材料力学课件-第十一章-能量方法

材料力学第十一章能量方法第十一章能量方法

§11–1

变形能的普遍表达式§11–2卡氏定理§11–3莫尔定理(单位力法)§11–1

变形能的普遍表达式一、能量原理：二、杆件变形能的计算：1.轴向拉压杆的变形能计算：能量方法

弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即

利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。2.扭转杆的变形能计算：3.弯曲杆的变形能计算：能量方法5能量方法

变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。即：克拉贝依隆原理三、变形能的普遍表达式：细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。能量方法对于杆状构件：7四、变形能的特点：能量方法1.产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，不等于各力分别作用时产生的变形能之和。能量方法2.变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值。互等定理：

9能量方法互等定理：

表明：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功，这就是功的互等定理。10能量方法位移互等定理：

如

则

11能量方法

例如：外伸梁，在C点的力FP单独作用下截面的转角为θA=FPal/(6EI)。求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度。

又如：

为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时，截面1、2、3、4、5的挠度，如图所示。现仅有一个挠度计（千分表），且限定只能安装一次，试问该如何测定。MN[例1]图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力能量方法APROQMTAAPNBjTO③外力功等于应变能②变形能：能量方法[例2]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？能量方法qCaaAPBf§11–2

莫尔定理(单位力法)求任意点A的位移fA。一、定理的证明：能量方法aA图fAq(x)图c

A0P=1q(x)fA图b

A=1P0

莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理能量方法。三、使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力，在所求广义位移

点，沿所求

广义位移

的方向加广义单位力

时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。能量方法18

四、单位力的施加能量方法[例3]用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：①画单位载荷图②求内力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x③变形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx()④求转角，重建坐标系（如图）

能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

d)()(

)()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=022

能量方法例13

如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用。试求A点的铅垂位移和B截面转角。[例4]拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：①画单位载荷图②求内力能量方法510

20A300P=60NBx500Cx1510

20A300Bx500C=1P0③变形能量方法()25

能量方法

例16

一桁架如图，各杆EA相同，节点B承受集中力F和2F作用，求杆BC的转角。26

能量方法

1.用卡氏定理、摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角，比较两种方法的特点。已知EI为常数。

课堂练习27

能量方法2.

试用卡氏定理求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移。EI为已知常数。

28

能量方法3.试用卡氏定理求图示刚架C点两侧截面的相对转角。EI已知。29

能量方法4.

由杆系及梁组成的混合结构如图所示。设FP、a、E、A、I均为已知。试求C点的垂直位移。

30

能量方法

5.半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩Me。曲杆横截面为圆形，其直径为d。试用卡氏定理求B端的扭转角。

§11–3

卡氏定理给Pn

以增量dPn

，则：1.先给物体加P1、

P2、•••、

Pn

个力，则：2.先给物体加力dPn

，则：一、定理证明

能量方法dn再给物体加P1、

P2、•••、Pn个力，则：

能量方法dnn=nPU¶¶d第二卡氏定理

意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②

Pn视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数③

n为Pn

作用点的沿Pn

方向的变形。④当无与

n对应的Pn

时，先加一沿

n

方向的Pn

，求偏导后，再令其为零。能量方法dn三、特殊结构（杆）的卡氏定理：能量方法[例5]结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导能量方法ALPEIxO

()求转角

A①求内力没有与

A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明

A与所加广义力MA反向。()②将内力对MA求偏导后，令M

A=0③求变形（注意：MA=0）能量方法LxO

APMA[例6

]结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。能量方法PALxBPx

CfxOx1③变形（注意：Px=0）能量方法[例7]等截面梁如图，用卡氏定理求B

点的挠度。②求内力解：1.依求多余反力，③将内力对RC求偏导①取静定基如图能量方法PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC④变形能量方法2.求②将内力对P求偏导①求内力能量方法③变形能量方法()③变形解：①画单位载荷图②求内力[例8

]结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB能量方法1144

第十一章练习题一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图，其变形能是否为：

二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架