高等数学中放缩法的应用

高等数学中放缩法的应用

放缩法是相应数或算术的适当放大和缩短的变形能力。这是一种基于估计值和最终目标之间的“差异”的近似方法，通过评估研究对象与最终目标之间的“差异”进行调整，逐渐接近目标。也就是将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。为了让大家能够更好的掌握这个比较好的技巧,我将从以下两个方面详细的为大家介绍一下:1收缩法1.1家庭、固定的恒正或固定的负1.1.1放大、缩放在有关变形中,有时需要舍、添某些项,如果舍、添的项是定号的,那么其值被放大或缩小,这是一种常见的放缩方式。在数学分析中证明级数收敛应用广泛,常常借助柯西收敛准则,下面举一例说明。1.1.2示例1.2支持和附加给1的因素1.2.1角函数和1.2利用类似于舍添正负项,舍、添恒大(小)于1的因子也是放缩中常用的手段之一,最为常见的是利用三角函数的有界性。sinx≤1,cosx≤1,在解题中发挥很好的作用。1.2.2示例1.3替换元为最大小项数1.3.1将某项数改为较大小项数这种方法是前两种方法的推广,推而广之,将某项(数)换成较大(小)项(数)即可。在数学分析中常常借助各种级数及其判别法证明级数敛散性,下面举一例说明。1.3.2示例1.4单调函数1.4.1单一导数时一阶导数先确定某函数在特定区间的单调性,其方法是求其一阶导数,若一阶导数大于零,说明该函数在特定区域是单调递增;若一阶导数小于零,说明该函数在特定区域是单调递减。然后将该区间中某点处的函数值换成该区间中另一点处的函数值。1.4.2示例1.5使用基本方程式1.5.1证明级数收敛由于不等式有明确的大小关系,因而它是进行放缩变形的有力工具。数学分析中证明级数收敛常常用到夹逼定理,即存在un,vn,使题设中的xn,满足un≤xn≤vn,若un,vn同时收敛到x0,则Σxn也收敛到x0。1.5.2示例2证题过程中“放”与“缩”的配合从上面一些例子看出,恰当地使用放缩,往往能够使问题解法简捷,但是放缩并不是随意进行的,在证题过程中无论是“放”还是“缩”,都要恰到好处,而且这恰到好处中包含了较强的技巧性,放的过大或过小都会导致解题失败。放缩总是为了某种需要,因此,进行放缩变形时,首先应明确放缩的目标。而放缩的目标可以看成是放缩的“导航仪”。2.1适用公式2.1.1调整公式的“影子”某些对象本身不好直接运用公式,但是其间却又含有某些公式的“影子”,因此,我们可把它调整到与公式结构相同的形式,而其调整过程往往就是放缩。下面举一例说明。2.1.2示例2.2便于连接2.2.1缩小分式值通过放缩,是某些分式的分子、分母能够约去若干因子,以此达到化简的目的。具体方法是扩大或缩小分式的分子或分母,若分式的分子和分母都为正,将分母缩小,可以放大分式值,将分母放大,可以缩小分式值;同理,若分式的分子和分母都为正,将分子缩小,可以缩小分式值,将分子放大,可以放大分式值。下面举一例说明。2.2.2示例2.3便于差分2.3.1利用两两抵缩法进行差分差分(即分成某个数列中连续两项之差)是数列求和中的一种常用技巧,如果放缩后的式子能够进行差分,那么,通过两两抵消,可以是式子简化。即数列的前n项其和不容易求出时,则可以对其通项作合理的分析,通过恰当的放大或缩小得到易于求和的新数列。2.3.2示例由柯西准则:{an}收敛。2.4便于连接2.4.1第一,“换”问题在一些分式极限中,由于分母不同,造成运算困难,这时,若将分母统一换成同一个量,则问题易解,这里的“换”实质上就是放缩。这种方法在数学分析中求极限的问题时是一种非常好用的方法,下面举一例说明。2.4.2示例当m=n时,上述结果为0,即上述结果对m=n的情况仍然适用总之,不论m及n为任何的自然数,均有2.5计算的便利性2.5.1方法在某些式子的变形中,