2021年山东省高考数学压轴题预测附答案解析

2021年高考数学压轴题预测

1.曲线的曲率定义如下：若/(X)是/(X)的导函数，f(X)是/(X)的导函数，则曲

x

线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=-"~已知函数f(%)=ecosxfg

{l+[f(切2肚

V2

(x)=acosx+x(〃V0),曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的曲率为一.

(1)求实数〃的值；

(2)对任意的“6[-左，0],tf(x)-g'(x))0恒成立，求实数f的取值范围；

(3)设方程f(x)=g'(x)在区间(2n兀+92而+舒(MGN+)内的根从小到大依次

为XI,X2,Xn,求证：Xn+\~Xn>2n.

【考点】导数的运算；利用导数研究函数的最值.

【分析】(1)由题意得到关于”的方程直接求解即可；

(2)分x=T&xW(吟,0]两种情况讨论即可；

(3)令(p(x)="cosx-sinx-1,利用导数分析可知』W(2mr+亨，2nn+^),xn+1—

2nE(2nn+/2nn+,由(p(x)单调递减可得-2TT>X〃，即物+1-元〃>如，由

此得证.

【解答】解：(1)由已知g'(x)=-tzsiin+1,g"(x)=-^cosx,

所以一^^=—，解方程得a=-1,

(1+12)24

(2)对任意的0],tf(x)-g'(x)20,即/e'osx-sinx-120恒成立，

令％=一多，则广0+1-120,不等式恒成立；

当工€(—*,0]时，cosx>0,原不等式化为t肝胃累;

(cosx)excosx—ex(cosx-sinx)(smx+l)_1—sinxcosx—cosx+sinx

九'(%)=

(1-cos%)(1+sinx)

excos2x

所以〃(x)在区间(一*,0]单调递增，所以最大值为/?(0)=1,

所以要使不等式恒成立必有rel；

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(3)证明：由已知方程/(x)=g'(x)可化为e'cosx-sinx-1=0,

令(p(x)=^cosx-sinx-1,则(p'(x)=e"(cosx-sinx)-cosx,

因为％W(2mr+为，2mr+分所以cosx<sinx,cosx>0,

所以。(x)<0,cp(x)在区间(2九兀+专，2nn+(HGN+)上单调递减，

2nn+2nn+

又(p(<2nn+/)=e^cos(2mi+今一sin(2nn+5)-1=e3—1>

e27r+?!-^-1>223+11-^-l>0,(p(2nn+J)=-2<0,

所以存在唯一&E(2九兀+亨，2九兀+分(p(xo)=O,且%九E(2?1"十号，2nn4-^),xn+1-

Xn+12n

27r6(2nn4-y,2nn+分(p(xn+1—2TT)=e~cos(xn+1-2兀)一sin(xn+1—2兀)一

Xn+12nXn+i27lXn+1Xn+127r

1=e~cosxn+1—sinxn+1—1=e~cosxn+1—ecosxn+1=(e_—

Xn+1

e)cosxn+1<0=(p(Xn)

由(P(x)单调递减可得初+1-即Xn+]-Xn>2n.

2.已知函数/(x)=lnx,g(x)=".

(1)求函数。(x)=ag(x)的极值；

(2)求函数(p(x)=/(x)-当的单调区间；

(3)定义：同时相切于两条(或两条以上)曲线的直线叫做两条(或两条以上)曲线的

公切线.判断了(X)与g(x)是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请

指出公切线的条数.

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上

某点切线方程.

【分析】(1)先对函数6(%)求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而可求函数的

极值：

(2)先对函数叩(x)求导，然后结合导数与单调性关系对。进行分类讨论，进而可求；

(3)先假设存在公切线，与/(X)、g(x)分别切于点4Q1，In/),Bg,靖2),然后

结合导数的几何语言转化为方程解的个数，结合函数性质及导数可求.

【解答】解：(1)•：h(x)=ag(x)-x=aex-x,h'(x)=aex-1,

①当aWO时，li(x)VO在R上恒成立，故〃(x)是R上的减函数，故不存在极值，

1

②当。>0时，由”(x)=0得％=①公，

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11

进一步xe(-00,仇征)时/f(x)vo,故力(x)在区间(-8,)上是减函数，

XE(I吟,+8)时〃(x)>0,故〃(X)在区间(伍W，+8)上是增函数，

1

，当x="工时h(x)有极小值1+加。,无极大值，

(2):0(x)=bix-“(x)==+"a2=*+(aT)”(Q0且/1),

X-iX(x-l)x(x+l)

令f(x)=/+(4-1)x+l,

①-1，・3时4=(a-1)2-4W0,

（x）>0恒成立，

故函数巾（x）单调递增区间是（0,1）,（1,+8）.

②当〃>3时，方程f（x）=0有两个不等的负根，易知x>0且》#1小（x）>0恒成立，

故函数巾（x）单调递增区间是（0,1）,（1,+8）.

③当时，方程t（x）=0有两个不等的正根%】=~一年一2a-3,❷=

故函数心（x）单调递增区间是（0,xi）,（4，+8）；单调递减区间是3,1）,（1,m）,

综上①-lWaW3时，函数力（x）单调递增区间是（0,1）,（1,+8）.

②当〃>3时，函数力（x）单调递增区间是（0,1）,（1,+8）.

③当aV-1时，函数巾（x）单调递增区间是（0,Xi）,（X2,+8）；单调递减区间是（xi,

1),(1,X2),

（3）假设存在公切线，与3（x）、g（x）分别切于点4（%仇%1）,B（%2,靖2）

11

则公切线/：y—Inxi=—（x—即y=—%+lnx1-1

X1*X1

同时公切线I：y—eX2=eXz（%—不）即V=e%2x+?孙（1一小），

.—=exz

・・,

X2

lnx1-1=e（l—x2）

消去了1或X2得lnx\（1-xi）+xi+l=0（或者e*2（l—%2）+%2=0）

是否存在公切线等价转化为方程伍r（1-x）+x+l=O在（0,+8）是否有解，

（或者等价转化为方程/（1-X）+x=0在R上是否有解），

•yI1

令F（x）=（0,+0°）①，

由（2）得尸（无）在（0,1）,（1,+8）上递增，F（e）=--^j-<0,尸@2）=1>0,

e—1ez—1

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