2021年山东省青岛大学附中中考数学一模试卷（含解析）

2021年山东省青岛大学附中中考数学一模试卷

一.选择题(共8小题，满分24分，每小题3分)

1.的倒数的相反数是()

O

D-4

A.8B.-8C.—

8

2.在下列四个图形中，是中心对称图形的是()

A®脸噂

3.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000(X)0017.V.把0.0000000017.V用科学记数

法可表示为()

A.0.17X10-8B.1.7X109C.1.7X10-8D.17X10-9

4.如图所示，该几何体的俯视图是()

g

A-AB口

D

。•工O

5.计算a用-(-2a3)2的结果为()

A.-3a6B.-a6C.a6-4a5D.a6-2a5

6.已知平面直角坐标系中两点A(-1,0)、B(1,2),连接48,平移线段AB得到线

段AB,若A点对应的点是A(2,-1).则B点对应的点是Bi的坐标为()

A.(4,3)B.(-2,3)C.(4,1)D.(-2,1)

7.如图，在RtZVICB中，ZACB=90°,ZA=25°,。是AB上一点.将RtZ\4BC沿C。

折叠，使8点落在AC边上的夕处,则NAOB'等于()

A.25°B.30°C.35°D,40°

8.已知一次函数v=±x+c的图象如图，则二次函数yuo^+bx+c在平面直角坐标系中的图

a

象可能是（）

9.计算：324+《看）xj"^="

10.如图，AB是。O的直径，C,D是。O上的两点，若/BCD=28°,则ZABD=

11.某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零

件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x

个零件，则根据题意可列方程为.

12.如图，已知AG_LB£>,AF±CE,BD、CE分别是NABC和NACB的角平分线，若BF

=2,ED=3,GC=4,则AABC的周长为

13.如图，ACLBC,AC=BC=4,以BC为直径作半圆，圆心为0.以点C为圆心，BC

为半径作弧AB,过点。作AC的平行线交两弧于点。、E,则阴影部分的面积

是•

14.一长方体容器（如图1）,长，宽均为4,高为16,里面盛有水，水面高为10,若沿底

面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好

倒出容器，则的长为.

图1图2

三、作图题（本题满分4分）

15.已知：如图，在△ABC中，NA为钝角.

求作：0P,使圆心P在△ABC的边AC上，且。P与48、BC所在的直线都相切.

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

四、解答题（共9小题，撕分74分）

16.计算：

(1)已知关于x的一元二次方程收+5x-10=0有两个不相等的实数根，求上的取值范

围.

(2)先化简，再求值：谷■+(“+2--1),其中，“满足持-4=0.

17.为了规范业主摆放机动车，某小区画出了一些停车位.如图，四个空停车位，标号分别

为1,2,3,4,如果有两辆机动车要随机停在这四个停车位中的两个里边，小明认为这

两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位，跟这两辆机动车都停在“标号

同是奇数或同是偶数”停车位的可能性相等.小明的想法对吗？请用列表或画树状图的

方法说明你的理由.

1234

_________________

18.某地区为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生

第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图.

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为度；

(2)补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为,中位数为；

(3)如果该区共有八年级学生3500人，请你估计该区“活动时间不少于7天”的学生

人数大约有多少人？

19.如图，为了固定电线杆CM.其自身需植入地下1.5米，且由两根互相垂直的拉线AC

与BC协助固定.4、D、8在同一直线上.

(1)若电线杆地上部分CO高//米，NCAB=a,请用〃与a三角函数的代表式表示BC

的长度为;

(2)若NC4B=25°,电线杆CM为11.5米，求两点固定点A、2之间的距离是多少？

(结果精确到1米)

B(2,1).

(1)分别求出直线和双曲线的解析式；

(2)设点尸是线段AB上的一个动点，过点尸作尸。_Lx轴于点Q,E是y轴上一点.当

△PEQ的面积最大时，请直接写出此时点P的坐标为.

21.如图，平行四边形ABC。的对角线AC、交于点0,分别过点C、。作C尸〃83,

DF//AC,连接8F交AC于点E.

(1)求证：IXFCEe△BOE：

(2)当△AOC满足什么条件时，四边形0CU)为菱形？请说明理由.

22.某商场销售一种小商品，进货价为8元件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100

件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨（M元，每天的销量就减少1件.

设销售单价为x（元/件）（x210）,每天销售利润为y（元）.

（1）直接写出y与x的函数关系式为：；

（2）若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价：；

（3）若每件该小商晶的利润率不超过100%,且每天的进货总成本不超过800元，求该

小商品每天销售利润y的取值范围.

23.探究一，棋型再现：，”条直线最多可以把平面分割成多少个部分？

如图1,很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多

可以把平面分割成2个部分；

如图2,平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，

这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4

个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；

如图3,平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，

这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3

=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；

平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个

交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=

11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…

问题一：5条直线最多可以把平面分割成个部分；

问题二：机条直线最多可以把平面分割成个部分（用，”的代数式表示）；

探究二，类比迁移：〃个圆最多可以把平面分割成多少个部分？

如图4,很明显，平面中画出1个圆时，会得到1+1=2个部分，所以，1个圆最多可以

把平面分割成2个部分；

如图5,平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2

个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部

分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分；

如图6,平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4

个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8

个部分，…

平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会

把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1+1+2+4+6=14个部分，…

图4

问题三：5个圆最多可以把平面分割成个部分;

问题四：〃个圆最多可以把平面分割成个部分（用〃的代数式表示）；

问题五：如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）;

探究三，拓展延伸:

问题六：5条直线和1个圆最多可以把平面分割成个部分;

问题七：机条直线和〃个圆最多可以把平面分割成.个部分（用〃?、〃的代数式表

示）.

24.矩形ABCO中，AB=CD=3cm,AD=BC^4cm,4c是对角线，动点尸从点4出发沿

AC方向向点C匀速运动，速度为\cmls,动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运

动，速度为2cm/s.过点P作BC的垂线段PH,运动过程中始终保持PH与BC互相垂直,

连接〃。交4c于点O.若点尸和点Q同时出发，设运动时间为f（s）（0<?<1.5）,

解答下列问题.

（1）求当f为何值时，四边形PHC。为矩形;

（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在，请求出f值；如果不存在,

请说明理由;

（3）是否存在一个时刻，使矩形A8CQ的面积是四边形PHCQ面积的手，如果存在，

44

请求出f值；如果不存在，请说明理由；

（4）如果△CO。是等腰三角形，请直接写出所有符合题意的时

亥I]:.

参考答案

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.金■的倒数的相反数是（）

O

A.8B.-8C.—D.」

88

【分析】直接利用倒数、互为相反数的定义分析得出答案.倒数：乘积是1的两数互为

倒数.相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

解：W■的倒数为-8,-8的相反数是8.

...W的倒数的相反数是8・

O

故选：A.

2.在下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

8、不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D,是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

3.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000017s.把0.0000000017s用科学记数

法可表示为（）

A.0.17X108B.1.7X10-9C.I.7X108D.17X109

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值》10时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数.

解:0.0000000017$=1.7X10?

故选：B.

4.如图所示，该几何体的俯视图是（)

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

解：从上面看，是一行两个矩形.

故选：B.

5.计算(-2a3)2的结果为()

A.-3*B.-a6C.屋-4炉D.a6-2a5

【分析】根据底数基的乘法、积的乘方以及幕的乘方解决此题.

解：a*a5-(-2a3)2

=a6-4a6

——-3a6.

故选：A.

6.已知平面直角坐标系中两点A(-1,0),B(1,2),连接A8,平移线段A3得到线

段4B1,若A点对应的点是Ai(2,-1),则B点对应的点是B的坐标为()

A.(4,3)B.(-2,3)C.(4,1)D.(-2,1)

【分析】根据平移的性质，结合己知点A,Ai的坐标，知点A的横坐标加上了3,纵坐

标减小了1,所以A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，则8

的平移方法与A点相同，即可得到答案.

解：(-1,0)平移后对应点4的坐标为(2,-1),

点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，

点的平移方法与A点的平移方法是相同的，

：.B(1,2)平移后的坐标是：(4,1).

故选：C.

7.如图，在RtZXACB中，NACB=90°，乙4=25°，。是AB上一点.将RtZ!\ABC沿CZ)

折叠，使3点落在AC边上的8'处，则等于()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】先根据三角形内角和定理求出N8的度数，再由图形翻折变换的性质得出NC8'

。的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.

解：：在RtZ\ACB中，NACB=90°,ZA=25°,

.*.ZB=90°-25°=65°,

'：/\CDB'由△C£>B反折而成，

；.NCB'O=NB=65°,

■:NCB'。是△43'。的外角，

AZADB'=ZCB'D-ZA=65°-25°=40°.

故选：D.

8.已知一次函数），=2+c的图象如图，则二次函数y=ox2+6x+c在平面直角坐标系中的图

a

象可能是（）

【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出上>0、c>0,由此即可得出：二次函

a

数尸加+bx+c的图象对称轴x=-?<0,与y轴的交点在y轴正正半轴，再对照四个

选项中的图象即可得出结论.

解：观察函数图象可知：->0,c>0,

a

...二次函数y=ox2+—+c的图象对称轴x=-?<0，与y轴的交点在y轴正正半轴.

2a

故选：C.

二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

9.计算：（&^+丫号）X乖=13.

【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘

法运算即可.

解：原式=（276+—）X加

6

=苧义遍

6

=13.

故答案为13.

10.如图，AB是。。的直径，C,。是0。上的两点，若NBCQ=28°，则NA8£>=62°.

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到NAC8=90°,求出/BCD,根据圆周角定

理解答即可.

解：是。0的直径，

；.NACB=90°,

VZBCD=28°，

：.ZACD=62°,

由圆周角定理得，/ABO=NACO=62。，

故答案为：62.

11.某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零

件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x

个零件，则根据题意可列方程为-=

【分析】由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新

工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零

件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题.

解：依题意得

120120,

丁

故答案为：--^-=1.

x1.5x

12.如图，已知AG_LBO,AF±CE,BD、CE分别是NABC和/4CB的角平分线，若BF

=2,ED=3,GC=4,则△ABC的周长为30.

【分析】由AG±BD,AFLCE,BD、CE分另I」是NA8C和NAC8的角平分线推出即aAHG

和△ACF都是等腰三角形.根据三角形中位线定理可得尸G=2OE=6,即可解题.

解：由AGLB。，8。是/ABC的平分线，

可得NAOB=/GQB=90°,NABD=/GBD,BQ为公共边，

:.AADB会AGDB,：.AB=GB,

•：AFLCE,CE是NAC8的角平分线，

同理可证；AC^FC,

即△A8G和△ACF都是等腰三角形.

又因AG_L8。，AFLCE,所以E、。分别是A尸和AG的中点，

即ED是△AFG的中位线，,FG=2DE,

贝|J△A8C的周长为：AB+BC+AC=-BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG

由8尸=2,ED=3,GC=4,FG=2OE=6得则△ABC的周长为30.

故答案为：30

13.如图，ACA.BC,AC=BC=4,以BC为直径作半圆，圆心为O.以点C为圆心，BC

为半径作弧A8,过点。作AC的平行线交两弧于点D、E,则阴影部分的面积是粤-

一3-

273—•

【分析】如图，连接CE.图中S用影=S碳彩8CE-S用胫8。。-SAOCE.根据已知条件易求得

OB=OC=OD=2,BC=CE=4.ZECB=60°,0石=2«所以由扇形面积公式、三角

形面积公式进行解答即可.

解：如图，连接CE.

•：ACLBC,AC=BC=4,以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半

径作弧AB,

：.ZACB=90°,OB=OC=OD=2,BC=CE=4.

y.'：OE//AC,

.•.NACB=NCOE=90°.

二在直角△OEC中，OC=2,CE=4,

，NCEO=30°,NECB=6Q°,。后=2«

=

'•S»iu；=5H®BC£-SmBOD-SAOCE=可三4--"^11X22--X2X2yf2~7,—2-y3

6°360423

14.一长方体容器（如图1）,长，宽均为4,高为16,里面盛有水，水面高为10,若沿底

面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好

倒出容器，则C。的长为

图1图2

【分析】设OE=x,则AQ=8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出OE,

再由勾股定理求出C。即可.

解：如图所示：

设。E=x,则AO=16-x,

根据题意得：（16-x+16）X4X4=4X4X10,

解得：x=l2,

:.DE=n,

；/E=90°,

由勾股定理得：CD-7DE2+CE2~V122+42=4V^O-

即：CO的长4H.

故答案是：4，诬.

图1图2

三、作图题（本题满分4分）

15.已知：如图，在△ABC中，/A为钝角.

求作：0P,使圆心尸在AABC的边AC上，且OP与AB、BC所在的直线都相切.

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

B

【分析】作NA8C的角平分线3P,过点P作尸于。，以P为圆心，尸。为半径作

。尸即为.

解：如图，OP即为所求.

四、解答题（共9小题，撕分74分）

16.计算：

（1）已知关于x的一元二次方程fcv2+5x-10=0有两个不相等的实数根，求k的取值范

围.

（2）先化简，再求值：7^〉+（〃+2-三），其中，〃满足。2-4=0.

2a-4a-2

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义解答；

（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，解方程求出m根据分式有意义的条件确定

。的值，代入计算即可.

解：（1）A=52-4XA:X（-10）=25+40公

由题意得：25+40AX）,

R

解得：k>-豆且AW0；

O

__a-3_a-2

2(a~2)(a+3)(a-3)

=1

—・2a+6'

解方程々2-4=0,得0=2,42=-2,

・・・q-2W0,

・・・〃W2,

当a=-2时，原式=一卷.

17.为了规范业主摆放机动车，某小区画出了一些停车位.如图，四个空停车位，标号分别

为1,2,3,4,如果有两辆机动车要随机停在这四个停车位中的两个里边，小明认为这

两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位，跟这两辆机动车都停在“标号

同是奇数或同是偶数”停车位的可能性相等.小明的想法对吗？请用列表或画树状图的

方法说明你的理由.

1234

_________________

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一

个偶数”停车位的结果有8种，这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车

位的结果有4种，再由概率公式分别求出概率，即可求解.

解：小明的想法不对，理由如下：

画树状图如图：

234

共有12种等可能的结果，这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的结

果有8种，

这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的结果有4种，

•••这两辆机动车停在“标号是一个奇数和一个偶数”停车位的概率为系=看，

JLNo

这两辆机动车都停在“标号同是奇数或同是偶数”停车位的概率为喘=,，

JL/o

..2、1

33

小明的想法不对.

18.某地区为了解该区八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了该区部分八年级学生

第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图.

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为72度:

（2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为5天,中位数为6天；

（3）如果该区共有八年级学生3500人，请你估计该区“活动时间不少于7天”的学生

【分析】（1）根据活动5天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后

即可计算出在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数；

（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出活动8天的人数，然后即

可写出众数和中位数；

（3）根据统计图中的数据，可以计算出该区“活动时间不少于7天”的学生人数大约有

多少人.

解：（1）本次调查的人数为：240・40%=600,

在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为：360°X燃^=72°,

600

故答案为：72；

（2）参加活动8天的人数为：600-240-120-150-30=60,

补全的条形统计图如右图所示，

众数为5天，中位数是（6+6）4-2=6（天），

故答案为：5天，6天;

(3)3500X15。+6?+301400（人），

600

答：估计该区”活动时间不少于7天”的学生人数大约有1400人.

且由两根互相垂直的拉线AC

与8c协助固定.A、。、8在同一直线上.

(1)若电线杆地上部分CO高〃米，ZCAB=a,请用与a三角函数的代表式表示8c

的长度为—磊­—

(2)若/CA8=25°,电线杆CM为11.5米，求两点固定点A、8之间的距离是多少？

(结果精确到1米)

地面

CD

【分析】(1)证明NBC£>=NC4B,再根据cosa=="求解即可.

CD

(2)分别求出AZ),DB,可得结论.

解：(1)\'CD±AB,NACB=90°,

AZADC=90°,

：.ZCAB+ZACD=9G°,ZACD+ZBCD=90Q,

：.NBCD=NCAB=a,

rn

在RtZsBCO中，cosa=*,

CB

：.BC=-^―.

COSO.

故答案为：—^7

cosa

(2)；CM=11.5米，0M=1.5米,

.*.CZ)=10(米)，

CD

在RtZXADC中,tana25°

AD

10

：.AD=~[0=23(米)，

~23

在RtZXCDB中，tan250=器,

100

.•.8C=10X£（米），

23~23

.•.4B=AD+DB=23+^^27(米).

23

20.如图，直线yi=A：ix+6与双曲线y?■在第一象限内交于A、B两点.已知A（1,M,

B(2,1).

（1）分别求出直线和双曲线的解析式;

（2）设点P是线段AB上的一个动点，过点尸作POLx轴于点。，E是y轴上一点.当

△PED的面积最大时，请直接写出此时点P的坐标为（*.

---2-2----

【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到〃?和心的值，再根据待

定系数法即可得出直线AB的解析式;

（2）设点P（x,-x+3）,用含x的代数式表示出的面积，即可求解.

解：（1）I•点B（2,1）在双曲线上,

：.ki=2Xl=2,

工双曲线的解析式为”=2,

X

9

VA(1,m)在双曲线”=后,

x

ITI--2f

/.A(1,2).

k[+b=2ki=-l

;直线AB：yi=kx+6过A(1,2)、B(2,1)两点，则4解得《1

2ki+b=llb=3

直线AB的解析式为y=-x+3；

(2)设点P(x,-x+3),且lWx<2,

△PEO的面积=g■尸£>・OO=g(-x+3)=-《(x-g)2+W，

22228

当户田时，的面积取得最大值，

此时点P的坐标为(-|,-|),

故答案为：.

21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,分别过点C、D作CF//BD,

DF//AC,连接B尸交AC于点E.

(1)求证：AFCE经ABOE；

(2)当△AOC满足什么条件时，四边形OCFZ)为菱形？请说明理由.

【分析】(1)证明四边形OCFO是平行四边形，得出0O=C凡证出OB=C/，即可得

出△尸CE丝△BOE(44S)；

(2)证出四边形ABCQ是矩形，由矩形的性质得出OC=OD,即可得出四边形0CFC

为菱形.

【解答】(1)证明：'JCF//BD,DF//AC,

四边形OCF。是平行四边形，NOBE=NCFE,

：.OD=CF,

四边形ABCD是平行四边形,

：.OB=OD,

：.OB=CF,

在和△BOE中，

，Z0BE=ZCFE

<ZBE0=ZFEC.

OB=CF

:.丛FCE咨丛BOE(A4S)；

(2)解：当△AOC满足/ADC=90°时，四边形OCFQ为菱形；理由如下：

•••NADC=90°,四边形ABC。是平行四边形，

...四边形4BCD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

：.OC=OD,

...四边形oc尸。为菱形.

22.某商场销售一种小商品，进货价为8元件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100

件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨01元，每天的销量就减少1件.

设销售单价为x(元/件)(x210),每天销售利润为y(元).

(1)直接写出y与x的函数关系式为：y=-10N+280x-与00；

(2)若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价：11元或17元；

(3)若每件该小商晶的利润率不超过100%,且每天的进货总成本不超过800元，求该

小商品每天销售利润y的取值范围.

【分析】(1)根据利润y等于每件的利润乘以销售量，列出y与x的函数关系式并化简；

(2)令y=270得关于x的一元二次方程，求得方程的解；

(3)由每件该小商品的利润不超过100%和每天的进货总成本不超过800元，求得尤的

范围，根据二次函数的性质可得答案.

解：(1)由题意得：

尸(%-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-1600,

与x的函数关系式为、=-10x2+280x-1600(x^lO)；

故答案为：y=-10x2+280x-1600；

(2)令y=270得：-10x2+280x-1600=270,

解得：xi=11,X2=17,

销售单价为11元或17元；

故答案为：11元或17元；

(3)每件该小商品的利润不超过100%,

8W100%X8,解得xW16,

;每天的进货总成本不超过800元，

.•.销售单价X210,

故销售单价的范围是10WxW16,

由(1)得y=-10炉+280欠-1600=-10(x-14)2+360,

当x=14时，利润最大是360元，

当x=10时，利润y=200元，

所以利润的取值范围是200WyW360.

23.探究一，棋型再现：，〃条直线最多可以把平面分割成多少个部分？

如图1,很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多

可以把平面分割成2个部分；

如图2,平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，

这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4

个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；

如图3,平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，

这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3

=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；

平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个

交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=

11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…

图1图2图3

问题一：5条直线最多可以把平面分割成16个部分:

2

问题二：，〃条直线最多可以把平面分割成典也2个部分（用〃，的代数式表示）；

一2一

探究二，类比迁移：〃个圆最多可以把平面分割成多少个部分？

如图4,很明显，平面中画出1个圆时，会得到1+1=2个部分，所以，1个圆最多可以

把平面分割成2个部分；

如图5,平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2

个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部

分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分；

如图6,平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4

个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8

个部分，…

平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会

把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分,即总共会得到1+1+2+4+6=14个部分,…

问题三：5个圆最多可以把平面分割成22个部分;

问题四：〃个圆最多可以把平面分割成（〃2-〃+2）个部分（用〃的代数式表示）；

问题五：如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）;

探究三，拓展延伸：

问题六：5条直线和1个圆最多可以把平面分割成26个部分;

问题七：根条直线和”个圆最多可以把平面分割成（史世2+2,〃〃+〃2-〃）个部分

一2

（用加、〃的代数式表示）.

【分析】问题一：平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4

个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得

到1+1+2+3+4+5=16个部分；

问题二：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论；

问题三：平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8

个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，即总共会得到1+1+2+4+6+8

=22个部分；

问题四：寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论；

问题五：根据问题四中结论列方程求解；

问题六：一条直线和一个圆最多将平面分成2+2X1=4个部分，两条直线和一个圆最多

将平面分成4+2X2=8部分......五条直线和一个圆最多将平面分成16+2X5=26个部分；

问题七：当机=0时，机条直线和〃个圆最多可以把平面分割成（"2-”+2）个部分；当

时，〃，条直线和”个圆最多可以把平面分害!］成（史-旭+2+2加〃+〃2-〃）个部分.

2

解：问题一：根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直

线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，

即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分，

，5条直线最多可以把平面分割成16个部分，

故答案为：16；

问题二：根据规律得，，“条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+〃?=1+赋*>=

m2+m+2

-------,

2

故答案为：卫4变2；

2

问题三：平面中画出第5个圆时，新增的一个圆与已知的4个圆最多有8个交点，这8

个交点会把新增的这个圆分成8部分，从而多出8个部分，

即总共会得到1+1+2+4+6+8=22个部分；

故答案为：22；

问题四：根据规律得，n个圆最多可以把平面分割成1+1+2+4+…+2（n-l）=（n2-n+2）

个部分；

故答案为：（层-〃+2）；

问题五：根据问题四中结论得：〃2一〃+2=508,

解得：“1=23,〃2=-22（舍去），

；.〃的值为23；

问题六：一条直线和一个圆最多将平面分成2+2X1=4个部分，两条直线和一个圆最多

将平面分成4+2X2=8部分......五条直线和一个圆最多将平面分成16+2X5=26个部分,

故答案为：26；

问题七：当“2=0时，，*条直线和〃个圆最多可以把平面分割成（n2-n+2）个部分；

当时,m条直线和n个圆最多可以把平面分割成（叫力工!2+2〃根+"2-〃）个部