河南省信阳市2023-2024学年高三第一次教学质量检测数学试题

2023-2024学年普通高中高三第一次教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则等于（）A． B． C． D．2．已知和均为等差数列，，，，则数列的前50项的和为（）A．5000 B．5050 C．5100 D．51503．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．4．已知函数在上满足不等式，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．5．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理．已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%6．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A．－4 B．4 C．5 D．87．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．8．已知a，b，，e是自然对数的底数，若，，，则有（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数的大致图象不可能为（）A． B． C． D．10．四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（）A． B．－2 C．－16 D．－3211．已知，，且，则不正确的是（）A． B． C． D．12．函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（）A．函数的图象关于直线对称B．若的导函数为，定义域为，则C．函数的图象存在对称中心D．设数列为等差数列，若，则第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______．14．已知，，则______．15．若函数与的图象在一个公共点处的切线相同，则实数______．16．已知定义在上的连续函数满足：①在上是单调函数②③对恒成立④对恒成立若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在等比数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）记为的前n项和．若，求m．18．（本题满分12分）已知函数，且满足．（1）求函数的定义域及a的值；（2）若关于x的方程有两个不同的实数解，求t的取值范围．19．（本题满分12分）已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，，求的最小值．20．（本题满分12分）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足4万件时，；在年产量不小于4万件时，，每件产品售价6元．假定小王生产的这种商品当年能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式．（年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）这种商品年产量为多少万件时，小王在生产中所获利润最大？最大利润是多少？21．（本题满分12分）在数列中，，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数，其中a为非零实数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，且，证明：．2023-2024学年普通高中高三第一次教学质量检测数学参考答案一、选择题1．B2．B3．A4．C5．C6．C7．A8．A二、选择题9．BCD10．ABD11．ACD12．BCD三、填空题13．14．15．－1或016．9四、解答题17．解：（1）设的公比为q，由题设得．由已知得，解得（舍去）或或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．18．解：（1）由解得．所以函数的定义域为．因为，所以．所以．又，故化简得所求．（2）由（1）可知，其中，所以由题设得关于x的方程在内有两个不同的实数解．（*）设函数，因为该函数图像的对称轴方程为，所以结合（*）知只需解得．故所求实数t的取值范围是．19．解：（1）若，则．所以，即，即．所以．所以或，解得或，即不等式的解集为．（2）若，即，解得．所以．令，，所以．当，即时，在上单调递增，所以，即．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即．综上，20．解：（1）由题意，当时，；当时，，所以年利润关于x的函数关系式为（2）由（1）知当时，，可得，令，解得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．所以．当时，，当且仅当，即时取等号．所以当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为5万元．21．解：（1）∵，两边同时除以，∴．∴数列是首项为，公差为2的等差数列，则，∴．（2）由，可得，则．，即，即恒成立．．∴．故实数的取值范围为．22．解：（1）函数的定义域为．则．①当，即时，，函数在上单调递增；②当即时，令，得，，则当或时，；当时，，故在，上单调递增，在上单调递减．③当时，（舍去），．则当时，；