甘肃省张掖市高台一中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高二（下)期中数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．已知（x+i）（1﹣i)=y，则实数x,y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1,y=2 C．x=1，y=1 D．x=1,y=22．在复平面内，复数z=cos3+isin3（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角4．函数f(x）=(2πx）2的导数是(）A．f′（x）=4πx B．f′(x）=4π2x C．f′(x）=8π2x D．f′（x）=16πx5．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理(）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的6．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名,从中任选1人参加某项活动,则不同选法种数为（）A．60 B．12 C．5 D．57．若函数f（x）的导函数f′（x)的图象如图所示．则（)A．x=1是最小值点 B．x=0是极小值点C．x=2是极小值点 D．函数f（x)在（1,2）上单调递增8．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（)A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．C． D．（a2﹣1)（b2﹣1）≥09．若f（x）=﹣x2+mlnx在(1，+∞)是减函数,则m的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．(﹣∞，1］ D．（﹣∞，1)10．过点（﹣1，0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=011．利用数学归纳法证明“(n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）,n∈N＊”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A．2k+1 B． C． D．12．设函数f′（x）=x2+3x﹣4，则y=f（x+1）的单调减区间为(）A．(﹣4，1） B．（﹣5，0） C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本,英语书11本,从中取出一本，则不同的取法种．（以数字作答）15．函数f(x)=sinx﹣cosx+x+1在上的最大值为．16．已知函数f（x）=1﹣2sin2x在点处的切线为l,则直线l、曲线f（x)以及直线所围成的区域的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．复数，z2=1﹣2a+（2a﹣5）i,其中a∈R．（1)若a=﹣2,求z1的模；（2）若是实数，求实数a的值．18．已知a为实数，且函数f（x)=（x2﹣4）(x﹣a），f'（﹣1)=0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f(x）在［﹣2,2]上的最大值、最小值．19．求证：tan2x+=．20．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？21．数列{an}满足Sn=2n﹣an(n∈N＊）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3,a4,并由此猜想通项公式an；(Ⅱ）用数学归纳法证明(Ⅰ）中的猜想．22．设函数f(x）是定义在[﹣1，0）∪（0，1]上的偶函数,当x∈[﹣1，0）时，f(x）=x3﹣ax（a∈R）．（1）当x∈(0，1]时,求f（x)的解析式;（2）若a＞3，试判断f（x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论;（3）是否存在a，使得当x∈（0,1]时，f（x）有最大值1？

2016-2017学年甘肃省张掖市高台一中高二(下)期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知(x+i）（1﹣i）=y，则实数x,y分别为（)A．x=﹣1,y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1,y=2【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi(a,b∈R）的形式，利用复数相等求出x、y即可．【解答】解:考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得(x﹣i2）+（1﹣x）i=y，没有虚部，即，解得：x=1，y=2．故选D．2．在复平面内,复数z=cos3+isin3(i是虚数单位）对应的点位于（)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】注意到3rad的范围，再作进一步判断．【解答】解：∵∴sin3＞0，cos3＜0∴对应的点在第二象限．故选B．3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（)A．假设至少有一个钝角B．假设没有一个钝角C．假设至少有两个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．【解答】解:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角"的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角"时，应假设至少有两个钝角,故选C．4．函数f(x）=(2πx）2的导数是()A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx【考点】63:导数的运算．【分析】利用复合函数的求导法则：外函数的导数乘以内函数的导数，求出f′（x）．【解答】解：f′（x)=2(2πx）（2πx)′=8π2x故选C5．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确,根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的,0的平方就不大于0．故选A．6．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名,高三年级的学生4名,从中任选1人参加某项活动,则不同选法种数为（)A．60 B．12 C．5 D．5【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】利用分类计数原理展开求解即可．【解答】解：∵三个年级共有3+5+4=12名学生，∴由计数原理可得，从中任选1人参加某项活动共有12种选法．故选B．7．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．则（）A．x=1是最小值点 B．x=0是极小值点C．x=2是极小值点 D．函数f（x)在(1，2)上单调递增【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】通过图象得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点．【解答】解：由图象得:f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2)递减，在(2，+∞）递增，∴x=2是极小值点，故选：C．8．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0,只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．C． D．(a2﹣1)（b2﹣1）≥0【考点】R8：综合法与分析法(选修)．【分析】将左边因式分解，即可得出结论．【解答】解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1)（1﹣b2)≤0，只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．故选：D．9．若f（x）=﹣x2+mlnx在(1，+∞)是减函数,则m的取值范围是（）A．[1，+∞) B．（1,+∞） C．（﹣∞，1］ D．（﹣∞，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数,通过讨论m的范围讨论函数的单调性,从而确定m的范围即可．【解答】解：f(x）=﹣x2+mlnx，f′（x）=﹣x+=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0,+∞）递减,符合题意，m＞0时，只需﹣x2+m≤0在x∈（1,+∞)恒成立即可，即m≤x2≤1，综上:m≤1，故选：C．10．过点(﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（)A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0【考点】62：导数的几何意义．【分析】这类题首先判断某点是否在曲线上，(1）若在，直接利用导数的几何意义,求函数在此点处的斜率,利用点斜式求出直线方程(2)若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．【解答】解：y’=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=(2x0+1）（x﹣x0），因为点（﹣1，0）在切线上，可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1;x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．故选D11．利用数学归纳法证明“（n+1）(n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1),n∈N*"时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）A．2k+1 B． C． D．【考点】RG：数学归纳法．【分析】根据已知等式，分别考虑n=k、n=k+1时的左边因式，比较增加与减少的项，从而得解．【解答】解：由题意，n=k时,左边为（k+1）(k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3)…（k+1+k+1）；从而增加两项为(2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1),故选C．12．设函数f′（x)=x2+3x﹣4，则y=f（x+1)的单调减区间为（）A．（﹣4，1） B．（﹣5，0） C． D．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】已知函数f′（x），可以求出f′（x+1）,要求y=f(x+1）的单调减区间，令f′（x+1)＜0即可，求不等式的解集；【解答】解:∵函数f′(x）=x2+3x﹣4，f′（x+1）=（x+1）2+3（x+1)﹣4=x2+5x,令y=f（x+1）的导数为：f′(x+1），∵f′（x+1）=x2+5x＜0,解得﹣5＜x＜0∴y=f(x+1）的单调减区间：（﹣5，0）；故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解:z==i+1的虚部为1．故答案为:1．14．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法37种．(以数字作答)【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分3种情况讨论：选择拿语文书：有12种不同的拿法，数学书有14种不同的拿法，英语书有11种不同的拿法，然后把这三种情况的数量加在一起即可【解答】解：由题意可知选择拿语文书：有12种不同的拿法,数学书有14种不同的拿法,英语书有11种不同的拿法，则从中取出一本，则不同的取法共有12+14+11=37种;故答案为：37．15．函数f（x)=sinx﹣cosx+x+1在上的最大值为π+2．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】将函数f（x）化简，求导函数，利用导函数的性质判断函数f(x）的单调性，可得在上的最大值．【解答】解：函数f(x）=sinx﹣cosx+x+1=sin（x﹣）+x+1．则f′（x)=cos（x﹣）+1，∵x∈，∴x﹣∈［,],令f′（x）=0．则:x=π或．当x∈（，π）时，f′（x）＞0,则f（x）在x∈（，π）上单调递增，当x∈(π，）时，f′（x）＜0，则f（x）在x∈(π，)上单调递减．∴当x=π，函数f（x）取得最大值为：π+2．故答案为:π+2．16．已知函数f（x）=1﹣2sin2x在点处的切线为l，则直线l、曲线f(x）以及直线所围成的区域的面积为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用二倍角公式化简函数f(x）的解析式,利用导数求出切线的斜率，然后求出切点的坐标，得出切线的方程,最后根据定积分即可求出直线l、曲线f（x）以及直线x=所围成的区域的面积．【解答】解：由f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，得f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2sin=﹣2，又f（）=cos=0，∴直线l的方程为y﹣0=﹣2（x﹣），即y=﹣2x+．如图：∴直线l、曲线f（x）以及直线x=所围成的区域的面积为：=（）=．故答案为:．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．复数,z2=1﹣2a+(2a﹣5）i，其中a∈R．（1）若a=﹣2，求z1的模;（2）若是实数，求实数a的值．【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】（1)把a=﹣2代入z1进行化简，然后由复数求模公式计算得答案；(2）由z1求出，然后代入进行化简,再结合已知条件即可求出实数a的值．【解答】解：（1）a=﹣2,则=3+6i，则，∴z1的模为；（2）=（6﹣a）+[(a2﹣10）+（2a﹣5）］i=(6﹣a）+(a2+2a﹣15）i，∵是实数,∴a2+2a﹣15=0,解得a=﹣5或a=3．故a=﹣5或a=3．18．已知a为实数，且函数f（x）=(x2﹣4）（x﹣a），f'（﹣1）=0．（1)求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在［﹣2,2]上的最大值、最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值;6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1)f'（x）=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．由f'（﹣1）=0，解得，即R．通过判定导数的符号确定单调区间．（2)求出极值、端点值，比较大小，即可求出最值．【解答】解：（1)函数f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）（a∈R），∴f’（x)=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．∵f’（﹣1)=0,∴3+2a﹣4=0，解得，∴．则R．f’（x）=3x2﹣x﹣4=（3x﹣4）(x+1），令f’（x）=0，解得．由f’（x）＞0得或x＜﹣1,此时函数单调递增，由f’(x）＜0得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）当﹣2≤x≤2时，函数f（x）与f’（x）的变化如下表：x［﹣2，﹣1）﹣1f'（x)+0﹣0f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，，当时,函数f（x)取得极小值，，又f（﹣2）=0，f（2）=0，可知函数f（x）的最大值为，最小值为．19．求证：tan2x+=．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】左边切化弦，通分，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式将次升角,推出右边即可．【解答】证明:左边=+=======右边．∴tan2x+=．20．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图）,问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少?【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先分析题目求长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=(90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时,V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V(0)=0，V(24)=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．21．数列{an｝满足Sn=2n﹣an(n∈N＊）．（Ⅰ)计算a1，a2,a3,a4，并由此猜想通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【考点】RG:数学归纳法；8H:数列递推式；F1:归纳推理．【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3,a4，并由此猜想通项公式；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．【解答】（本小题满分8分)解：(Ⅰ)当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=