）01两边对S求导有 ^ —►\o"CurrentDocument"X*,=（1+入）0—+XkP （1）因为任*=±c—，上式两边点积P*有1+人.=0代入（1）即有——X*,=XkP （2）再求导有X*,,=（X.k+人k.）任+人k（-k&+C—） （3）TOC\o"1-5"\h\zX*,xX*„=^2^37+X2^2tcc（4） （1分）（4）再两边点积『*有Mkw=。由题意有t=0,即证。 （2分）8、证：设£,Z的单位法向量为元，元,则由题意有亓亓=c （1分）2 1 2 12两边微分得沥亓+ndn=0 （1分）12 1 2由交线「是£的曲率线，则有亦=\dX11^kdXn+ndn=0 （1分）2 1 2因为亓±dX,所以亓湖=02 1 2又因为方为单位法向量，即有亓力i=02 2所以有湖IInxn （2分）2 1 2n±dX,n±dX,所以有dX\\nxn （2分）1 2 1 2即成IIdX,所以「也是£的曲率线。 （1分）2 29、 （1）由题意沿「有左=0,k=0 （2分）n g又因为化2=切+化2=0,即k=0 （2分）ng所以「为直线。 （1分）（2）：由题意「为测地线，则沿「有元二±S （1分）又「为曲率线，则沿「的法线曲面是可展曲面，即有（cT,n,n）=0, （1分）即有（a,p,p）=0,因 p=—kd+Tp （1分）代入有（a,P,Tf）=T（a,P,y）=T=0即证明了「是平面曲线 （2分）

考试类别使用学生数理学院数学专业本科考试时间120分钟表出卷时间2002年10月7日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理二、填空题（30分）TOC\o"1-5"\h\z—► —►1、 向量函数X=X（t）是定长的充要条件.2、 光滑曲线「：X=X（t）,tER，若对任何的t有，则称「为正则曲线。3、 空间曲线中，弧长、和是参数变换下的不变量。4、 曲线论的基本定理是 。5、 若曲线为贝特朗曲线，则曲率k和挠率t满足的条件为。6、若在P点有*=Pg〃，则称P点为。7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定。8、 曲面为可展曲面的充要条件是曲面为 、和。9、 坐标网是渐近线网的充要条件是 。10、 若曲面上的曲线「既是渐近线又是测地线，则「是 。11、 曲面X（u,们=U+v,u-v,uv｝在（u,v）=（2,1）的切平面方程为，法线方程为。二、解答题1、2、g11=1，g12=0，g22*2u1，*11=e2u1，*12=0q22=1，这样的曲面是否存在？（5分）求正螺面X=u1cosu2,u1sinu2,au2｝上的测地曲线的方程。（10分）1、2、3、 若固定向量L与曲线r的所有法面平行，证明r是平面曲线。（7分）4、 证明渐近曲线上的点的测地曲率的绝对值等于它的曲率。（8分）5、 求曲线X=it-13,3t2,3t+13｝的曲率k和挠率to（10分）6、 求曲面£：I=P2^（du1）2+d（u2）2〕的高斯曲率Ko（10分）——7、 求挠曲线Y=Y（s）的切线曲面的曲率线。（10分）8、 若曲面£上有两族测地线交角为定角，则曲面£为可展曲面。（10分）浙江师范大学《微分几何》考试卷（2001——2002学年第二学期）考试类别使用学生数理学院数学专业2000本科考试时间120分钟表 出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理三、填空题（24分）1、向量函数X=X（t）是定向的充要条件是.2、光滑曲线「：X=X（t）,t^R,若对任何的t有，则称r为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率t满足的条件特殊曲线曲率k和挠率t满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、 若在P点有巳.=P8可，则称P点为。5、 若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。6、 若曲面为可展曲面的充要条件是曲面£的高斯曲率K=。7、 坐标网是渐近线网的充要条件是。8、 若曲面上的曲线r既是渐近线又是测地线，则r是。9、 曲面X（u,们二"+v,u-v,uv｝在（u,v）=（2,1）的切平面方程为，法线方程为。10、 欧拉公式为。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得a】】=1，gi2=°，g22-e2u1,Q]]=e2u1,Q12-0，Q22=1。（10分）三、求正螺面X=^1cosu2,u1sinu2,au2｝上测地线的方程。（10分）四、 设曲线r，r*的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线「的切线是r*的主法线，证明r是平面曲线。（8分）五、 证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8分）六、 计算题（24分）1、 求曲线x=°，212,313j的曲率k和挠率"2、 求曲面Z:I=p\du1)2+d(u2)2］的高斯曲率K。3、求曲线Y=Y(s)的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。七、 若两曲面zi，z2相交于定角，且交线r是％的曲率线，则r也是£2的曲率线。(10分)八、 设曲线r为曲面£上一条曲率线，P为r上一点，但不是抛物点。证明：r在P点的测地曲率的绝对值等于r的高斯映射象己在对应点测地曲率和r在P点的法曲率之积的绝对值，即|七|=R・kJ。(6分)浙江师范大学《微分几何》考试卷(2001——2002学年第二学期)考试类别使用学生数理学院数学专业2000本科考试时间120分钟表 出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理四、填空题(20分)1、向量函数X=X(t)是定向的充要条件是.2、 光滑曲线r:X=X(t)，t£R，若对任何的t有，则称r为正则曲线。3、 空间曲线中，孤长、和是参数变换下的不变量。4、 曲线论的基本定理是。5、 在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率t满足的条件特殊曲线曲率k和挠率t满足的条件一般螺线贝特朗曲线k=06、 若在P点有Qjj=Pgjj，则称P点为。7、 若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。8、 曲面为可展曲面的充要条件是曲面为、和。其高斯曲率K= 。9、 坐标网是斩近线网的充要条件是。10、 若曲面上的曲线r既是渐近线又是测地线，则r是。11、 曲面X（u,v）={/+v,u-v,uv}在（u,v）=（2,1）的切平面方程为，法线方程为。12、 若曲面上的曲线r在p点的测地曲率为1,r在p点的法曲率为2,则r在P点的曲率为。13、 欧拉公式是。二、 1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得g]]=1,gi2=0,g22=e2u1,Q]]=e2u1,。12=°，。22=1。（10分）三、 1、曲面上沿着一条非直线的曲线「，它的从切面与曲面的切平面重合，试问曲线r是曲面上的什么曲线。2、求正螺面X=C1cosu2,u1sinu2,au2}上这类曲线的方程。（12分）四、 设曲线「，r*的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线「的切线是r*的主法线，证明r是平面曲线。（8分）五、 证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8分）六、 计算题（25分）4、 求曲线X=},：12,313；的曲率k和挠率T。5、 求曲面£:I=p\du1）2+d（u2）2]的高斯曲率K。6、 求曲线/=Rs）的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。七、 若曲面£上有两族测地线交角为定角，则曲面£为可展曲面。（10分）八、 设曲线r为曲面£上一条曲率线，P为r上一点，但不是抛物点。证明：r在P点的测地曲率的绝对值等于r的高斯映射象百在对应点测地曲率和r在P点的法曲率之积的绝对值，即k=k-k。(7分)浙江师范大学《微分几何》考试卷(2001——2002学年第二学期)考试类别使用学生数理学院数学专业2000本科考试时间150分钟表 出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理五、填空题(24分)1、 向量函数X=X(t)为定向的充要条件是.2、 光滑曲线「：X=X(t),t^R,若对任何的t有，则称r为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率t满足的条件特殊曲线曲率k和挠率t满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、 若在P点有球=Pg^，则称P点为。5、 若二个曲面之间存在既是等积又是共形的