2021年西藏拉萨市高考数学一模试卷（学生版+解析版）（理科）

2021年西藏拉萨市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合

题目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|M—9,,0},B={-3,1,2,3,4},则40|8=（）

A.{-3,1,2,3,4}B.{-3,1,2,3}C.{1,2,3}

D.{1,2}

2.（5分）己知复数2=夏，则复数z的模为（）

A.0B.1C.72D.2

3.（5分）已知向量2=（-1,2）,方=（2,3）,若向量n+25回€上与向量31-涕共线,则机的

值为（）

A.-3B.3C.-D.--

33

4.（5分）中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生

掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修

课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”

的概率为（）

5.（5分）执行所示的程序框图，如果输入。=3,那么输出的”的值为（)

开始

D.5

6.(5分)设4=3°?,b=log()20.3,c=tan,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

7.(5分)已知cosa=-f,2£弓,乃)，则tan(?+a)=()

A.-B.3C.-3D.--

33

8.（5分）等比数列｛4｝各项均为正数，且a3a4a5=8,则log2"+log2%+…+log2%=（

)

A.7B.8C.9D.l+log27

9.（5分）函数/（x）=上的图象大致是（

)

ex+1

xx

A.B.

yt

°X

C.ID.

10.（5分）设“，〃为两条不同的直线，。、〃为两个不同的平面.下列命题中，正确的

是（）

A.若机，〃与。所成的角相等，则利//〃

B.若a_L夕，mlla则机_L/?

C.若机_La,mil。,则a_L〃

D.若〃7//a,nJla则

22

11.（5分）已知匕，尸2分别为双曲线C：/-方=1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上

一点，且以6乙为直径的圆经过点P,若△尸耳工的面积为手从，则双曲线的离心率为（

）

A.y/3B.2C.>/5D.3

12.（5分）已知函数/（%）=卜3x+2,x,1,g（x）=f（x）-ax+a,若g（x）恰有1个零点，

[lnx,x>1

则a的取值范围是（）

A.[-1,0]|Jll,+00）B.（-00,,1JC.l-l,1]

D.（-ao,,+00）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分

13.（5分）己知等差数列｛”"｝的前〃项和为S“，且q=10，5=42,则々=一•

14.（5分）抛物线y=a^的准线方程是丫=4,则a的值为..

15.（5分）过原点且倾斜角为30。的直线被圆炉+y2-4y=0所截得的弦长为.

16.（5分）己知（2x-[=）”展开式的二项式系数之和为64,则其展开式中常数项是—.

三、解答题：本题共6大题，共70分。

17.（12分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Aw工，

2

/?sin2A=6cosAsinB,

（1）求a的值;

（2）若4=工，求AA8C周长的取值范围.

3

18.（12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互

交叉感染最有效的方式.在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力,抵抗该种病毒.某

小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某

天的锻炼时间，其频率分布直方图如图:

（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值无（同一组中的数据用该组区间的

中点值代表）;

（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长:

序号〃1234567

锻炼时长机（单位：分钟）10151220302535

（I）根据数据求机关于〃的线性回归方程;

（II）若〃?-五.4。是⑴中的平均值），则当天被称为“有效运动日”.估计小张“宅”

家第8天是否是“有效运动日”？

£（七-幻（必-其）

附；在线性回归方程+G中，8=上、----------，a=y-bx.

力（%-君2

/=1

处

WE

19.（12分）如图，在三棱柱ABC-AAG中，CC|_L平面ABC,E,尸分别为AC,AG

的中点，。点为靠近A的三等分点，AB=BC*,AC=AA,=2.

（1）求证：AC_L平面期卯；

（2）求二面角8-CO-G的余弦值;

Cl

20.(12分)如图，椭圆C：T+£=l(a>6>0)经过点尸(1,1)，离心率e=g,直线/的方

程为x=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线/W与直线/相交于点M,记R4,

PB,尸/0的斜率分别为匕，k2,%.问：是否存在常数4,使得K+&=/1%?若存在,

求4的值；若不存在，说明理由.

TN

21.(12分)己知函数f(x)=-//nr,awR.

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为16x+2y-17=0,求a的值；

(2)若。>0,函数y=/(x)与x轴有两个交点，求a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清

题号.

22.(10分)在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为1__]+,(其中，为参数)・以

坐标原点O为原点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

/?=2五sin(6+巳)

4

(1)写出曲线G的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)设点尸，。分别在曲线G，G上运动，若P,。两点间距离的最小值为0,求实数

m的值.

23.已知函数/(x)=jx-a|+|x+b|,(a>0,b>0).

(1)当a=2,b=3时，求不等式/(x),,7的解集；

(2)若/")的最小值为4,求证：—+-^-..1

。+2"22

2021年西藏拉萨市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合

题目要求的。

1.(5分)己知集合4="|炉一9,,0},B={-3,2,3,4},则=()

A.{-3,1,2,3,4)B.{-3,1,2,3}C.{1,2,3}

D.{1,2}

【解答】解:集合A={x|f一掇0}=团一3*3},

..Ap|B={-3,I,2,3},

故选：B.

2.(5分)已知复数z=|^j,则复数z的模为()

A.0B.1C.y/2D.2

复数式默言=聂泮一

【解答】解:z

则复数|2|=/2+(_1)2=夜,

故选：C.

3.（5分）已知向量1=（-1,2）出=（2,3）,若向量核+2b（%eR）与向量3d-潺共线，则八的

值为()

A.-3B.3C.-D.--

33

【解答】解：ma+2b=(4-m,2m+6),3>a-2b=(-7,0),且n?d+2b与3d-2b共线,

...2〃2+6=0,解得〃？=—3.

故选：A.

4.（5分）中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生

掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修

课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”

的概率为（）

B.-C.-D.-

A.i323

【解答】解：周王官学要求学生掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.

某中学为了传承古典文化，开设了六种选修课程，要求每位学生从中选择3门课程,

扎西同学从中随机选择3门课程,

基本事件总数〃=C；=20,

他选中“御”包含的基本事件个数，"=C；=10,

则他选中“御”的概率为「=竺=竺」

〃202

故选：C.

5.（5分）执行所示的程序框图，如果输入。=3,那么输出的〃的值为（）

C.4D.5

【解答】解：由程序框图得：程序第一次运行P=0+30=1,2=2xl+l=3,〃=1；

第二次运行P=l+3i=4,Q=2x3+1=7.〃=2；

第三次运行「=4+32=13,<2=2x7+1=15,H=3;

第四次运行尸=13+33=40,0=2x15+1=31,〃=4,

不满足尸,,Q，程序运行终止，输出〃=4.

故选：C.

6.(5分)设〃=3°2,b=log()20.3,c=tan,则()

A.a<h<cB.c<h<aC.b<c<aD.c<a<b

【解答】解：・・・。=3°2>3°=1,

0=log。21vb=log020.3<log020.2=1,

3万八

c-tan——<0,

5

:.c<b<a.

故选：B.

7.(5分)已知cosa=-(,aee,7i)，则tan£+a)=()

A.-B.3C.-3D

3-4

【解答】解：因为cosa=-好，ae(。),

52

，/s

所以sina=,tana=-2»

5

nni，/乃、1+tana1

贝IJtan(——FCZ)=-------=——.

41-tana3

故选：D.

aa

8.（5分）等比数列｛4｝各项均为正数，且0344a5=8，贝：log2%+log22+.・・+】0g27=（

)

A.7B.8C.9D.l+log27

【解答】解：根据题意，等比数列｛4｝中，/4。5=8,则（%>=8,即4=2,

77

则log2%+log2a2+…+log2%=log2(tz(•a2...•)=log2(«4)=log22=7,

故选：A.

当时，由指数爆炸可知e">/,贝ij/（x）=」---->0,排除5.

e'+1

故选：D.

10.（5分）设机，〃为两条不同的直线，a、/?为两个不同的平面.下列命题中，正确的

是（）

A.若加，〃与a所成的角相等，则机//〃

B.若a_1_/?,mlla贝（J"i_L/?

C.若帆_La,mlIP则a_L/

D.若m//a,〃//a,则6//〃

【解答】解：选项A错误，取正三棱锥的底面为a,其中两条侧棱分别为机，人

显然有〃z与a所成的角相等，但没有加//〃；

选项8错误，取。和尸分别为正方体的底面和一左侧面，机为垂直于前后侧面的直线，

可以满足m//a，但不能推出加_1_/?；

选项。正确，在平面/?内作直线由〃?J_a,帆///?可得〃_La,nu0,

由平面与平面垂直的判定定理可得a，°；

选项£）错误，当m//a,〃//a时，可推出或相〃相交或异面皆有可能.

故选：C.

22

11.（5分）已知匕，8分别为双曲线C：£-S=l的左、右焦点，点P是其一条渐近线上

一点，且以耳鸟为直径的圆经过点P,若耳心的面积为手从，则双曲线的离心率为（

）

A.6B.2C.V5D.3

【解答】解：不妨设点P、。在渐近线y=^x上，且P在第一象限，如图所示,

y

•・•△P耳工的面积为竽

2+*1,曲徂-2岛2

..~—b=72。力，解得y=--—

32p3c

/4-xbZH2\l^>ab

代入y=_%,得巧>=-----，

a3c

3c3c

以《工为直径的圆经过点P,

.（警+C,噜）•（智-c,噜）=。，化简整理得⑵下-财+⑵

vb1=c2-a2，

/.12a2(c2-a2)-9c4+12(c2-a2)2=0,即3c2(c2-4a2)=0,

•「cwO,

二.c2=4a2,

离心率e=2.

故选：B.

12.(5分)已知函数f(x)=-31+2,"1,^(x)=f(x)-ax+a,若g(x)恰有1个零点,

Inx,x>1

则。的取值范围是()

A.[-1,0]|J[l,+8)B.(-00,-1]|J[0,1]C.[-1,1]

D.(—co,—1]^J[1,+oo)

【解答】解：由g(x)=f(x)-ax+c/=O得/(3)=。(工一1),

・・・/(1)=1-3+2=0,

:.g(1)=f(1)-a+a=0,即x=1是g(x)的一个零点,

若g(x)恰有1个零点，

则当XW1时，函数/(x)=a(x—1),没有其他根,

即。=上区，没有根，

X—1

当x<l时，设/?(<=&=』_3x+2=(x_l)(x_2)=X_2,此时函数力(X)为增函数,

X-1x—\x—\

则〃(I)即此时〃

f(rxlnY—・d)一/"X

当X>1时，/7(》)=.=-，//(%)=-------；—<0,此时"X)为减函数，

x-lx-1(x-1)

此时〃(幻>0,且/2(1).1,即0<%(幻<1,

作出函数〃(X)的图象如图：

则要使"=这，没有根，

X-1

则a.l或一掇必0,

即实数。的取值范围是[-1,0]|J[l,+00),

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分

13.(5分)已知等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，且4=1()，§7=42,则&=2

【解答】解：•.•等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，且4=1。，S7=42,

%+5c/=10

••、4+3/=42'

'2

解得4=0，d=2,

♦♦Cl-y=2.

故答案为：2.

14.（5分）抛物线丫=62的准线方程是y=4,则0的值为

【解答】解：标准方程为：x2=-y,准线方程是y=4,

a

可得4=——，

4。

解得〃=」.

16

故答案为：---.

16

15.（5分）过原点且倾斜角为30。的直线被圆V+y2—4）,=。所截得的弦长为二

【解答】解：过原点且倾斜角为30。的直线为：x-V3y=0,

圆的圆心到直线的距离为：d=^==6,圆的半径为：2,

V1+3

所以弦长为：2/^=2.

故答案为：2.

16.（5分）已知展开式的二项式系数之和为64,则其展开式中常数项是60.

【解答】解：由二项式系数的性质，可得2"=64,解可得，〃=6;

（2x-」）6的展开式为7；”=C^r­（2x）6-r-（--=（-l）r-26-r-C^r',

\lxylx

令6-。尸=0,可得r=4,

2

则展开式中常数项为60.

故答案为：60.

三、解答题：本题共6大题，共70分。

17.（12分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知Aw巳，

2

Osin2A=6cosAsinB，

（1）求。的值；

（2）若人=工，求AABC周长的取值范围.

3

【解答】解：（1）AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知Aw三，

2

Z?sin2A=6cosAsinB,

利用三角函数关系式的展开式整理得匕sinAcosA=3cosAsinB,

利用正弦定理得"二3"

解得a=3.

（2）由（1）得a=3,A=—t

3

所以，_="_=』，

sinAsinBsinC

整理得万=2氐inB,c=2岳inC.

所以三角形的周长为，

=3+2闻in咛一C）+sinC]

冗

=3+6sin（C+—）,

2/r

由于。£（0,——）,

3

故。+金（乙,当，

666

jr1

所以sin（C+%）€（],l]

所以三角形的周长的范围为（6,9J.

18.（12分）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互

交叉感染最有效的方式.在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力,抵抗该种病毒.某

小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某

天的锻炼时间，其频率分布直方图如图：

（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值无（同一组中的数据用该组区间的

中点值代表）；

（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长:

序号〃1234567

锻炼时长，"（单位：分钟）10151220302535

（I）根据数据求机关于〃的线性回归方程；

（II）若〃-/五.4。是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”.估计小张“宅”

家第8天是否是“有效运动日”？

工(七一元)(》一刃

附；在线性回归方程a=+2中，b=—<=i-------------,a=y-bx.

f(玉-君2

1=1

处

痂

0.035

0.01$

0.012

嬲

°102030405060例煤时间(单位：分钟)

【解答】解：(1)•.•(0.005+0.012+4+0.035+0.015+0.003)x10=1,.-.a=0.03.

x=5x0.005x10+15x0.012x10+25x0.03x10+35x0.035x10+45x0.015x10+55x0.003x10=30.2

_1+2+3+4+5+6+7,_10+15+12+20+30+25+35〜

*.*n=-------------------=4,m=----------------------------------------=2],

-w)=(l-4)x(10-21)+(2-4)x(15-21)+(3-4)x(12-21)+(4-4)x(20-21)+(5-4)x(30-21)+(6-4)x(25-21)+(7-4)x(35-21)=113

m关于n的线性回归方程为病=山”+工

287

(H)当/8时，m=-8+汇=”:笆一30.2>4,.•.估计小张“宅”家第8天是

28777

“有效运动日

19.(12分)如图，在三棱柱A8C-ABC中，CG_L平面ABC,E,尸分别为AC,A.C,

的中点，。点为靠近A的三等分点，AB=BCf,AC=AA,=2.

(1)求证：ACmBEF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值：

Cl

【解答】(1)证明：因为A8C-ABG是三棱柱，CC|J_平面ABC,

所以四边形AAGC为矩形，又因为E，F分别为AC,AG的中点,

所以EF_LAC,

因为AB=3C,£为AC中点，所以班'_LAC,

因为BE「|EF=£,BE、E/u平面8EF,所以AC_L平面班厂.

(2)解：由(1)知E4、EB、即两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得BE=-JBC2-CE2=后万=2,

_____4

CB=(1,2,0),CD=(2,0,；),

设平面5co的法向量为成=(x,y,z),

—4

CD•沅=2x+—z=0人

3，令x=-2,fh=(-2,3)，

CBfh=x+2y=0

平面CC。的法向量为月=(0,1,0),

由图知二面角B—CD—G的为钝角,

\ih'n\1V14

所以二面角B-CD-C的余弦值为-

｝\m\­\n\V14-114

2,2々[

20.(12分)如图，椭圆C:*+*=l(a>6>0)经过点离心率e=5,直线/的方

程为x=4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)43是经过右焦点尸的任一弦(不经过点P),设直线钻与直线/相交于点M,记P4,

PB,的斜率分别为4,%,&•问：是否存在常数%，使得仁+与=%%?若存在,

求2的值；若不存在，说明理由.

【解答】解：⑴椭圆C:毛+工=13>。>0)经过点P(l,3,可得二+3=1(。>/>0)①

a'b22a24"

由离心率e=」得£=L即a=2c,则从=3<?2②，代入①解得c=l,a=2,b=^3

2a2

x22

故椭圆的方程为土十二v=1

43

(2)方法一：由题意可设AB的斜率为3则直线A8的方程为y=A(x-l)③

代入椭圆方程:+q=1并整理得(4/+3)x2-Sk2x+4公一12=0

设44，y),B{X2,必)，

8公4二_12

+占=--z---，XiX)=—3----

24^+3'-4公+3

在方程③中，令x=4得，M的坐标为(4,3公,

333

x——y2——3k——]

从而匕=-----,k2=--------,k-,=-------=k——

~x2-\4-12

注意到A,F,3共线，则有人=*=3，即有工一=上"

%1-1X2-1

33

二十功一5%1%31

所以仁+心=

F一1W-]X)-1X,—12XJ-1

…3x+x,-24

=2k——x---!——=-------⑤

2%]尤2—(X+工2)+1

8-2

④代入⑤得k\+k『2k一+义正兰+3a一=21

—5--------、——+1

4J12+34々2+3

又《=%-4，所以勺+&=2%

故存在常数4=2符合题意

方法二：设8（毛，%）（不#1）,则直线所的方程为y=“2-（x-l）

令x=4,求得〃（4,2或）

X。-1

从而直线PM的斜率为幻=2兆士1,

2（%-1）

,得4热心3%)

联立

2%-52%-5

则直线%的斜率4=2%Q>+5，直线pB的斜率为匕=2%-3

2(x0-l)-2(%-1)

所以匕+&=2%-2%+5+2%-3=2X2%-/+1=2%3,

2(x0-1)2(x0-l)2(%—1)

故存在常数4=2符合题意

aeR.

（1）若曲线y=/（x）在x=l处的切线方程为16x+2y-17=0,求。的值;

(2)若。>0,函数y=『(x)与x轴有两个交点，求。的取值范围.

【解答】解：(1)/(力=匕-"2法的导数为小)=》-£_,

2x

可得曲线y=/(x)在x=1处的切线的斜率为1-,

由切线的方程16x+2y-17=0,可得1-/=_8,

解得a=±3；

(2)若a>0,函数y=/(x)与x轴有两个交点，

即为f(x)=O有两个不等的正根，

即有一，=今有两个不等的正根，

2azx2

设g(x)=与，g(x)的导数为/(》)=•!~当。

xr

当0<x<&时，^(x)>0,g(x)递增；当x>&时，g，(x)<0,g(x)递减，

可得g(x)在X=五处取得最大值—,

2e

又