对阿基米德三角形性质的进一步思考 论文

对阿基米德三角形性质的进一步思考抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形通常被称为阿基米德三角形.在近年来的全国各地高考试题中，阿基米德三角形频频作为圆锥曲线压轴题出现.函数导数与解析几何内容在这里交叉与融合，函数与方程思想也得到充分体现，考察了学生对知识和方法的灵活运用和思维的逻辑性和抽象性.下面对阿基米德三角形的有关性质作出一些探索和总结。(x+xo).22y2弦AB为阿基米德三角形PAB的底边，点P为阿基米德三角形的证明(1)由引理x1x=p(y+yi),直线PB方程为×2由性质1由性质1三方程为,令x=0得,所以(1)点P的坐标,即(pk,-b).1。由韦达定理得×1+×2=2pk,Xpb(1)点P的坐标证法2(同构法)由引理(1)直线PA方程为x1x=p(y+yi),直线PB方,所以直线AB方程为×ox=p(y+yo)(5)由(5)由x²=2py得,所以,所以k-k=0303X,所以切点A(x1,y1),B(x2,y2)的xoxyo三三证法2水平宽×铅垂高)三 =(2如)²-4:2p^yo=4x²-8py0。匠以Xpp,由性质1(1)点P的坐标评析1.性质1中(1)是(2)(3)(4)的基础，性质(2)(3)揭示了阿基米德三角形的底边AB与点P是一一对应的关系，即点P是随弦AB的确定而唯一确定，弦AB也是随点P的确定而唯一确定，所以阿基米德三角形是随弦AB或者点P的确定而唯一确定，那么阿基米德三角形PAB的面积可用点P的坐标或点A、B的坐标表示出来即性质1(4),如果再结合性质1(2)阿基米德三角形PAB的面积也可用直线AB的斜率k与纵截距b来表示.kAp·kBp也可用点P的坐标表示即性质1(5).P.如P.如(-t,pm).p(x+x0).例1(2021年全国乙卷理科第21题)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的最大值.所以x²0与yo表示),又xo与yo满足xo²+(所以x²0值特别地，当阿基米德三角形的顶点P的轨迹为抛物线的准线时，(2)阿基米德三角形的底边(弦AB)过抛物线的焦点；且当点P坐标为(0时，△PAB面积有最小值所以所以值(3)由性质1(5)得(4)直线AB的斜率由性质1(1)得点P坐标例2(2013广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)到3的距离,设P为直线I上的点，过点P3的距离(2)当点P(xo,Yo)为直线I上的定点时，求直线AB;(3)当点P在直线I上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.分析(2)由性质1(3),直线AB方程为×ox-2y-2yo=0(3)思路1由性质2,当点P在直线I上移动时，直线AB过定点，故可将直线AB方程与抛物线方程联立、消元，用韦达AFBF思路2由性质1(6),求|AF|·|BF|的最小值即求|PFI²的最小值，当点P在直线I:x-y-2=0上移动时，则当PF与直线I垂直时，|PF|最小.(2)直线AB方程为×ox-2y-2yo=0.,得,得++1=x0-2yo+yo+1,因为点P在直线1上，所以xo=yo+2,所以|AF|-|BF|=o+2yo+59方法2方法2当点P在直线I:x-y-2=0上移动时，则当PF与直线I垂直时，33例3(2014辽宁理)已知A(-2,3)在抛物线C:y²=2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为物线上的一点，且A到抛物线焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程；(2)点Q为直线上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分(2)直线是抛物线的准线，由性质2推论(2)可得直线DE过抛物线的焦点且当点Q坐标为时△QDE面积的最小为p²=1.点M为中点的弦是平行的.(2)特别地，若阿基米德三角形的底边(弦AB)过抛物线的焦点时，则另一顶点P的轨迹为准线性质4若点P在抛物线的准线上，AB是PAPBPA,PB与抛物线相切.证明设点P坐标,直线PA方程为,联立直线020,化简得p²k²-p²-2pkxo≤0(②),令△≥0得p²k²-p²-2pkxo≥0(①),设由①②可得p²k²-p²-2pkxo=0,所以△=0,直线PA与PB都与抛物线相切.例5(2018全国Ⅲ卷理)已知点M(-1,1)和抛物线C:y²=4x,过抛物线 分析由