工程力学第9章 组合变形习题集

#9-2矩形截面钢杆如图所示，用应变片测得杆件上下表面的线应变分别为8二1x10-3,£二0.4X10-3，材料的弹性模量8二1x10-3,£二0.4X10-3，材料的弹性模量E二b试绘制横截面的正应力分布图；确定拉力P及偏心距6的大小。8a1)2)210GPa。要求：.PP6bm=Pm=P°*P+40.7412100384.05ZFN62.99解：(1)外力分析判变形：杆所受外力与轴线平行，杆件发生拉弯组合变形。内力分析判危险面：杆各横截面上具有相同的轴力和弯矩。应力分析确定拉力P及偏心距&的大小：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。应力分布如图所示，忽略弯曲剪应力。PP8PP8+0.005x0.0250.005x0.0252/6=P-P§=0.005x0.025—0.005x0.0252/6P=18.38kN5=1.785mmQ=E8=210X109xlxlO-3=—N+—=aaAW^<zFMQ=E£=210x109x0.4x10-3=—n——bbAWz147.0462.99210.0384.05忽略弯曲剪应力，将拉力P及偏心距&代入上式，计算得到:Q=147.04MPa,Q=62.99MPaFNMtg=147.04+62.99=210.03MPaQ=147.04-62.99=84.05MPaaa正应力分布如图所示。9-5构架如图所示，梁ACD由两根槽钢组成。已知a=3m,b=1m,F=30kN。梁德材料的许用应力[O]=170MPa。试选择槽钢的型号。

FNkN)69.28(d)FNkN)69.28(d)MkN•)30解：〈1〉外力分析：梁的计算简图如图（b）所示，外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC段发生拉弯组合变形。对A取矩BC杆所受压力为：Ym(F)=0TFasin30-(a+b)F=0TF=(3+»30x103n=80kNACBCB3X0.52〉内力分析：轴力图、弯矩图如图。C左截面轴力和弯矩同时达到最大，是危险面。F=69.28kN,|M|=30kN-mNmax（3）应力分析判危险点：由于发生的是发生拉弯组合变形，加之截面有有两个对称轴，危险面的上边缘具有最大拉应力，比下边缘的最大压应力的绝对值大，上边缘上各点正应力最大。4）强度计算选择槽钢的型号：+maxFM—+maxFM—N+max2A2Wz69.28x103+2A30X103<[a]=170MPa2Wz1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：30x103-<170MPaTW>88.24cm3。2Wzz查表可知，的A=21.95cm2,W=108.3cm3z2)对所选槽钢进行校核：

G+max69.28x10G+max69.28x10330x1032x21.95x10-42xlO8.3xlO-6二15.781+138.504二154.29<[g]=170MPa故，所选择l6号槽钢能满足强度要求。9-9如图所示，轴上安装两个圆轮，P、Q分别作用在两轮上，并沿竖直方向。轮轴处于平衡状态。若轴的直径d=110mm,许用应力2]=60MPa。试按第四强度理论确定许用荷载P。y5m2m5mACBP(a)题9-9图QP2PPM图Ty5m2m5mACBP(a)题9-9图QP2PPM图T(d(d)1.7P2.25P195P门i+1iS解：(1)外力分析，判变形。力P、Q向轴线平移，必附加引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外力使轴在铅锤面平面内上下弯曲。外力沿竖直方向与轴异面垂直，使轴发生弯扭组合变形。1)由于轴平衡，故::Ym(F)=0T—Px1+Qx0.5=0TQ=2Px2)将轴进行简化，计算简图如图所示，研究铅垂面内梁的求其约束反力工m(F)=0f—1.5Q—3.5P+5F=0fF=1.3PEAn<Bn<Bm(F)=0[+1.5P+3.5Q—5F=0[F=1.7P(2)内力分析，判危险面：扭矩图、弯矩图如图所示，C的右截面是危险面：M=2.25PM=Pz,maxT(3)应力分析：M使C横截面上下边缘点弯曲正应力最大，同时又有最大的扭转剪应力，故C的右截z面上下边缘点是强度理论的危险点。4）按第四强度理论求许可荷载a=r4a=r4】+0.75M2,maxTW+°.7吧5+°・75P260x106TP<2.91kN兀D3兀x0.1103232329-11传动轴如图所示，C轮受铅垂力P]作用，直径D]=200mm,P]=2kN；E轮受水平拉力P2作用，D2=100mm。轴材料的许用应力2]=80MPa。已知轮轴处于平衡状态。要求（1）画出轴的扭矩图和弯矩图。（2）试按第三强度理论设计轴的直径，单位为mm。800800解：（1）外力分析，判变形。与轴异面垂直的外力匚、P2向轴线平移，必附加引起扭转的力偶P•D=2x103x02=200N•m；力平移后使轴发生方位难确定的平面弯曲，总之122轴发生弯扭组合变形。⑵内力分析，判危险面：将轴进行简化，计算简图如图（b）、（d）、（f）所示，扭矩图、弯矩图如图（c）、（e）、（g）所示，B的左截面合成弯矩最大是危险面。M二200N•m，M二M=:M2+M2=丫'30@+80@（N•m）TmaxmaxB_z,B_y,B~（3）按第三强度理论设计轴的直径dar3max<Mmmax32£ar3max<Mmmax32£(300+50@)+20@兀xd332<[a]=80x106td>48.16mm补充1：简支折线梁受力如图所示，截面为25cmX25cm的正方形截面，试求此梁的最大正应力。P/2)M图(P/2)M图(kN.m)解：(1)外力分析，判变形。由对称性可知，A、C两处的约束反力为P/2，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折线梁将发生压弯组合变形。内力分析，判危险面：从下端无限靠近B处沿横截面将简支折线梁切开，取由右边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数，B横截面具有最大弯矩，故B横截面为压弯组合变形危险面。PM=—x2.4=4x2.4=9.6(kN-m)8=2.561(kN)8=2.561(kN)2<22+2.42口PF=—xcos申N2如右所示图(3)应力分析，判危险点如右所示图由于截面为矩形，而D1D2是压弯组合变形的压缩边缘，故危险面上D1D2边缘是出现最大压应力。FMQ_=N+z,maxmaxAWz2.561x1039.6x103二_26___0_*96__0_pa二0.040976+3.6864MPa二3.727MPa252x10-41,—x253x10-66

补充2：水塔盛满水时连同基础总重量为G,在离地面H处，受一水平风力合力为P作用,圆形基础直径为d,基础埋深为汕若基础土壤的许用应力[g]=300kN/m2试校核基础的承载力。G=6X103kNd=6mP=60kNG=6X103kNd=6m6x1061086x106108x103Pa=-x624—x6332|-212.21-50.93|kPa二263.14kPa<\a]=300kPa解：(1)外力分析，判变形。主动力、约束反力均在在纵向对称面内左右弯，基础及盛满水的水塔的重量使结构发生轴向压缩变形，而风荷载使其发生左拉右压弯曲。结构发生压弯组合变形。(2)内力分析，判危险面：基础底部轴力、弯矩均达到最大值，故该横截面为压弯组合变形的危险面。M=Px(15+3)=60x18=108(kN-m)y,maxF=G=6x103(kN)N应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为圆形，中性轴是左右对称的水平直径所在线上，最右边点压弯组合变形的压缩边缘将出现最大压应力。(4)强度计算。F-N--max补充3：求图示具有切槽杆的最大正应力。解：(1)外力分析，判变形。P与缺口轴线平行不重合，所以发生双向偏心拉伸。(2)内力分析，判危险面：从缺口处沿横截面将梁切开，取由右边部分为研究对象，将集中力作用点在端部平移到与缺口对应的形心位置，受力如图所示。可先将集中力向前水平平移2.5mm,则附加My；再将力向下平移5mm，则附加Mz。梁上各横截面上轴力、弯矩均为常数。M二PX2.5X103二2.5(N-m)yM二Px5X103二5(N-m)zF二P二1(kN)N(3)应力分析，判危险点，如右所示图整个横截面上均有N引起的均布的拉应力，My引起后拉前压的弯曲应力，Mz引起上拉下压的弯曲应力，点于d2点三者可以均引起拉应力，可代数相加。FMM10002.55b=—n+y+z—++PaAWW5x10X10-610x52“5x102“yzX10-9X10-966—20+60+60MPa—140MPa补充4：矩形截面悬臂梁受力如图所示。确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。zz解：(1)外力分析，判变形°5kN作用下构件在xy平面内上下弯曲；25kN作用下构件发生轴向压缩的同时，还将在xz平面内前后弯曲。结构将发生双向偏心压缩组合变形。(2)内力分析，判危险面：5kN作用下构件将使Mz在固定端面达到最大值弯矩M二5000x0.6二3000N-m；25kN作用下使构件各横截面具有相同的内力，z,maxF=25000N,M=25x103x25x10-3=625N-m。故该固定端横截面为偏心压缩的Ny危险面。(3)应力分析：M使固定端横截面上拉下压的弯曲正应力，N使每一点具有均匀分布的压应力，M使固zy定端横截面前拉后压的弯曲正应力。故，固定端截面第一象限的K任意点的应力bK确定固定端截面上中性轴的位置625y+*zK0.15625y+*zK0.15x0.103K12b=—n-z*y+y•z=——KAIKIK0.15x0.10.1x0.15312zy12=—1.667x106—106.667x106y+50x106zKKb=—1.667—106.667y+50z=0T—63.987y+29.994z=1KKKKKyz[yz[—11—15.63x10333.34x103_63.98729.994应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。FMM—n+z+yA3000FFMM—n+z+yA3000Fb=——N4AWWzyMMzWyWzyMM=—1.667+8—2.5MPa=3.83MPaFFb=N+2A25x1033000625—*y+Pa=—1.667+8+2.5MPa=8.83MPa0.15x0.10.1x0.152"k0.15x0.1026r-a=—1.667+8—2.5MPa=—12.17MPaWWzyMM—z+尸=—1.667—8+2.5MPa=—7.17MPaWWzy补充5：图示铁路圆信号板，装在外径为D=60mm的空心柱上。若信号板上所受的最大风载p=2000N/m2。若许用应力[Z]=60MPa。试按第二强度理论选择空心柱的壁厚。

解：(1)外力分析，判变形。—mt解：(1)外力分析，判变形。—mt风作用的合力P=pX兀R2=2000X兀X0.252=329.5(N)与立柱的轴线异面垂直,使立柱发生弯扭变形。合力P向立柱平移，必附加一个引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外力使立柱在xy平面内前后弯曲。内力分析,判危险面：立柱固定端达到最大值弯矩M=329.5x0.8=314N-m；各横截面具有相同的扭z,max矩。立柱的固定端是危险面。应力分析：M使固定端横截面前拉后压的弯曲正应力,T使固定端横截面产生扭转剪正应力。固z定端横截面最前a、最后a'两点是弯扭变形立柱的强度理论危险点。按第三强度理论选择空心柱的壁厚。zmax2zmaxr3zmax2zmaxr3兀D4(1—a4)3142十235.金5匚］=60x106Ta=0.912兀xO.O0(1—a4)323232内径d:d=aD=0.912x0.06=54.712(mm)壁厚壁厚t：60-54,7122=2.644(mm)补充6：直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分量如图所示。已知此轴的许用应力[Z]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。M=0.5kNmM=0.5kNm解：(1)内力分析：轴向拉伸使横截面有轴力N,而圆轴发生上下弯曲才会产生前后纵向对称面的而y圆轴发生扭转变形才会产生力偶作用面与横截面平行的扭矩故，此圆轴发生拉弯扭组合变形。(2)应力分析：My