时间序列分析：方法与应用（第二版）ARMA模型

ARMA模型一、

概述（一）模型引进多元线性回归

自回归移动平均模型简单平均：序列平稳

围绕均值波动y

y

...

y1

2TFT

1Y=

=T

y

y

...

y

yFT

2

Y

1

2T

T

1=

=T1移动平均：近期数据对预测的影响更重要加进新数据，则删除远离现在的数据y

y

...

y1

2TF

YT

=1=Ty

...

y

y2T

T

1FYT

2==TT的作用：平滑数据T的取值：自然数数值大小对结果的影响2y1以均值替代

有1y

FT

1

T

1F

FT

T

=

1+

（2）T1eT

1FT

1=+T特点：利用误差修正，调整前期预测值跟踪数据变化时间序列可以用过去的误差项表出eyeb

e

ttt

1

t

k=b

++……+

bk+103（二）

方法性工具1.

自相关函数1）

自相关含义时间序列诸项之间的简单相关2）

自相关系数n

k

(Y

Y

)

(Y

Y

)Tt

k计算公式rk

1Tn

(Yt

Y

)2t

1式中：n为样本数据个数；k为滞后期；Y为样本数据平均值。4r自相关系数

与简单相关系数一样，取值范k围为[-1,+1]。其绝对值越接近于1，表明自相关程度越高。

nn最大滞后阶数k取

、

、

n

，n为观测数据的个数。

10

4

例2.13）

自相关系数的抽样分布完全随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，

为标准差的正态分布。5对于给定的概率F（t）可以构成一个置信区间时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则可断定其为完全随机的序列。不同的样本容量，可以构成不同的随机区间。rk将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，被称作自相关分析图。它可以分析时序的特性以及识别时序中存在的模型。2.

偏自相关含义：时间序列

t

，在给定了

，yyt

1yy

yt

2y

t

t

k，……，t

k

1

条件下，

与之间的条件相关。

偏自相关系数：

k8计算公式

rk

1k

1

k

1

r

r

k

1,

j

k

j

k

j

12,3...kk

k

1

1rk

1,

j

j

j

1其中，

j

k

1,2,...,

1kjk

1

jkkk

1,k

j取值

同自相关系数，在正负1之间例2.29二、时序特性的分析1.随机性的测定若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。10纯随机序列的自相关图非纯随机序列的自相关图11二、时序特性的分析1.随机性的测定若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。122.时序的平稳性（1）

平稳的含义和判定描述性定义：如果一个时间序列的统计特征不随时间推移而变化，即满足下面两个条件：对于任意的时间t，其均值恒为一常数；对于任意的时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关,则被称为平稳时间序列。rk自相关的特点：

自相关系数

在K等于2或3后迅速趋于零。13SY16012080400-40-807273

7475

76

777879

8081

82平稳时间序列曲线图14平稳时序自相关分析图15Y3,5003,0002,5002,0001,5001,000500080828486889092949698非平稳时间序列曲线图非平稳时序自相关分析曲线图非平稳时序自相关分析曲线图（2）时序趋势的消除非平稳性能够被消除的时间序列称为齐次非平稳时间序列。一阶差分（逐期、短差）▽Yt=Yt-Yt-1

(t＞1)二阶差分▽(▽Yt)=

▽2Yt=▽(Yt-Yt-1)=▽Yt-▽Yt-1=Yt-2Yt-1-Yt-2

(t＞2)19d阶差分Z

Y

(t>d)

dttB

Yt

Y2引进后移算子B，记，B

Y

表示Y

，t

t

12t以此类推，进行d阶差分可表示为（1

-

B）Y

，dt即有

dZ

（1

-

B）Y

(t>d)tt203.

时序的季节性识别1）含义：季节性是指时间序列在某一固定时间间隔上，重复出现前面的某种特性。这种规律通常由于季节变化所引起，称具有这种特性的时间序列为季节性序列。时间序列的季节周期常用的时间单位是月、季。2）识别：自相关系数与0的显著性差异查看时滞k=12，24，36，···时的自相关系数；k=4，8，12，···时的自相关系数。当序列有较强趋势时，其自相关系数常表现出趋势性季节性会被掩盖，趋势去除后方可通过自相关系数识别。Y4003503002502001501005007273747576777879808182汗衫背心零售量时序图22汗衫背心零售量自相关分析图23Y9,0008,0007,0006,0005,0004,0003,0002,0001,000080828486889092949698商品零售额曲线图24汗衫背心零售量自相关分析图25季节性消除：时序的季节性也可以通过差分的方法加以消除。注意差分步长一阶季节差分（月度）

Y

Y

Y(t

12)12

ttt

12二阶季节差分

2Y

Y

Y()12

ttt

12

(Y

Y

)

(Y

Y

)tt

12t

12t

24

Y

2Y

Y(t

24)tt

12t

2426D阶差分t＞Ds引进后移算子B，也可以写成W

(1

B

)

Y

s

D

t>Dstt示例

商品零售额序列季节性识别一阶逐期差分自相关分析图图28季节差分后自相关分析图图29三、ARMA模型及其改进（一）ARMA模型1.

自回归模型

AR（p）模型的一般形式Y

Y

Y

......

Y

et1

t

12

t

2p

t

pt引进自回归算子

（

）

1

-

......

BB

Bp

B2p12模型可以写成e

(B)

y

=tt模型参数约束条件

(B)=0的所有根都在单位园外。

(B)

称为AR（p）特征多项式，

是特征多项式的系数，B的值是特征多项式的根。AR

(p)

序列的自相关和偏自相关r：拖尾性k32

k

：截尾性

1

j

p

1

j

kj

pj

k0

0

k

p

kk

0

k

p

332.移动平均模型

MA(

q

)模型形式Y

e

e

e

......

ett1

t

12

t

2q

t

q引进移动平均算子

(B)

（

）

1

-

......

BB

BB2q12q模型可以写成

(B)yet

=

t34MA

(q)

序列的自相关和偏自相关rk

：截尾性

...

1

k

qk1

k

1q

kq

rk

21

22...

2q

1

k

q

0

35

：拖尾性k363.

AR与MA间的对偶性1）相互表出

1AR（P）

(B)

y

eyet

=

tt

=

t(B)eyt

可以用既往的

t有限加权和表出yte可以用既往的

t无限加权和表出e

1

y

e

(B)y

t

t(B)

=MA

(q)=ttyet

可以用既往的

有限加权和表出tyett

可以用既往的

无限加权和表出2）相关函数拖尾和截尾3）平稳与可逆若一个序列可以用无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，称为具有可逆性，也就是可逆的。AR有条件平稳，MA无条件平稳；AR无条件可逆，MA有条件可逆。383.

自回归移动平均混合模型ARMA(

p,

q

)1）模型形式Y

Y

Y

...

Y

e

e

...

et1

t

12

t

2p

t

pt1

t

1q

t

q引进后移算子可以写为

(B)Yt

(B)etB

B

(

)

1

...

BpB12pB

B

(

)

1

...

BqB12q392）

ARMA

(p,q)序列的自相关和偏自相关r

k：拖尾性：拖尾性k40（二）

ARMA模型的改进序列经过某些处理后，可能生成一个平稳的新序列，从而可用ARMA（p，q）模型加以描述。逐期差分平稳季节差分平稳逐期差分再季节差分平稳改进的自回归—求和—移动平均模型411.

ARIMA（p，d，q）模型序列仅存在趋势，且经过d阶逐期差分可以平稳模型形式

(B)(1

B)

Y

(B)edtt或

(B

)

Y

(B

)edttARIMA（1，1，1）[1

(1

)

B

B2

Y

e

e]11tt1

t

1Y

(1

)Y

Y

e

e也可以写成t1t

11

t

2t1

t

1422.

ARIMA(P,

D,Q)s

模型序列仅存在季节变动而没有明显的趋势，且通过D阶季节差分季节变化基本消除模型形式

(B)Y

(1

B

)

(B)e

s

Dtt

(

)

1

1Bs

B2s

......

B

是季节自回归算子，PPs其中，

B2P是季节自回归阶数；是季节移动

(B)

1

Bs

B2s

......

BQs12Q平均算子，Q

是季节移动平均阶数；D是季节差分阶数；s是季节周期长度。ARIMA(1,1,1)4

(1

B

)(1

B

)Y

(1

B

)e4

4

41t1t也可以写成Y

(

1)Y

Y

e

et1t

41

t

8t1

t

4433.模型ARIMA(

p,d,q)(P,

D,Q)s通过逐期差分和季阶差分序列可以平稳模型形式(B)

(B

)(1

B)

(1

B

)

Y

(B)

(B

)e

s

d

s

D

stt或(B)

(B

)

Y

s

d

Ds

t(B)

(B

)e

spPqQtARIMA(1,1,1)(1,1,1)4

4

4

4(1

B)(1

B

)(1

B)(1

B

)Y

(1

B)(1

B

)e11t11t也可以写成Y

(1

)Y

(1

)Y

Y

(1

)Yt1t

11t

41

t

21111t

5

(

)Y

Y

(

)Y

Y

e

e

e

e111t

61

t

8111t

911

t

10t1

t

11

t

411

t

544四、

随机时序模型的建立（一）模型识别1.

差分化识别差分阶数d

，D通常d和D取0,1,2，需要取更高阶的情况，需慎重。45IY1,6001,200800d=14000-400-80080828486889092949698商品零售额一阶逐期差分序列46SY4003002001000D=1-100-200-30080828486889092949698商品零售额一阶逐期差分一阶季节差分序列472.

选择p、q可以借用AR模型、MA模型的自相关、偏自相关系数的特点，为平稳序列选出备选的阶数483.选择P，Q含有季节变化的时间序列，在模型识别时，除考虑上面两点外，还须考虑季节自回归和季节移动平均的阶数P、Q。识别的基本原则和方法与识别p、q相同，只是在观察自相关及偏自相关函数时，只分析k=12（或4），24（或8）······时的情况。49续前面示例d=1,

D=1,

p=0

1

q=0

1

P=2

Q=1

,组合备选或

，

或

，

，模型504.定阶的最小信息准则

越小越好（1）AIC准则2L

2kAIC

n

n式中，L是对数似然函数值，n是观测值数目，k是被估计的参数个数。（2）SC准则2L

k

log

nSC

nn符号意义同上。（3）HQC准则2L

2k

log

nHQC

nn符号意义同前。51（二）参数估计

初估计

精估计（三）模型检验1.

直观判断

残差序列完全随机的判定残差序列的自相关系数是否落入随机区间残差序列的自相关与0无显著不同，或说基本落入随机区间，残差序列为白噪声即完全随机。残差序列的自相关有显著不为0的，或说有较多的落入随机区间外，残差序列不是白噪声即非随机。适合模型残差的自相关分析图不适合模型残差的自相关分析图

22.

检验原假设：残差序列相互独立m

Q

[

N

(e)]

2检验统计量kk

1m

N

2k(e)k

1

2服从

（

m–

p–q）分布。其中，m

是最大时滞数，rn为计算

（e）的数据个数。k543.LM检验检验是将有限制和无限制模型进行比较作出判断。有限制条件的模型记作R，可以写成AR(p)的形式e

Y

Y

......

Ytt1

t

1p

t

p无限制条件模型记作UR，可以写成AR(p+r)的形式e

Y

Y

......

Y

Y

......

Ytt1

t

1pt

pp

1

t

p

1p

r

t

p

r或ARMA(p,r)e

Y

Y

......

Y

e

......

ett1

t

1p

t

p1

t

1r

t

r原假设：残差序列不存在自相关，即AR(p)模型合理

2检验统计量

LM

nR其服从自由度为r的

2

分布，r是UR模型与R模型待估计2参数个数之差。

是UR模型的拟合优度。R55例5.1五、时序模型预测1.最小方差预测：使时间序列未来值的预测误差尽可能小预测误差

eWk（L）=

-

（L）

的方差k

LWk

22e))E（

（L）

=E（W

-

（L）k

k

LWk应达到最小

。56也就是要使选择的时间序列L步预测值（L）与时间序列实际值之间距离比其它任何一点都短。2.预测值的计算1）

AR序列的预测

递推W

(1)

W

W

...

Wk1k2k

1pk

p

1W

(2)

W

(1)

W

...

Wk1k2kpk

p

2……W

(p)

W

(p

1)

W

(p

2)

...

W

(1)

Wkk1k2kp

1kpW

(L)

W

(L

1)

W

(L

2)

...

W

(L

p

1)

W

(L

p)k1k2kp

1kpkL

p572）

MA序列的预测

递推MA（1）序列预测Y

e

e若模型为tt1

t

1在t=k时刻进行一步预测有

Yk(1)

e1

k进行二步预测有

Yk(2)

e1

k

1由于k+1时刻没有到来，故无法得到k+1时刻残差的估计值。对于MA（1）序列只能进行外推一步的预测。类似地MA（q）序列只能进行q步预测。583.预测的置信限U

W

(L)

T

V

(L)

SUKeU

W

(L)

T

V

(L)

SLKeKL

1

2

ee

/

k

p

q

V

(L)2

2

1/

2V(L)

(1S)t0jT

1

j

159示

例我国工业总产值预测

计算机实现1.建立工作文件File/New/Workfile月度数据，点选M，输入起始时间和终止时间1990：01

1997：122.读入数据File/Import/Excel找到文件存储路径（如A盘或D盘），然后在对话框中，输入变量的个数1，点击OK。603.绘制时序图Quick/Graph/Line

Graph/y观察序列的特点4.选择模型季节乘法模型ARIMA模型保留一年数据，作为试预测用。在窗口输入SMPL

1990：01

1996：1261（1）季节性交乘趋向模型输入时间变量t（可调入，也可直接输入）建立趋势方程：LS

Y

C

t在回归结果窗口，点选Forcast,命名预测值序列，例如为YF，则YF为各期趋势值。求各期季节比：GENR

V=Y/YF62求理论季节指数：Quick/Series

Statistics/Seasonal

Adjustment在对话框中点选乘法，并为因子命名，如S，点击OK，屏幕出现结果，S同时保存在内存中。求估计值：GENR

YT=YF*S若记住参数（截距、斜率）的数值，也可以直接定义GENR

YT=（1374.9597+35.5915*t）*S63模型分析评价：绘制时间序列实际值与预测值曲线图Quick/Graph/Line

Graph/Y

YT计算MAPEGENR

APE=ABS（（Y-YT）/Y）Quick/

SeriesStatistics/Histogram

andStats观察均值Mean，乘以100则为MAPE。64试预测：扩展样本期

SMPL

1990：01

1997：12GENR

YT=（1374.9597+