2023-2024学年高二数学2019选择性试题4.1数列

4.1数列一、单选题1．已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据数列为递减数列，结合与的关系即可求解.【详解】因为，所以数列为递减数列，当时，，故可知当时，单调递减，故为递减数列，只需满足，因为,所以,解得，.故选:.2．已知数列的前项和,那么它的通项公式（

）A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1【答案】B【分析】根据即可求．【详解】，,当时，，.故选：B.3．已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.【详解】由得，所以数列的周期为3，所以．故选：B4．在数列中，，（，），则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值【详解】，，，可得数列是以3为周期的周期数列，，故选：A5．已知数列满足，则（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据题意变形为，再转化为与，与的关系，推导出数列是周期为3的周期数列，即可计算出结果.【详解】由题意得，所以，所以，所以数列是周期为3的周期数列，所以，所以．故选：C6．已知数列满足，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的性质判断，即可猜想数列的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.【详解】因为，所以，，因为指数函数单调递减，所以，所以，所以，所以，所以，所以，由此可猜想数列的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，因为，当时，，所以，所以（），因为，所以，所以，进而可得，以此类推可得且，因为当时，，，所以，所以，所以（），由，得，即，由，得，以此类推单调递减，所以，所以，故选：A.7．已知数列满足，则（

）A． B．1 C．4043 D．4044【答案】A【分析】由递推式得到，从而得到，由此再结合即可求得的值.【详解】由得，两式相加得，即，故，所以.故选：A．8．已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】已知和求通项公式：进行计算.【详解】当时，当时，故选：C二、多选题9．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据通项公式即可作出判断.【详解】对于A，6是偶数，则，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，，，D错误.故选：BC.10．下列数列是单调递增数列的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用验证各选项即可.【详解】因为选项A：，所以，不是单调递增数列；选项B：，所以是单调递增数列；选项C：，所以，不是单调递增数列；选项D：，所以是单调递增数列；故选：BD11．意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，记的前项和为，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据数列可得出数列是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断.【详解】数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，被3除后的余数构成一个新数列，数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列是以8为周期的周期数列，故，A正确；且，故，B正确；，C正确；则的前2022项和为，D错误.故选：ABC12．已知是的前项和，，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．是以为周期的周期数列【答案】AC【分析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.【详解】因为，，则，，，以此类推可知，对任意的，，D选项正确；，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误.故选：AC.三、填空题13．如下表定义函数：x1234554312对于数列，，，，3，4，…，则的值是______.【答案】5【分析】先根据求出前几项，得出周期，利用周期性求解.【详解】根据题意，，，，所以周期为4，而，所以.故答案为：514．数列满足，，则______．【答案】【分析】利用累乘法求得正确答案.【详解】，也符合上式，所以.故答案为：15．已知数列前项和满足，则________.【答案】【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.【详解】因为，所以，当时，，当时，，因为，故，故答案为：16．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则_____．【答案】2【分析】根据求解即可．【详解】解：∵Sn＝2n，∴，，∴，故答案为：2．四、解答题17．已知是数列的前n项和，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求，利用和可求通项公式；（2）先求，根据的取值逐个求解，然后求和可得答案.（1）∵；∵，∴两式相减可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以数列的前10项和为．18．已知数列满足，求的通项公式．【答案】.【分析】利用项与前项和的关系即得.【详解】对任意的，，当时，则，当时，由，可得，上述两个等式作差可得，，满足，因此，对任意的，.19．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．(1)当自变量依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列；(2)数列的通项公式为．【答案】(1)3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，图见解析(2)2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，图见解析【分析】（1）将自变量依次取值代入函数解析式可得各项的值，然后描点作图即可；（2）分n是奇数还是偶数代入相应通项公式计算可得各项的值，然后描点作图即可.（1）依次将的值代入函数，可得数列的前10项依次为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，图象如下：（2）∵，∴数列的前10项依次为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，图象如下：20．已知数列的前n项和为．求数列的通项公式.【答案】【分析】根据求出时的通项，由此求数列的通项公式.【详解】由得：，相减得，当时，也满足上式，∴．所以数列的通项公式为.21．写出下列数列的一个通项公式．(1)，，，，…；(2)，，，，…；【答案】(1)（答案不唯一）(2)（答案不唯一）.【分析】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.【详解】（1）解：由，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为，且分母为序号与其后一个数之积，故该数列的通项公式可以为（答案不唯一）.（2）解：由，，，，…，可得该数列的一个通项公式为（答案不唯一）.22．函数的定义域为，若，满足，则称为.（1）试判断不动点的个数，并给予证明；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）3个，证明见解析；（2）.【分析】（1）分、、三种情况，利用构造函数，利用函数的单调性可得答案；（2）解法1：转化为成立，解不等式组，再由可得答案；解法2：转化为成立，等价于，使成立，构造函数，并利用函数的单调性，由可得答案.【详解】（1），若，则，所以，由得，即，因为在是单调递增函数，所以函数在是单调递增的，，所以在内存在唯一零点；若，则，所以，由得解得；若，则，所以，由得；因为在是单调递增的，，所以在内有唯一零点；综上所述，有3个不动点.（2）由（1）可知，当，若“”是真命题，就是，使