2023-2024学年江西省宜春市重点中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省宜春市重点中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x2−A.(12,1) B.(12.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“eiπ+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：A.22 B.32 C.3.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.1010 B.31010 4.已知圆x2+y2−2x+A.2 B.1 C.12 D.5.以椭圆x24+y23A.4x+3y−7=0 6.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点(如图2A.[−2,2] B.[−7.已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−1)=0，若aA.c<a<b B.a<b8.已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有A.(−∞,0) B.(−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知直线l1：ax−3y+1=A.若l1⊥l2，则ab=−4

B.若l1//l2，则ab=10.已知圆C：(x+2)2+y2A.直线l恒过定点(−1,1)

B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

C.直线l与圆C有一个交点

11.已知函数f(x)=AA.f(x)的最小正周期为π

B.当x∈[−π4,π4]时，f(x)的值域为[−3212.已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)，对任意的x，y∈R，都有A.f(8)=12f(2)

B.函数f(x)是奇函数三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{an}中，已知a3+a13=1214.已知三棱锥A−BCD中，AB⊥面15.设F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q16.已知f(x)=−x2+2x+1,四、解答题（本大题共6小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcos18.(本小题12.0分)

已知圆M过A(2,−2)，B(10,4)，且圆心M在直线y=x上．

(1)求圆19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，BC⊥CD，∠AB20.(本小题12.0分)

设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an+2n−6(n∈N*)．

(21.(本小题14.0分)

已知函数f(x)=ex−ax2，a∈R，f′(x)为函数f(22.(本小题16.0分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由x2−5x−6=(x−6)(x+1)<0得：−1<x<6，

即A=(−2.【答案】C

【解析】解：复数eπ3i+e5π6i=cosπ3+3.【答案】C

【解析】解：取DD1的中点N，连AN，MN，CN，

则MN//AB，MN=AB，所以四边形ABMN是平行四边形，

所以AN//BM，所以∠NAC(或其补角)是异面直线BM与AC所成的角，

设正方体的棱长为1，则AC=2，AN=CN=524.【答案】D

【解析】解：由题意，在圆x2+y2−2x+4y+4=0中，(x−1)2+(y+2)2=1，

∴圆心为A(1,−2)，半径为1，

在直线2a5.【答案】B

【解析】解：设所求直线与椭圆相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1+x2=2，y1+y2=2，

分别把A(x1,y1)，6.【答案】D

【解析】解：AB⋅OP=|AB||OP|cos<AB,OP>，

即|AB|与OP在向量AB方向上的投影的积，

由图2知，O点在直线AB上的射影是AB中点，

由于AB=2，圆弧直径是2，半径为17.【答案】A

【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0)上单调递减，f(−1)=0，

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(1)=0，

∵223>20=1，−8.【答案】D

【解析】解：设g(x)=f(x)−1ex，由题设条件得g′(x)=f′(x)⋅ex−[f(x)−1]ex(ex)2=f′(x)−f(x)+1ex<0，

故函数9.【答案】BC【解析】解：由题知，直线l1：ax−3y+1=0，l2：x−by+2=0，

对于A，当l1⊥l2时，a+3b=0，解得ab=−3或a=b=0，故A错误；

对于B，当l1//l2时，−ab+3=0，解得ab=3，故B正确；

对于C，在直线l1：ax−10.【答案】AD【解析】解：对于A选项，直线

l：(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，

所以m(x+1)+x+2y−1=0，令x+1=0x+2y−1=0，解得x=−1y=1，

所以直线恒过定点(−1,1)，故A选项正确．

对于B选项，当m=0时，直线l为：x+2y−1=0，则圆心C(−211.【答案】AC【解析】解：由图可知，A=1，最小正周期T=4×(5π12−π6)=π，即选项A正确；

由T=2πω，知ω=2πT=2ππ=2，

因为f(π6)=1，所以sin(2×π6+φ)=1，所以π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ+π6，k∈Z，

又−π2<φ<π2，所以φ12.【答案】AB【解析】解：对于A，令x=2，y=2，则有f(2×2)=f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2)，f(8)=f(2×4)=2f(4)+4f(2)=12f(2)，故A正确；

对于B，对于∀x∈R，f(xy)=xf(y)+yf(x)，

当x≠0时，令y=x，则有f(xy)=f(x2)=2xf(x)，

所以13.【答案】90

【解析】解：a3+a13=12，

则S15=15(a1+14.【答案】5【解析】解：如图示：

由题可知，该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，

所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

由图可知长方体的长宽高分别为a=2,b=2,c=2，

所以体对角线长d=a15.【答案】11

【解析】解：由椭圆x29+y25=1，得a=3,b=5，c=a2−b2=9−5=216.【答案】(4【解析】解：设g(x)=xex,x≥0，可得g′(x)=1−xex，

当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以当x=1时，函数g(x)取得极大值，极大值为g(1)=1e，

所以函数y=f(x)的图象，如图(1)所示，

关于x的不等式4ef2(17.【答案】解：(1)∵acosC+ccosA=2bcosB，

由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，

整理得：sin(【解析】(1)根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出cosB=12，进而求出B；

(2)根据余弦定理可得到(a18.【答案】解：(1)∵圆心M在直线y=x上，∴设圆M的标准方程为：(x−a)2+(y−a)2=r2，

∵圆M过点A(2,−2)，B(10,4)，

∴(2−a)2+(−2−a)2=r2(10−a)2+【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，分类讨论的数学思想等知识，属于一般题．

(1)首先由条件设圆的标准方程(x−19.【答案】解：(1)证明：在四边形ABCD中，AD//BC，取BE中点G，连接AG，AE，

由CD=CE=12BE=1，得CG=2=AD，

则四边形AGCD是平行四边形，

又BC⊥CD，∴平行四边形AGCD是矩形，∴AG⊥BC，

AE=AB，∠AEB=∠ABC=π4，∴∠BAE=π2，∴AB⊥AE，

∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则AB⊥PA，

∵PA∩AE=A，∴AB⊥平面PA【解析】(1)根据给定条件，证明AB⊥AE，再利用线面垂直的性质，能证明AB⊥PE20.【答案】(1)证明：由Sn=2an+2n−6，当n=1时，得S1=2a1−4，解得a1=4．

当n≥2时，Sn−1=2an−1+2n−8，则Sn−Sn−1=2an−2an−【解析】(1)利用数列中Sn与an的关系，得an−2an−1−2=2，可证明数列{an−2}为等比数列，可求数列{21.【答案】解：(1)f′(x)=ex−2ax，

令g(x)=ex−2ax，则g′(x)=ex−2a，

当a≤0时，g′(x)>0，函数f′(x)在R上单调递增；

当a>0时，由g′(x)>0得x>ln2a，由g′(x)<0得x<ln2a，

∴函数f′(x)在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究方程的根，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

(1)由题意得f′(x)=ex−2ax，令g(x)=ex−2ax，则g′(x22.【答案】解：(1)由