线性代数习题册答案

线性代数习题册(答案)x12x2x3x412．已知线性方程组2x22x36x42，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变2x3x2x9241换化为阶梯形、行最简形。2103．已知A，将A化成原则形。并写出P、Q，使A的原则形等于PAQ。1320214．已知A213，运用矩阵的初等变换，求A1。3345117A113236411011，AX2XA，求X。5．已知A0101练习二班级学号姓名1.选择题：1）Amn的行阶梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行为非零行，则R(A)为（C）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.2）非零矩阵Amn（m＜n）中的全部的2阶子式全为0，则A的原则形为（D）Em（A）00000010；（B）；（C）；（D）0E00000mnmnmnmmn3）方阵An的秩R(A)=n，则An必然不满足（D）（A）An可逆；（B）An与E等价；（C）R(A)n；（D）存在BO,使ABO4）An为奇异矩阵，下列的错误的是（C）T（A）R(A)R(A)；（B）R(A)n；（C）A0；（D）An不与单位阵E等价31022.已知矩阵A1121，求R(A)。1344R(A)=2123k3.设A12k3，问k为什么值时，可分别使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？k234.已知n阶方阵A，使A2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。练习三班级学号姓名1．选择题：1）当（D）时，齐次线性方程组Amnx0一定有非零解。（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.2）设A为n（≥2）阶方阵，且R(A)=n-1，1,2是Ax0的两个不同的解向量，k为任意常数，则AxO的通解为（C）（A）k1；（B）k2；（C）k(12)；（D）k(12).2．填空题:1）设4阶方阵A(1234)，且1234，则方程组Ax的一种解向量为(1111)。2）设方程组A(n1)nxb有解，则其增广矩阵的行列式Abx1x2a1xxa2323）若有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件xxa334x4x1a4ai14i01x11124）已知方程组23a2x23无解，则a=-1。1a2x031112111223a2301a11a2000(a3)(a1)a3x1x2x503．求齐次线性方程组x1x2x30的解。xxx03454．解矩阵方程：12310X23101x1x2x315．取何值时，非齐次线性方程组x1x2x3（1）有唯一解；（2）无解；（3）有2x1x2x3无穷多解？并在有解时，求解。解：112111r1r3A111111211111r2r1r3r101101122213112r3r201120022132112011(1)200(2)(1)(1)(1)112（1）当2,1时，有唯一解；A0112(1)0012x1(1)2(1)3221001110222x1(1)2(1)20100102222(1)2(1)2(1)2x3001001222（2）当2时，无解；1111（3）当1时，有无穷多解。A0000，0000x1111xc1c（其中c1,c2是任意实数）21200，x0103自测题1．选择题：1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素aij的代数余子式Aij0，则方程组AxO的基础解系所含向量个数为（B）（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.x1x22x302）方程组x1x2x30的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BO，xxx0312使得ABO，则（A）（A）1，B0；（B）1，B0；（C）1，B0；（D）1，B0.3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组AxO，BxO有相似的基础解系1,2,3，则下列方程组以1,2,3为基础解系的是（D）（A）(AB)xO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）AxO.B2．判断题:1）初等矩阵与初等变换是一一对应的（√）Er2）任一秩为r的矩阵A必与OTO等价（√）O3）AxO与AAxO为同解方程组（√）4）方程组Axb有无穷多个解的充足必要条件是Axb有两个不同的解（√）3．设n阶方阵A的列向量为i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为12,23,,n1n,n1，试问：当R(A)n时，BxO与否有非零解？试证明你的结论。4．若齐次线性方程组AmnxO的解均为齐次线性方程组BlnxO的解，试证明R(A)R(B)。5．求方程组x1x20x1x2x30与的非零公共解。x2x40x2x3x40解：11001100101010101r3r1r32r20A11100210r4r2001110111010r4r3001001101r1r2000120000110101200000101010120121x1非零公共解为x2c1（c0,c是任意实数）2x3x46．设非齐次线性方程组Amnxb的系数矩阵Amn的秩为r，1,2,,nr是Amnx0的一种基础解系，是Amnxb的一种解。证明：Amnxb的任一解可表达为xk1(1)k2(2)knr(nr)knr1,(k1k2knr11)7．设1,2,3,4,为四维列向量，A(1,2,3,4)，已知Ax的通解为11111*****xk1k2，其中，为对应的齐次方程组的基础解系，k1,k2为2010111010任意常数，令B(1,2,3)，试求By的通解。第四章向量组的线性有关性练习一班级学号姓名1．已知向量1,1,0,1,2,1,1,2,1,2,0,1，试求向量32.解：3231,1,0,122,1,1,21,2,0,1(6,3,2,6)2．已知向量组A:10,1,2,3,23,0,1,2,32,3,0,1,TTTB:12,1,1,2,20,2,1,1,34,4,1,3,证明B组能由A组线性表达，但A组不能由B组线性表达。解：TTT01AB23410312400**********03220XX年321220571612814479100041161570002051525041350031241615704135000000312R(A)3R(AB)，因此B组能由A组线性表达。2012BA11211000114032114103030*****3321012110311324121101121121011110100002100021000111010021000000R(B)2,R(BA)3，因此A组不能由B组线性表达。3．设可由1,2,,m线性表达，但不能由1,2,,m1线性表达，证明：m可由1,2,,m1,线性表达，而不能由1,2,,m1线性表达。4．已知11,4,0,2,22,7,1,3,30,1,1,a,3,10,b,4，问：（1）a,b取何值时，不能由1,2,3线性表达？（2）a,b取何值时，可由1,2,3线性表达？并写出此体现式。解：TTTT14A1,2,3,023120371100112011b11b3a401a2201000311120000b20a1002031120a1000b220（1）当a1,b2或a1,b2时，R(A)R(A)，不能由1,2,3线性表达。10（2）当a1,b2时，A0031112000a10000020001102010000R(A)R(A)3，可由1,2,3线性表达，1220310当a1,b2时，A003111200000000021112，00000002R(A)R(A)2，可由1,2,3线性表达。(12k)1(2k)2k3（kR）练习二班级学号姓名1．判断向量组11,1,0,0,20,1,1,0,30,0,1,1,41,0,0,1的线性有关性。TTTT2．讨论向量组11,1,0,21,3,1,35,3,t的线性有关性？即t取何值时，向量组线性无关？t又取何值时，向量组线性有关？TTT3．已知向量组1,2,3线性无关，判断2132,233,123的线性有关性。4．如果向量能够用向量组1,2,,r线性表达，试证表达办法是唯一的充要条件是1,2,,r线性无关。练习三班级学号姓名1．已知向量组11,2,3,4,22,3,4,5,33,4,5,6,44,5,6,7，求该向量组的秩。2．求向量组11,1,2,4,20,3,1,2,33,0,7,14,41,2,2,0的秩和最大无关组，并把其它向量用此最大无关组线性表达。133．运用初等行变换求矩阵24324142的列向量组的一种最大无关组，并把其它列向量342139用最大无关组线性表达。4．设A为n阶矩阵（n≥2），A为A的随着矩阵，证明：n,当R(A)nR(A)1,当R(A)n10,当R(A)n2练习四班级学号姓名x1x23x4x50x1x22x3x4x501．求齐次线性方程组的基础解系。4x2x6x5xx0*****2x14x22x34x416x50x13x23x32x4x532x6xx3x212342．求非齐次线性方程组的通解。x13x22x3x4x513x19x24x35x4x553．已知1,2,3是四元非齐次线性方程组Axb的解，R(A)2，且11220112,23,31,求该方程组的通解。0121234．设是齐次线性方程组Axb的一种解，1,2,,nr是对应的齐次线性方程组的一种基础解系，证明：（1）,1,2,,nr线行无关；（2）,1,2,,nr线行无关。练习五班级学号姓名1．试鉴定集合V(x1,x2,,xn)x1x2xn1,xiR与否构成向量空间？2．求向量空间R4的基11,2,1,0,21,1,1,1,31,2,1,1,41,1,0,1,20,1,2,到基12,1,0,12,3坐标变换公式。2,1,1,4,21,3,1,2的过渡矩阵和向量的自测题一、选择题：1．设向量组（1）：1,：1,2等价，则（A）。2,3与向量组（2）（A）向量组（1）线性有关；（B）向量组（2）线性无关；（C）向量组（1）线性无关；（D）向量组（2）线性有关。2．设n维向量组1,2,,m线性无关，则（B）。（A）向量组中增加一种向量后仍线性无关；（B）向量组中去掉一种向量后仍线性无关；（C）向量组中每个向量都去掉第一种分量后仍线性无关；（D）向量组中每个向量都任意增加一种分量后仍线性无关。3．设三阶行列式Daij0，则（A）。（A）D中最少有一行向量是其它行向量的线性组合；（B）D中每一行向量都是其它行向量的线性组合；（C）D中最少有两行向量线性有关；（D）D中每一行向量都线性有关。4．设A:1,2,,4是一组n维向量，且1,2,3线性有关，则（D）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩不大于等于3。5．设不能由非零向量1,2,,s线性表达，则（D）。（A）1,2,,s线性有关；（B）1,2,,s,线性有关；（C）与某个i线性有关；（D）与任一i都线性无关。二、填空题：1．设n维向量1,2,3线性有关，则向量组12,23,31的秩。2．向量组,,线性有关的充足必要条件为。3．设1,2线性无关，而1,2,3线性有关，则向量组1,22,33的极大无关组