山西省太原市名校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

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数学试题

考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高中数学全部内容

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（）

A．B．C．D．2

2．已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

3．若函数在单调递减，则a的取值范围（）

A．B．C．D．

4．若向量和向量平行，则（）．

A．B．C．D．

5．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（）

A．B．

C．D．

6．等差数列的公差为，前项为，若数列的最大项是第20项和第21项，则（）

A．18B．20C．22D．24

7．已知，且，则的值为（）

A．B．C．D．

8．若正数满足，则的最小值是（）

A．B．C．D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.

9．一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，则（）

A．平均数变大B．中位数没变C．方差变小D．极差没变

10．已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（）

A．B．

C．D．

11．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）

A．抛物线的准线方程为

B．若，则的面积为

C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为

D．若，则

12．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（）

A．当时，从点A绕圆锥侧面一周到点C的最小长度为

B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为

C．当时，圆锥SO的外接球表面积为

D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．已知函数的图象与直线相切，则.

14．的展开式中常数项为.（用数字作答）

15．已知函数的部分图象如图所示，其中，则．

16．已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知，，分别为内角，，的对边，且．

(1)求的值；

(2)若面积为，求边上的高的最大值．

18．（12分）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，连接，作于点于点.

(1)求证：是二面角的平面角；

(2)若，求二面角的正弦值.

19．（12分）已知一袋中装有30个球，每个球上分别标有1，2，3，…，30的一个号码，设号码为n的球重为（单位：克），这些球等可能的从袋中被取出.

(1)现从中不放回地任意取出2球，试求它们重量相等的概率；

(2)现从中任意取出1球，若它的重量小于号码数，则放回，搅拌均匀后重取一球；若它的重量不小于号码数，则停止取球.按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望.

20．（12分）设等差数列的前n项和为，已知．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值．

21．（12分）椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，．

(1)求椭圆的方程；

(2)记直线的斜率分别为，求的最小值．

22．（12分）已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若在上有两个极值点（）．

（i）求实数a的取值范围；

（ii）求证：．太原市名校2023-2024学年高三上学期第一次月考

数学试题评分细则

1-8AABCDCAB9.BC10.AC11.BD12.ACD

13．．14．84.15．2.16．

7．【详解】由可得，

由可得，

两式相加可得，所以，

因为，，所以，

所以，

故选：A

8.【详解】由可得时等号成立，

所以，

所以时，的最小值是，

故选：B

9．【详解】数据是公差为的等差数列，

对于A，原数据的平均数，

去掉首末两项后的平均数，即平均数不变，A不正确；

对于B，原数据的中位数为，去掉首末两项后的中位数为，即中位数不变，B正确；

对于C，原数据的方差，

去掉首末两项后的方差，即方差变小，C正确；

对于D，原数据的极差，去掉首末两项后的极差，即极差变小，D不正确.

故选：BC

10.

11.【详解】对于A中，抛物线可得其准线方程为，所以A错误；

对于B中，设，因为，可得，解得，可得，

所以，所以B正确；

对于C中，抛物线，可得其焦点坐标为，

当直线的斜率不存在时，可得，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，可得，

根据抛物线的定义，可得，解得，

所以直线的方程为，

不妨取，所以到直线的距离为，所以C错误；

对于D中，设直线的方程为（不妨设）

由，可得，则，

因为，此时直线的方程为，可得，

所以，

当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确.

故选：BD.

12．【详解】依题意，，

对于A，当时，，，圆锥的侧面展开图，如图，

侧面展开图扇形弧长即为圆锥的底面圆周长，则，在中，由余弦定理得：

，即，A正确；

对于B，当时，有，令圆锥SO的轴截面等腰三角形顶角为，，

为钝角，令P，Q是圆锥SO的底面圆周上任意的不同两点，则，

则有的面积，当且仅当时取“=”，B不正确；

对于C，当时，，圆锥SO的外接球球心在直线SO上，圆锥的底面圆是球的截面小圆，而圆锥的高，

设外接球半径为R，则有，即，解得，其表面积为，C正确；

对于D，棱长为的正四面体可以补形成正方体，如图，

则正方体棱长，其外接球即正四面体的外接球直径为，球半径，

当时，，圆锥SO的内切球球心在线段SO上，圆锥的轴截面截内切球得大圆，是圆锥轴截面等腰三角形内切圆，

设其半径为，由三角形面积得：，解得，，

因此，半径为的球在圆锥SO内可以任意转动，

而棱长为的正四面体的外接球的半径为，

故棱长为的正四面体在半径为的球内可以任意转动，

所以当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，D正确.

故选：ACD

15．【详解】由图可知，

因为，所以函数的图象关于对称且在处函数取得最大值，

所以，所以，，

解得，，

又，即，即且，所以，

所以或，

当时，此时，不符合题意，

当时，此时，符合题意，

所以.

故答案为：

16．【详解】设半焦距为，

由题意知，

，

所以，

所以，

双曲线.

记的内切圆与边，，分别相切于点，

则横坐标相等，

则，，，

由，

即，

得，

即，

记的横坐标为，

则，

于是，得，

同理内心的横坐标也为，则轴.

设直线的倾斜角为，

则，

在中，

，

由于直线与的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，

可得，

即，

可得的范围是.

17．【详解】（1）∵，∴，………….2分

，，

∴，………….4分

∵，

∴………….5分

（2）由面积为得：，而，

∴………….6分

∵边上的高为，

∴，则，………….7分

∵，

∴，当且仅当时，取“=”，………….9分

即的最小值为2．此时最大为．………….10分

18．【详解】（1）因为垂直于圆所在的平面，即平面，平面，所以，

又因为为圆的直径，所以,

，平面，所以平面，

平面，所以，………….2分

又因为，，平面，所以平面，

平面，所以，………….4分

又因为，平面，所以平面，

平面，所以，………….6分

所以是二面角的平面角.

（2）设，因为，

所以，………….7分

过点作的平行线为轴，并以为轴建系如图，

则，

设平面的法向量为，

所以令则，

所以，………….9分

设平面的法向量为，

所以令则，

所以，………….10分

设二面角的大小为，

则，………….11分

所以.………….12分

19．【详解】（1）令，其对称轴为且，

所以不放回地任意取出2球重量相等的号码有、、、、，

故不放回地任意取出2球重量相等概率为.………….4分

（2）由（1），，即或且，

所以，取到共23个中的一个，即可停止取球，

故每次取到球后停止的概率为，而，………….7分

，，，………….10分

分布列如下：

123

所以.………….12分

20．【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，则．

因为，则，得．

所以数列的通项公式是．………….4分

（2）因为，则………….6分

所以

．………….8分

当时，因为，则．

当时，因为，则．………….10分

因为，则，即，

即，即．因为，所以………….12分

21．【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，

所以，…………1分

将代入，得，

故，………….2分

解得，，

∴椭圆方程为．………….5分

（2）因为直线过点，且点位于x轴上方，

所以直线斜率不为0，设直线的方程为，…………6分

联立

消去x得，．

方程的判别式，

设，，由已知，

于是，…………7分

所以，，………….8分

又椭圆的左顶点的坐标为，右顶点的坐标为，

所以，

因为，，，

所以，，

因为，………….9分

所以，即，………….10分

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以当时，取最小值，最小值为．………….12分

22．【详解】（1），………….1分

令，所以，

所以，当，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，………….2分

所以当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．………….4分

（2）（i）因为，要使在上有两个极值点，，

则在上有两个变号的零点，………….5分

①时，则，由（1）知，，所以，所以在上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.………….6分

②当时，因为，