倒立摆与自动控制原理课程设计

自动化-课程设计FinalProject倒立摆与自动控制原理课程设计学院：物理与光电信息科技学院专业：电子信息工程专业年级：2009级姓名：王雪、陈一淳、林嘉莹学号：106032009122目录1摘要倒立摆系统稳定性研究的背景和意义 倒立摆系统控制的研究历史及现状 倒立摆涉及领域 2倒立摆系统2.1倒立摆的工作原理 2.2倒立摆系统特性分析 3一级倒立摆的物理建模3.1微分方程的推导 3.2传递函数的推导 3.3状态空间方程的推导 一级倒立摆系统的定性分析 4倒立摆的稳定性控制及仿真4.1频率响应分析 4.2频率响应设计及仿真 4.3MATLAB仿真 摘要对于倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制领域里引起人们极大兴趣的问题。倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定的系统。研究倒立摆系统能有效地反应控制中的许多问题。倒立摆研究具有重要的理论价值和应用价值。倒立摆广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人、杂技项杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的价值直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，见图1所示。图1倒立摆实物图用牛顿力学方法建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2所示：F小车导轨<■图2F小车导轨<■图2直线一级倒立摆模型摆杆V我们不妨做以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置9 摆杆与垂直向上方向的夹角0 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图3示，图示方向为矢量

正方向。图3正方向。图3及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx=F-bx-N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：d2n=m(x+1sm0)dt21)即：...2n=mx+m”cos0-ml0sin02)把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：(M+m)x+bx+ml0cos0一ml02sin0=F(3) •-为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：p一p一mgd2=m-dt2p一mg=一mlQsin0一ml02cos0(5)力矩平衡方程如下：一plsin0一Nlcos0=l0..(6)注意：此方程中力矩的方向，由于e=n+JCOS屮=-cos6,sin屮=-sin0,故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程：(I+ml2)0+mglsin0=-mlxcos0⑺•-设e=n+屮(屮是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)假设屮与1(单位是弧de2度)相比很小，即屮<<i，则可以进行近似处理:cos0=-1,sin0=-^,()2=0dt(8)用，来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：(M+m)x+bx一ml©=u⑼--…(I+ml2)©一mgl©=mlx注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度9,求解方程组的第一个方程，可以得到:TOC\o"1-5"\h\z(I+ml2)gx(s)=[ -他(s)mls2(11)或0(s) mls2X(S) (I+ml2)s2-mgl(12)如果令v=X，则有：0(s)_ mlV(s) (I+ml2)s2-mgl(13)把上式代入方程组的第二个方程，得到：(M+m)[(l+ml2)-g]0(s)s2+b[(l+ml2)+亘]0(s)s-ml0(s)s2=U(s)mls mls2(14)整理后得到传递函数：mls20(s)= q U(s) b(I+ml2) (M+m)mgl bmgls4 s3 s2 sq q q(15)其中

设系统状态空间方程为：x=AX+Buy=CX+Du由(9)方程为：(I+ml2)©—mgl©=mix-对于质量均匀分布的摆杆有：I=-ml23于是可以得到：(1ml2+ml2)©—mgl©=mixTOC\o"1-5"\h\z•-化简得到：.. 3g3©= ©+x4l 4l(19)实际系统的模型参数如下:M 小车质量 1.096Kgm 摆杆质量 0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI摆杆惯量I摆杆惯量0.0034kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：0(s)_mis2X(S) (I+ml2)s2-mgl(20)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：G(s)=Ksh= 0.02725s—X(S)—0.0102125S2—0.26705(21)可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。1.2直线一级倒立摆频率响应控制实验系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当3从0变化到无穷大时，向量G(j3)G(j3)的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。1.2.1频率响应分析原系统的开环传递函数为：22)G(s)亠=22)X(S) 0.0102125S2—0.26705其中输入为小车的加速度v(s),输出为摆杆的角度①⑸。在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。绘制Bode图的命令为：Bode(sys)绘制奈魁斯特图的命令为：Nyquist(sys)在MATLAB中键入以下命令：clear;num=[0.02725];den=[0.01021250-0.2z=roots(num);p=roots(den);subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如图4示的结果：z=Emptymatrix:0-by-1p=5.1136-5.1136rFigure2 |3®冈FileEditVih-a' Inssr+Tr-filsD^sktep }{乜lp□耳日冒te食直心®晅ne■口BodeDiagram〔BP〕①p「是」rTIinzci①p〕-rlw^jzdJIJHI--O9O7—〔BP〕①p「是」rTIinzci①p〕-rlw^jzdJIJHI--O9O7—Frequency.]^ad/aec)NyquistDiagram5_u5o.o.M3A-l-nu'aEUJ--.9□.-0.8 -0.7 -0.6Re希卜氐屣-0.4 -0.3 -0.2 -Q.1图4原系统Bodel图和Nyquist图可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当3从-8到变+8化时，开环传递函数G(j3)沿逆时针方向包围-1点p圈，其中p为开环传递函数在右半S平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由图3-21我们可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点，因此G(jw)需要沿逆时针方向包

围-1点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。1.2.2频率响应设计及仿真直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：G(s)=Ks!= 0.02725⑻—X(S)—0.0102125S2—0.26705(23)设计控制器G(s)，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50°，增益裕量等于或大于10分贝根据要求，控制器设计如下：选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode图，可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：GcGc(S)=K启=尺1aT已校正系统具有开环传递函数Gc(s)G(s)。G(s)G(s)=KG(s)=10.0102125s2—0.26705

(25)式中K=Kea。(s+T)(s+T) T—x(丄1、0.0102125s2—0.26705(s+)aT0.02725K=limG(s)G(s)=limKpstOC stO(26)可以得到：K=98于是有：厂/、 0.02725x98G(s)=i 0.0102125s2—0.26705(27)在MATLAB中画出G(s)的Bode图：clear;num1=[2.6705];den1=[0.01021250-0.26705];bode(num1,den1)可以获得图5的结果：r■」Figure1□Fili Jdit Vi IrLE5rt Tool兰 D亡兰kt心口 ¥ind_ow H^lr-口力口豊te食虫耸®哽ne■口BadeDiagram_u2o-uo-u-4~r-「1T〔83tiiwjmwfl-71

rf—--173.5-180.5〔EimsasCBLId_u2o-uo-u-4~r-「1T〔83tiiwjmwfl-71

rf—--173.5-180.5〔EimsasCBLId□1210 10 1QFrequency 亡u〕图5加入增益后的Bode图输入：nyquist(numl,denl)可以获得图6:

NyquisiDiagram-6 -5 -4 -3 -2 -1 0RealAxisNyquisiDiagram-6 -5 -4 -3 -2 -1 0RealAxis图6增加增益后的Nyquist图出，系统的相位裕量为0°，根据设计要求，系统的相位裕量为50°，因此需要增加的相位裕量为50°，增加超前校正装置会改变Bode的幅曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G1(j3)的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量®m近似等于55。。因为Sinp=l-a/l+a计算可以得到：a=0.0994确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率3=1/T和3二l/(aT)，可以看出，最大相位超前角®m发生在两个转角频率的几何中m心上，即3,在3点上，由于包含Ts+l)/(aTs+l)I页，所以幅值的变化为：

1+1+jwT1+j®aT(28)于是G1(j3)=-10.0261分贝对应于3=28.5rad/s，我们选择此频率作为新的增益交界频率3c,这一频率相应于3,即：1/T=8.8735 1/Ta=90.3965于是校正装置确定为：Gc(s)=Kca(Ts+1)/(aTs+1)=Kc(s+8.8735)/(s+90.3965)(29)Kc=985.9155增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：(进入MATLABSimulink实时控制工具箱"GoogolEducationProducts”打开"InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\FrequencyResponseExperiments””中的"FrequencyResponseControlMFiles”)输入：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.9854];pa=[p;-90.3965];k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)figuresysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)凹壬aM=、87BodeSB^Nyquistffl耳引-h.'lagnitude(dBj—X-_Xr-joi=ioPhase[deg]i■IlI―*oS—3.1=1BddIII门二ag『LLI=i一FrIIIllclllncy〔『wd&enjIrriiaginaryAxis：ffl7Bodefflffl8Nyquisilffl心Figure3FiltJdi+Vih-a'Inssr+T^1sD^sktd.p卫in&owH^lp□耳日冒te食直心®<ne"ho2no4oILIP「七-CJEq2no4oILIP「七-CJEq图9利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图（一阶控制器）从Bode图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。利用频率响应方法校正后系统的单位阶跃响应图可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的平衡，但是超调量比较大。8）打开“LldofFreq.mdl”，在MATLABSimulink下对系统进行仿真（本例和以下的例子都不再仔细说明每步的操作方法，详细的步骤请参见前一章内容）.（进入MATLABSimulink实时控制工具箱"GoogolEducationProducts”打开“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\FrequencyResponseExperiments”中的“FrequencyResponseControlSimulink”）图10系统仿真图E3FunctionBlockParaseters:Zero-Pole XZero-PoleMatrixexpressionfr-rzeros.Vectorexpreisioriforpulesandgain.Outputwidthequalsthenumtierofcolumns：inzeros「口弓t「ix.oroneifzerosisavector.ParametersZeros:[-S.9854]Poles:[-90.3956]Gain;[985.9155]Absolutetolerance:autoStateName:(e.g./positior'JOK Cancel Help Apply图11环节参数设计图可以获得图12的结果：

图12增加超前校正后的单位阶跃响应图9） 可以看出，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又可以得到良好的静态精度，我们采用滞后－超前校正（通过应用滞后－超前校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量），设滞后－超前控制器为：(s+4s+4)"Z"G(s)=K— "Z"c (s+匕)(s+—)t Pt12(30)10）设计滞后-超前控制器。设控制器为：(s+丄)((s+丄)(s+亠)G(s)=KT T-c c(s+且)(s+亠)T1 PT2可以得到静态误差系数:=1191.3445Xs+8.7099s+2

X—s+106.0284s+0.1988(31)K=limG(s)G(s)=liml465xs+8.1164x三x 0.02725 沁100.6ps®c s_0 s+121.3221s+0.19880.0102125s2-0.26705比超前校正提高了很多，因为－2零点和－0.1988极点比较接近，所以对相角裕度影响等不是很大，带后-超前校正后的系统Bode图和奈魁斯特图如所示：输入：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.9854;-2];pa=[p;-90.3965;-0.1988];k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)syscHsys、(l+sys)八7000055impulse(syscj)13s14耳引s沖冊-k'lagnrtude(dBjPhase(deg)t'jaI”igaOOcn cnoOOOOmcdeDiagram利用频率响应方法校正后的Bode图和Nyquist图（二阶控制器）进入MATLABSimulink实时控制工具箱“GoogolEducationProducts”打开“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\FrequencyR