鸡兔同笼全解

鸡兔同笼问题全解鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？用画图凑数法解鸡兔同笼例1一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见图15－1（1）、（2）、（3）．先画10个②每个头下画上两条腿：数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿．③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿．每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔．这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡．例2一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？解：发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图15－2（1）、（2）、（3）．先画10个车身：②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．例3一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？解：此题要想个更简单的办法，见图15－3（1）、（2）．①先画10个头，在每个头下写上数字“6”，代表6只腿，－－即先假设10只都是蛐蛐，则如：数一数，算一算，6×10=60，即共有60条腿，比题中给出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在一个头下添2条腿（写个“2”），它就变成了一只蜘蛛，共添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了．最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐．解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”的麻烦．其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想法和算式摘出来就行了！第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：6×10=60条腿．第二步，算一算少了多少条腿？少了68-60=8条腿．第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，可以变成几只蜘蛛呢？8÷2=4只（蜘蛛），第四步，再算出蛐蛐的只数出来：10-4=6只（蛐蛐）．这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解这类题目了．如果能这样，我们的思维能力就又提高一步了！特别重要的是，我们这样就可以不用“凑数”的尝试方法了．例4笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？解：方法1：先用画图凑数法解，见图15－4（1）、（2）、（3）．先画11个头：再在头下填腿：③数一数，共有2×11=22条腿．还少36-22=14条腿，每添2条腿，就使一只鸡变成兔．数一数，共变出了7只兔：14÷2=7．最后数一数，笼中共有7只兔，4只鸡．方法2：①把11只全部看成鸡，共有2×11=22条腿．②比题中给出的腿数少了36-22=14条腿．③给一只鸡添2条腿使它变成一只兔，共变成：14÷2=7只（兔）．再算出鸡数为：11-7=4只（鸡）．例5今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分．问每种各几张？习题十五1．笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡？2．今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（这是一道古代趣题．雉，即野鸡，“各几何”是各多少的意思．）3．有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，二队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗？”列举法解鸡兔同笼例1一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？鸡兔合计正确头数脚数头数脚数头数脚数129361038248321036367281034486261032510524103061242010287143161026√8162121024练习例2一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？二轮三轮合计正确量数轮数量数轮数量数轮数例3一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？三、用假设法解鸡兔同笼问题例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？解法一：先假设它们全是鸡。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多多少。每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。假设全是鸡，则足有：2×46＝92(只)比总足数少的：128－92＝36(只)这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，所以：兔子有36÷2＝18(只)鸡有46－18＝28(只)例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：鸡与兔分别有80只和20只。例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？分析1我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？

解法1：一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。分析2假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？解法2：（135+5+7）÷3=147÷3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？例4刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？分析我们分步来考虑：①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。解：[6×10-(41+1）÷（6-4）=18÷2=9（条）10-9=1（条）答：有9条小船，1条大船。习题十一1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？2.有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？3.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？4.蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？5.体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？6.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？7、一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？习题十一解答1.解：二元五角=250分；1角=10分；2角=20分.①假设都是10分邮票：10×17=170（分）②比实际少了多少钱？250-170=80（分）③每张邮票相差钱数：20-10=10（分）④有二角邮票多少张？80÷10=8（张）⑤有一角邮票多少张？17-8=9（张）答：二角的邮票有8张，一角的邮票有9张。2.解：假设全是鸡，则可求得到兔子只数：（44-2×20）÷（4-2）=2（只）鸡的只数：20-2=18（只）答：鸡有18只，免有2只。3.解：①松鼠妈妈一共采了几天松子？112÷14=8（天）②假设8天全是睛天，一共应采松子20×8=160（个）③比实际采的松子多多少？160-112=48（个）④晴天和雨天每天采的松子相差个数：20-12=8（个）⑤用晴天换雨天的天数：48÷8=6（天）答：这几天中有6天有雨。4.解：蜘蛛数：（140-6×21）÷（8-6）=14÷2=7（只）蝴蝶和蝉共有只数：21-7=14（只）蝉的只数：（2×14-23）÷（2-1）=5（只）蝴蝶只数：14-5=9（只）答：蜘蛛有7只，蝴蝶有9只，蝉有5只。5.解：裤子：（24×21-439）÷（24-19）=13（件）上衣：21-13=8（件）答：买来上衣8件，裤子13件。6.设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只）每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只）鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对）则鸡有37+26=63（只）答：兔的只数为37，鸡的只数为63.四、奇妙解法赏析例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？解法一：“金鸡独立、玉兔站立”——笼中的鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中所有的兔也学鸡立起两前脚而只有两后脚着地，那么这时，地上的脚比原先少了一半，只有64只。一只鸡对应着一只着地的脚，而这时一只兔却对应着两只着地的脚。每多一只脚，说明就有一只兔，则原来有（64-46=）18只兔，鸡就有（46-18=）28只了。解法二：鸡翅变脚着地——假设鸡的两只翅膀也变成了两只“脚”，这样的话，46只头就一共有（4×46=）184只“脚”，可实际上只有128只脚，这说明184只“脚”中，除了真正的128只脚外，其余的（184-128=）56只假脚，即实际上笼中共有鸡（56÷2=）28只，有兔（46-28=）182只。解法三：兔生双头——假设，如果每只兔又长出了一个头来，然后将它劈开，变成“一头两脚”的两只‘半兔’，这样总共的128只脚就应该有“半兔”与鸡共64只，这比实际的46只头多（64-46=）18只头，这多出的18只头就是笼中兔多长出来的头，因每一只兔多长了一个头，这样笼中共有兔18只，鸡就有（46-18=）28只。解法四：“鸡兔具有‘特异功能’——让笼中的鸡与兔都有特异功能，即鸡全飞起来，而兔全用双脚站立起来，这时，笼中的46只鸡兔共少了92只脚，实际着地的脚就是（128-92=）36只，全部是兔子的脚，每只兔有2只脚着地，这样就有（36÷2=）18只兔，从而鸡就有（46-18=）28只了。解法五：马戏团里的鸡和兔训练有素，吹一声哨，它们抬起一只脚，结果脚还有：40-15=25（只）再吹一声哨，它们又抬起一只脚，脚还有：25-15=10（只）这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。所以，兔子的只数有:10÷2=5只，鸡有15-5=10只。例2、鸡兔共100只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡兔各多少只？左笼腿相同右笼欢腿多1鸡2腿1鸡2腿1鸡2腿…1鸡2腿1鸡2腿…1鸡2腿1鸡2腿1鸡2腿1鸡2腿…1鸡2腿1鸡2腿…1鸡2腿1兔4腿1兔4腿1兔4腿…0兔0腿用画图表的方法来解决，如上表中：左笼，是腿相同的部分。右笼，是多出的鸡腿，共多了＿＿＿＿只，多出的腿是＿＿＿鸡的。也就是说右笼中，有＿＿＿只鸡。所以左笼中就有鸡兔共＿＿＿＿＿只。一只鸡有＿＿＿腿，一只兔有＿＿＿＿条腿，＿＿＿只鸡的腿数和一只兔的腿数相等？所以，在左笼中，每一组笼中，放＿＿只鸡和＿＿只兔，腿数是相等的，所以鸡的只数比兔的只数多一倍，也就是说，鸡有＿＿＿份，兔有＿＿＿＿份，共有＿＿＿份。则总数分成＿＿＿份，一份是＿＿＿的只数。即：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿练习：1、鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28只，问鸡兔各有多少只？2、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？五、较复杂的鸡兔同笼问题例1：猎人进山打猎，平均5枪打死两只兔子，9枪打死6只野鸡．他共放了25枪，获得猎物14只，两种动物各打死了几只？解：打一只兔要几枪：5÷2＝2.5枪打一只野鸡要几枪：9÷6＝1.5枪可以看出，打一只兔子比打一只鸡要多用1枪假设打的14只全是鸡，则用了14×1.5＝21枪还有25－21＝4枪，所以多的4枪是因为打4只兔子多用的，所以打兔子：4只，鸡14－4＝10只。例2、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？6×18=108（条）②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）③蜻蜒、蝉共有多少只？18-5=13（只）④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷2-1）=7（只）答：蜻蜒有7只.练习：1、蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？2、买来5角、2角、3角三种邮票，共20张，总值7元5角，其中2角和3角的邮票的张数相等，问三种邮票各购几张？3、一群公猴、母猴、小猴共38只，每天共摘桃266个，已知一只公猴每天摘10个，一只母猴每天摘8个，一只小猴每天摘5个。又知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？4、甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲乙各中几发？5、某商店有儿童玩具大中小三种，大号每件6元，中号每件3 元，小号每件2元，张老师用240元共买了55件玩具，其中买中号的钱与买小号的钱恰好一样，问每种玩具各买了多少件？6、某校有宿舍12间，住着80个学生，宿舍的大小分三种，大号房间住8个学生，中号房间住7个学生，小号房间住5个学生，其中中号房间的宿舍最多，问中号房间的宿舍有几？练习解答提示：1、蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？提示：将三种动物分成2组来解。2、买来5角、2角、3角三种邮票，共20张，总值7元5角，其中2角和3角的邮票的张数相等，问三种邮票各购几张？提示：将2角和3角的平均成2.5角的来计算。3、一群公猴、母猴、小猴共38只，每天共摘桃266个，已知一只公猴每天摘10个