2023新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式对点练新人教A版选择性必修第二册

4．2等差数列4．2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及通项公式知识点一等差数列的定义1.下列数列不是等差数列的是()A．6,6,6，…，6，…B．－2，－1,0，…，n－3，…C．5,8,11，…，3n＋2，…D．0,1,3，…，eq\f(n2－n,2)，…答案D解析利用等差数列的定义去判断．故选D.2．下列数列是等差数列的是()A.eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，eq\f(1,9) B．1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0答案D解析∵eq\f(1,5)－eq\f(1,3)≠eq\f(1,7)－eq\f(1,5)，故排除A；∵eq\r(3)－1≠eq\r(5)－eq\r(3)，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C.故选D.3．(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是()A．公差为－1的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为4的等差数列D．公差为n的等差数列答案AC解析∵an＝－n＋5，∴a1＝－1＋5＝4，an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是首项为4，公差为d＝－1的等差数列．4．若数列{an}是公差为1的等差数列，则数列{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列答案C解析数列{an}是公差为1的等差数列，所以a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2＋2×2＝6，所以{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．故选C.知识点二等差数列的通项公式5.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()A．－9 B．－8C．－7 D．－4答案B解析∵a6＝a4＋6，∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8.故选B.6．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．2答案B解析根据题意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－eq\f(1,2).7．设等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝()A．48 B．49C．50 D．51答案C解析a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq\f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq\f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50.8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．答案3解析设等差数列的首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.9．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝2n－1解析由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．∴数列{an}是等差数列．又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.10．已知{an}是等差数列且an>0，求证：eq\f(1,\r(a1)＋\r(a2))＋eq\f(1,\r(a2)＋\r(a3))＋…＋eq\f(1,\r(an)＋\r(an＋1))＝eq\f(n,\r(a1)＋\r(an＋1)).证明设等差数列{an}的公差为d.①当d＝0时，a1＝a2＝…＝an＝an＋1，左边＝eq\f(n,2\r(a1))＝右边；②当d≠0时，左边＝eq\f(\r(a2)－\r(a1),a2－a1)＋eq\f(\r(a3)－\r(a2),a3－a2)＋…＋eq\f(\r(an＋1)－\r(an),an＋1－an)＝eq\f(\r(a2)－\r(a1),d)＋eq\f(\r(a3)－\r(a2),d)＋…＋eq\f(\r(an＋1)－\r(an),d)＝eq\f(\r(an＋1)－\r(a1),d)＝eq\f(an＋1－a1,d\r(an＋1)＋\r(a1))＝eq\f(nd,d\r(an＋1)＋\r(a1))＝eq\f(n,\r(a1)＋\r(an＋1))＝右边．综合①②知结论成立.知识点三等差中项及应用11.已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为()A.eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(1,\r(3)) D．eq\f(1,\r(2))答案A解析设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(3)＋eq\r(2))＝2eq\r(3)，∴x＝eq\r(3)，故选A.12．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是()A．a＝－b B．a＝3bC．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0答案C解析由等差中项的定义知，x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.知识点四等差数列与函数的关系13.已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．解(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5.由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.(2)图象是直线y＝2x－1上一些离散的点，如图所示．(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．一、选择题1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为()A．2 B．3C．－2 D．－3答案C解析因为数列{an}为等差数列，所以公差为an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2.故选C.2．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为()A．p＋q B．0C．－(p＋q) D．eq\f(p＋q,2)答案B解析依题意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，aq＝a1＋(q－1)d＝p，∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·a4＝12，,a2＋a4＝8，,d＜0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10.4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝eq\f(an,an＋1).若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是()A．(－8，－6) B．(－7，－6)C．(－6，－5) D．(6,7)答案B解析∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1.∴bn＝eq\f(an,an＋1)＝1－eq\f(1,n＋a).又对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知eq\f(1,6＋a)≤eq\f(1,n＋a)，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6.故选B.5．(多选)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d可能是()A．2 B．3C．4 D．5答案ACD解析由题设可知an＝1＋(n－1)d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝eq\f(80,d)＋1，因为d，n∈N*，所以d是80的因数，结合选项，选ACD.二、填空题6．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差为d1和d2，则eq\f(d1,d2)的值为________．答案eq\f(4,3)解析∵n－m＝3d1，d1＝eq\f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f(1,4)(n－m)．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq\f(4,3).7．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长为________．答案12eq\r(2)解析由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,\f(1,2)ab＝12，,a2＋b2＝c2，))解得b＝4eq\r(2)，a＝3eq\r(2)，c＝5eq\r(2)，∴a＋b＋c＝12eq\r(2).8．已知等差数列{an}图象上的点都在直线y＝3x＋5上，且a5＝20，则{an}的通项公式为________．答案an＝3n＋5解析由已知，得等差数列{an}的公差为3，又a5＝a1＋4×3＝20，得a1＝8，所以an＝8＋3(n－1)，即an＝3n＋5.三、解答题9．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，并求x95的值．解因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).10．是否存在数列{an}(an≠0)同时满足下列条件：①{an}是等差数列且公差不为0；②数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等差数列．解设符合条件