2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第六章 章末复习课 学案

一、条件概率与全概率公式1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．例1采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：(1)采购员拒绝购买的概率；(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．解设事件B1表示“取到的一包中含4个次品”，事件B2表示“取到的一包中含1个次品”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则P(B1)＝eq\f(3,10)，P(B2)＝eq\f(7,10).P(A|B1)＝1－eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,6)，P(A|B2)＝1－eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10).(1)由全概率公式得到P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq\f(3,10)×eq\f(5,6)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(23,50).(2)P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(\f(3,10)×\f(5,6),\f(23,50))＝eq\f(25,46).反思感悟条件概率的计算要注意以下三点(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．跟踪训练1某小组有20名射手，其中1,2,3,4级射手分别为2,6,9,3名．又若选1,2,3,4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为()A．0.5422 B．0.6123C．0.5275 D．0.3245答案C解析设B表示“该小组比赛中射中目标”，Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，则P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(2,20)×0.85＋eq\f(6,20)×0.64＋eq\f(9,20)×0.45＋eq\f(3,20)×0.32＝0.5275.二、离散型随机变量的分布列、均值和方差1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．2．通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．命题角度1二项分布的均值、方差例2某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为eq\f(3,4)，甲、乙两班级每个人对问题的回答正确与否都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答这道题目的概率；(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的均值EX，EY和方差DX，DY，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．解(1)甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答这道题目的概率P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,32).(2)甲班级能正确回答题目的人数为X，则X的可能取值为1,2，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，则EX＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，DX＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).乙班级能正确回答题目的人数为Y，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,4)))，则EY＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2)，DY＝2×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8).由EX＝EY，DX<DY可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．命题角度2超几何分布的均值、方差例3某学院为了调查本校学生4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这