2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　第三章 §2　第1课时　空间向量的概念及线性运算 学案

第1课时空间向量的概念及线性运算[学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．导语国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，接着还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图，那实际发生的位移是什么？又该如何表示呢？这就要用到空间向量的内容．一、空间向量的有关概念知识梳理1．在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模．空间向量用有向线段表示，表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示．有向线段的方向表示向量的方向．2．几类特殊的空间向量名称定义及表示相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量自由向量数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量相反向量方向相反且模相等的向量互为相反向量，向量a的相反向量用－a表示零向量规定模为0的向量叫作零向量，记为0共线向量当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)．规定：零向量与任意向量平行共面向量平行于同一平面的向量，叫作共面向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)空间向量不能比较大小，模可以．(4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0.(5)空间中任意两个向量都是共面向量．例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A．单位向量都相等B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同答案D解析A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是()A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝bB．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c答案BC解析A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．解(1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3个．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(|AC|2＋|CC1|2)＝eq\r(|AB|2＋|BC|2＋|CC1|2)＝3.二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言首尾顺次相接，首指向尾为和图形a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))平行四边形法则语言共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))减法运算三角形法则语言共起点，连终点，方向指向被减向量图形a＋(－b)＝a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))加法运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))答案AB解析A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选AB.(2)化简：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝________.答案0解析方法一(转化为加法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.方法二(转化为减法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DG,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，如图中向量eq\o(AF,\s\up6(→)).三、空间向量的数乘运算知识梳理1．空间向量的数乘运算定义与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算几何意义λ>0向量λa与向量a方向相同|λa|＝|λ||a|，λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0向量λa与向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R，μ∈R.2.定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理．(也称“一维向量基本定理”)注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(3)向量λa与向量a一定是共线向量．例3(1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①eq\o(AP,\s\up6(→))；②eq\o(A1N,\s\up6(→))；③eq\o(MP,\s\up6(→)).解①∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋c.②∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.③∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.延伸探究1．例3(1)的条件不变，试用a，b，c表示向量eq\o(PN,\s\up6(→)).解因为P，N分别是D1C1，BC的中点，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝－a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2．若把例3(1)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他条件不变，如何表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(2,3)b.(2)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝9a＋mb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.答案－3解析因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝a－2b.所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＝－3λ，,m＝λ，))解得m＝λ＝－3.反思感悟(1)利用数乘运算进行向量表示的技巧①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．(2)①三点共线可借助向量共线进行转化来证明．②特别注意利用向量共线推导三点共线必须要有公共点．跟踪训练3(1)已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值．①eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；②eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解①由图可知，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，则x＝y＝－eq\f(1,2).②∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.(2)若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案C解析若α＋β＝1，则eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝β(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(PB,\s\up6(→))－λeq\o(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.1．知识清单：(1)空间向量的相关概念．(2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)空间向量的线性运算的运算律．(4)共线向量基本定理的理解及应用．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化法．3．常见误区：(1)应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．(2)利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点．1．(多选)下列命题中，真命题是()A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))所得的结果是()A.eq\o(PM,\s\up6(→))B.eq\o(NP,\s\up6(→))C．0D.eq\o(MN,\s\up6(→))答案C解析eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0.3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形答案A解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)